Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức trong đề thi trắc nghiệm

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NGA SƠN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ 
TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA MÔĐUN 
 MỘT SỐ PHỨC TRONG ĐỀ THI TRẮC NGHIỆM
 Người thực hiện: Nguyễn Đức Văn
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán 
 THANH HÓA NĂM 2017
 I.MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 Số phức được đưa vào giảng dạy ở chương trình lớp 12 là nội dung mới và 
thực sự gây không ít khó khăn cho các em học sinh bởi nguồn tài liệu tham 
khảo hạn chế. Bên cạnh đó các bài toán về số phức trong những năm gần đây 
không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia. Bài toán “Tìm tập hợp các điểm 
trong mặt phẳng biểu diễn số phức” không phải là bài toán quá khó đối với học 
sinh. Các em chỉ cần nắm được kiến thức cơ bản về số phức: phần thực, phần ảo, 
môđun của số phức, các phép toán về số phức kết hợp với kiến thức về phương 
trình đường thẳng, đường tròn, đường Elíp,... thì các em sẽ giải quyết tốt bài 
toán trên.Vấn đề là thông qua bài toán này học sinh biết khai thác kiến thức cơ 
bản của bài toán trên, kết hợp vận dụng kiến thức về bất đẳng thức, đạo hàm, 
lượng giác, bài toán cực trị trong hình học,.. để từ đó giải quyết được bài toán 
“Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức hay tìm số 
phức có môđun lớn nhất, nhỏ nhất thoả mãn điều kiện cho trước”. 
 Năm học 2016-2017 là năm học đầu tiên thực hiện thi trắc nghiệm môn 
Toán đó là một khó khăn rất lớn đối với các em học sinh và với cả các thầy cô 
giáo. Việc thi trắc nghiệm đòi hỏi các em phải tìm được phương pháp nào nhanh 
nhất để giải quyết bài toán. Do đó ngoài việc nắm vững kiên thức cơ bản 
phương pháp tự luận để giải quyết bài toán các em còn phải nắm được những 
phương pháp để giải nhanh bài toán. Chính vì vậy mà tôi chọn đề tài “Một số 
phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun 
một số phức trong đề thi trắc nghiệm” để viết sáng kiến kinh nghiệm. 
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
 Trên cơ sở nghiên cứu đề tài: “Một số phương pháp giải bài toán tìm giá trị 
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một số phức trong đề thi trắc nghiệm ” 
cùng quá trình ôn luyện cho học sinh tôi mong muốn học sinh nắm vững một số 
phương pháp để giải bài toán về cực trị của số phức, từ đó các em có tư duy linh 
hoạt để vận dụng vào các bài toán cực trị khác, giúp các em đạt kết quả cao 
trong kỳ thi THPT quốc gia và nâng cao hơn nữa chất lượng dạy học Toán. 
3.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: 
Phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của môđun một 
số phức.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
 Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết.
 II. NỘI DUNG
1.CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.1.Kiến thức cơ bản về số phức: 
 2 - Sử dụng kiến thức tìm GTLN; GNNN của hàm số: khảo sát hàm số, đánh 
giá bất đẳng thức
 Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức tam giác :
 • z1 z2 z1 z2 ; dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k 0
 • z1 z2 z1 z2 ; dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k 0
 • z1 z2 z1 z2 ; dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k 0
 • z1 z2 z1 z2 ; dấu bằng xảy ra khi z1 kz2 với k 0
VD 1: Cho số phức z thỏa mãn: z 1 z i . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức: 
 w 2z 2 i .
 3 3 2 3
 A. B. 3 2 C. D. 
 2 2 2 2
Đề thi thử trường Hà Huy Tập – Hà Tĩnh năm 2017
Giải: Gọi z x yi khi đó: z 1 z i (x 1) 2 y 2 x 2 (y 1) 2 x y .
 w 2x 2 (2y 1)i w (2x 2) 2 (2y 1) 2 8x 2 4x 5 .
 1
Xét hàm số: f (x) 8x 2 4x 5 có f '(x) 16x 4 ; f '(x) 0 x .
 4
 9 1
Hàm số f(x) đạt GTNN bằng khi x .
 2 4
 3 2 1 1
 min w khi z i . Đáp án C.
 2 4 4
VD2: Xét các số phức z thỏa mãn: z 2 4i z 2i , tìm GTNN của z ?
 A. 4 B. 2 2 C. 10 D. 8
 Đề thi thử chuyên Biên Hòa – Hà Nam năm 2017
Giải: Gọi z x yi khi đó: 
 z 2 4i z 2i (x 2) 2 (y 4) 2 x 2 (y 2) 2 y 4 x .
 z x 2 y 2 x 2 (4 x) 2 2x 2 8x 16 2(x 2) 2 8 2 2 .
 min z 2 2 khi z 2 2i . Đáp án B.
VD3: Trong các số phức z thỏa mãn: z 3 4i z , biết rằng số phức z a bi (
 a,b R ) có môđun nhỏ nhất. Khi đó, giá trị P a 2 b là:
 1 1 1 1
A. P B. P C. P D. P 
 4 2 4 2
Đề của trang luyenthithukhoa.vn.
Giải: Gọi z x yi khi đó: 
 25 3
 z 3 4i z (x 3) 2 (4 y) 2 x 2 y 2 8y 25 6x y x 
 8 4
 25 75 625
 z x 2 y 2 x 2 x .
 16 16 64
 25 75 625 25 75 3
Xét hàm số f (x) x 2 x f '(x) x ; f '(x) 0 x 
 16 16 64 8 16 2
 4 A. S 34 B. S 82 C. S 68 D. S 36
Đề thi thử Sở GD Hưng Yên năm 2017
Giải: Ta có :
 4 z (1 2i) (z 2 i) (3 3i) z 2 i 3 3i z 2 i 3 2
 4 z 2 i 3 2 4 3 2 4 z 2 i 4 3 2
 M 4 3 2 ; m 3 2 4 S (4 3 2) 2 (3 2 4) 2 68 . Đáp án C.
VD8 : Cho số phức z thỏa mãn z (2 4i) 2 .Gọi z1; z2 lần lượt là số phức có 
môđun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức z1; z2 bằng:
 A. 8i B. 4 C. 8 D. 8.
Đề thi thử Sở GD &ĐT Hà Tĩnh năm 2017
Giải: Ta có : 2 z (2 4i) z 2 5 2 5 2 z 2 2 5 .
 z k(2 4i) 1 5
 • max z 2 2 5 khi 2 2 5 k.2 5 k 
 k 0 5
 1 5
 z1 (2 4i)
 5
 z k(2 4i) 5 1
 • min z 2 5 2 khi 2 5 2 k. 5 k 
 k 0 5
 5 1
 z2 (2 4i)
 5
 1 5 5 1
Tổng phần ảo của z1; z2 là: 4( ) 8 . Đáp án D
 5
VD9: Cho số phức z thỏa mãn: z 2 4 2 z . Ký hiệu M max z ; m min z . Tìm 
môđun của số phức w M mi ?
A. w 2 3 B. w 3 C. w 2 5 D. w 5
Đề của trang luyenthithukhoa.vn năm 2017 
Giải: Ta có: 
 2 z z 2 4 2 z z 2 4
 z 2 2 z 4 0 5 1 z 1 5
 M 1 5; m 5 1
 w M 2 m 2 (1 5) 2 ( 5 1) 2 2 3 . Đáp án A.
 3.2. Phương pháp hình học:
*) Để tìm giá trị lớn nhất( GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của z thỏa mãn 
điều kiện cho trước K ta thực hiện:
 - Tìm tập hợp (G) các điểm biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện K.
 - Tìm điểm M (G) sao cho khoảng cách OM có giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ 
 nhất).Tìm OM.
 6 Đề thi thử trường chuyên KHTN lần 1 năm2017
Giải: Ta có: 
 1 7i
 (1 i)z 1 7i 2 (1 i)(z ) 2
 1 i
 1 i z (3 4i) 2
 2 z (3 4i) 2 z (3 4i) 1
=> Tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường 
 tròn tâm I(3;4) , bán kính r =1.
 max z OI r 32 42 1 6
Đáp án D.
 2 3i
VD13: Nếu các số phức z thỏa mãn: 1 1thì z có giá trị lớn nhất 
 3 2i
bằng:
 A. 1 B. 2 C. 2 D. 3
Giải: Ta có: 
 2 3i 1
 1 1 iz 1 1 i z 1
 3 2i i
 z i 1 z ( i) 1
Đề của trang luyenthithukhoa.vn năm 2017
=> Tập hợp điểm biểu diễn z là đường tròn 
tâm I(0;-1), bán kính r =1.
 max z OI r 1 1 2.
Đáp án B.
VD14: Trong tất cả các số phức thỏa mãn z 2 2i 1, gọi z a bi (a,b R) là 
số phức có z 4i đạt giá trị nhỏ nhất. Tính P a(b 2) ?
 1 1 1 1
 A. P 2 B. P 2 C. P 2 D. P 2
 2 2 2 2
Đề thi học kỳ II trường THPT Phan Đình Phùng – Hà Nội năm 2017
Giải: Gọi w z 4i x yi z w 4i
 w 4i 2 2i 1 w (2 2i) 1
 .
 (x 2) 2 (y 2) 2 1
 8 z OM 4 M  B M  B' BB' 2b 8
 min min khi hoặc ( với là độ dài trục bé của 
elip)
VD17: Xét các số phức z thỏa mãn z 2 i z 4 7i 6 2 . Gọi m, M lần lượt 
là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z 1 i . Tính P m M .
 5 2 2 73
 A. P 13 73 B. P C. P 5 2 73 D. 
 2
 5 2 73
 P .
 2
Đề minh họa lần 3 của Bộ giáo dục năm 2017
Giải: Gọi w z 1 i z w 1 i . Khi đó :
 z 2 i z 4 7i 6 2 w 3 2i w 3 8i 6 2 (*)
Gọi A( 3;2); B(3;8) ; M là điểm biểu diễn w ta có:
 (*) MA MB 6 2 . Mà AB 6 2 MA MB AB .
 Tập hợp điểm biếu diễn w là đoạn thẳng AB.
 • w OM M  H H
 min min khi với là hình chiếu của 
O trên AB
 5 5 5 2
 H ( ; ) m 
 2 2 2
 • w OM max OB 73 M
 max 
 5 2 2 73
 P m M . 
 2
Đáp án B.
VD18: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i z 3 2i 5 .Gọi m, M lần lượt là giá 
trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của z . Tính M m .
 5 5 13
 A. B. 5 5 13 C. 2 13 D. 2 2 13 .
 5
Đề của trang luyenthithukhoa.vn năm 2017
Giải: Gọi M , A, B lần lượt là điểm biểu diễn số phức 
 z; 1 i; 3 2i A(1;1); B(3;2)
 z 1 i z 3 2i 5 MA MB 5 AB
 M thuộc đoạn thẳng AB.
 10 10 4a 25a 2 80a 100 (5a 8) 2 36
Ta có: MA2 MB 2 a 2 ( ) 2 .
 3 9 9
 36 34 1296
Do 5a 8 0 (5a 8) 2 nên :
 7 7 49
 2
 • MA2 MB 2 4 z 1 z 1 m 1
 1296
 36
 340 2 121 11 11 18
 • MA2 MB 2 49 z z M M m .
 9 49 49 7 7 7
Bài tập tương tự:
1.Cho số phức z thỏa mãn w (z 3 i)(z 1 3i) là một số thực, tìm môđun nhỏ 
nhất của số phức z?
 A. 2 B. 2 2 C. 2 D. 1.
2. Trong các số phức z thỏa mãn z 1 5i z 3 i , biết rằng số phức 
 a
 z a bi (a,b R) có môđun nhỏ nhất. Khi đó tỉ số bằng:
 b
 1 2
 A. 3 B. C. D. 2
 3 3
3. Cho số phức z thỏa mãn z 1 (1 i)z . Tìm giá trị lớn nhất của z ?
 A. 2 1 B. 1 C. 2 1 D. 2
4. Cho số phức z thỏa mãn z 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
T z 1 2 z 1
 A. 2 5 B. 2 10 C. 3 5 D. 3 2
5. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của z ?
 A. 2 B. 1 C. 2 D. 5 1
6. Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i z 5i . Tìm giá trị nhỏ nhất của iz 20 ?
 3 10 10
 A. B. 7 10 C. D. 
 2 2
 2 10
 5 3
7. Cho số phức z thỏa mãn z 2i z 2i . Biết biểu thức 
 2 2
 Q z 2 4i z 4 6i đạt giá trị nhỏ nhất tại z a bi (a,b R) . Tính 
 P a 4b ?
 12