Sáng kiến kinh nghiệm Một số kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay định hướng giải bài toán tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY
 ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN TÌM GTLN, GTNN 
 Người thực hiện: Nguyễn Việt Dũng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán học
 THANH HÓA, NĂM 2016 1. Mở đầu
 1.1. Lí do chọn đề tài.
 Những năm gần đây, trong kì thi Đại học, Cao đẳng hay kì thi Trung học 
phổ thông Quốc gia, các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường 
xuyên được đưa về dưới dạng hàm số một biến. Đó là kỹ thuật kết hợp bất đẳng 
thức cổ điển và phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 
bằng cách sử dụng đạo hàm kết hợp với lập bảng biến thiên. Phương pháp này 
có bốn bước quan trọng:
 • Đưa biểu thức về một biến duy nhất.
 • Tìm điều kiện cho biến.
 • Đặt biểu thức dưới dạng hàm số một biến và lập bảng biến thiên để tìm 
 giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
 • Kết luận giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và điều kiện để dấu bằng xảy 
 ra.
 Tuy nhiên bài toán Bất đẳng thức, Giá trị lớn nhất, Giá trị nhỏ nhất luôn là 
một thử thách lớn đối với học sinh. Đứng trước mỗi bài toán này các em thường 
lúng túng không biết định hướng, không biết bắt đầu từ đâu.Và nhiều khi những 
cách giải thiếu tự nhiên của thầy cô càng khiến học sinh sợ và không dám tiếp 
cận đến bài toán khó này.
 Có ba câu hỏi học sinh luôn đưa ra trước mỗi bài toán tìm giá trị lớn nhât, giá 
trị nhỏ nhất của một biểu thức: Dấu bằng xảy ra khi nào (Điểm rơi)? Làm thế 
nào để đưa về một biến? Khi đã đưa biểu thức về hàm số một biến thì GTLN-
GTNN của hàm số là bao nhiêu? Và để trả lời 3 câu hỏi này cho học sinh một 
cách thuyết phục nhất, tôi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm “MỘT SỐ KỸ 
THUẬT SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỊNH HƯỚNG GIẢI BÀI 
TOÁN TÌM GTLN, GTNN”.
 Với sáng kiến này và nhờ sự trợ giúp của máy tính cầm tay, tôi hy vọng học 
sinh sẽ tư duy tốt hơn, có tầm nhìn bao quát và có trong tay nhiều cách giải khác 
nhau, từ đó có thể hoàn thành tốt các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức.
 1.2. Mục đích nghiên cứu.
 Khi giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, mục đích của 
chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm ra sự biến thiên của hàm số từ đó kết 
dự đoán GTLN-GTNN đạt được, cho nên máy tính chỉ được sử dụng như một 
công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ 
thực hiện giải các bài toán đưa ra. Tuy nhiên nếu biết khai thác triệt để các tính 
 1 Chức năng này dùng để tính giá trị của f '(x) tại giá trị x x0 với mục đích 
xác định x x0 có phải cực trị của hàm số y f (x) hay không? Nếu hàm số 
 d
 y f (x) đạt cực trị tại x x thì f (x) 0. 
 0 dx 
 x x0
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm.
 Khi đứng trước một bài toán tìm GTLN, GTNN học sinh thường mất định 
hướng không biết bắt đầu từ đâu hoặc khi đọc lời giải không biết tại sao người 
giải lại đưa ra đánh giá đó. Khi bắt tay vào làm một bài toán về GTLN, GTNN 
học sinh thường phải tìm các đánh giá phụ để đưa bài toán về dạng đơn giản 
hơn. Tuy nhiên nếu không tìm được điểm rơi hoặc tìm sai điểm rơi của bài toán 
thì mọi đánh giá có thể dẫn đến bế tắc. Khi đó học sinh sẽ rơi vào vòng luẩn 
quẩn không tìm được kết quả bài toán hoặc sẽ đưa ra các đánh giá ngược. 
 Để giải quyết các vấn đề nói tên học sinh phải trả lời được: 
 + Dấu bằng xảy ra khi nào (Điểm rơi)? 
 + Làm thế nào để đưa về một biến?
 + Khi đã đưa biểu thức về hàm số một biến thì GTLN-GTNN của hàm số là 
bao nhiêu? 
 2.3. Giải pháp dùng máy tính cầm tay định hướng, tìm tòi lời giải bài toán 
 tìm GTLN, GTNN.
 Để có cái nhìn khái quát về phương pháp, tôi xét ví dụ là các bài toán tìm 
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo dục và 
Đào Tạo những năm gần đây. Trong quá trình phân tích và giải mỗi bài toán tôi 
sẽ kèm theo các kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay CASIO FX570VN-PLUS.
(các máy tính cầm tay khác có cùng chức năng cũng áp dụng tương tự).
 Các kỹ thuật sử dụng máy tính cầm tay có mục đích hỗ trợ và giúp cho học 
sinh định hướng cũng như có cái nhìn đơn giản, tư duy đúng đắn hơn khi tiếp 
cận một bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
❖ VÍ DỤ
Ví dụ 1:Cho a, b, c là các số thực thuộc đoạn [1;3] và thỏa mãn điều kiện 
a+b+c=6. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 a2b2 b2c2 c2a2 12abc 72 1
 P abc
 ab bc ca 2
 Đề thi THPT Quốc Gia 2015.
 3 ĐỊNH HƯỚNG HÀM SỐ
 • Ta sử dụng chức năng TABLE của máy tính Casio:
 X 72 5
 f (X ) X F(X)
 2 X 2 11 14.545
 START =11 11.1 14.536
 END =12 11.2 14.528
 STEP =0.1 11.3 14.521
 Dựa vào bảng giá trị ta thấy hàm số đạt giá trị 
 11.4 14.515
 lớn nhất tại X=11 và hàm số đơn điệu giảm 
 11.5 14.51
 trên [11;12]. Ta định hướng chứng minh hàm 
 11.6 14.506
 số nghịch biến trên [11;12]
 11.7 14.503
 11.8 14.501
 11.9 14.5
 12 14.5
 1 72
 Ta có f '(t) 0t [11;12] nên hàm số nghịch biến trên [11;12].
 2 t2
 160 160
 Vậy f (t) f (11) P .Dấu bằng xảy ra khi a=1, b=2, c=3 và các 
 11 11
 160
 hoán vị. Vậy max P .
 11
Ví dụ 2: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 y2 z2 2 
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 x2 y z 1 yz
 P 
 x2 yz x 1 x y z 1 9
 Đề thi tuyển sinh Đại Học khối A-2014.
ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI
 • Do P không đối xứng nhưng đối xứng theo hai biến y, z. Ta xét các 
 trường hợp sau:
 • TH1: Cố định x 0 y2 z2 2 y 2 z2 , thay vào P ta được:
 2 z2 z 1 z 2 z2
 P 
 2 z2 z 1 9
 Ta sử dụng chức năng TABLE của máy tính Casio
 5 Lời giải:
 Ta có 2(1 yz) x2 (y z)2 2x(y z) 1 yz x(y z)
 (x y z)2 (x y z)2
 và2(1 yz) x2 (y z)2 1 yz 
 2 4
 Do đó 
 x2 y z (x y z)2 x y z (x y z)2
 P 
 x2 x x(y z) x y z 1 36 x y z 1 36
 Mặt khác 3(x2 y2 z2) (x y z)2 0 x y z 6.
 t t2
 Xét hàm số f (t) ,t x y z (0, 6]
 t 1 36
 18 t 2t2 t3
 f '(t) , f '(t) 0 t 2
 18(t 1)2
 BBT: 
 T 0 2 6
 f’(t) + 0 -
 5/9
 f(t)
 31 6 6
 0 
 30
 5 5
 Vậy f (t) f (2) P 
 9 9
 (Dấu bằng xảy ra khi x=y=1, z=0 hoặc x=z=1, y=0).
 5
 Vậy max P .
 9
Nhận xét: Khi bài toán cho các biến không âm thì điểm rơi thường xảy ra khi ít 
nhất một biến bằng 0, các em học sinh có thể xem đây như một định hướng để 
giải toán.
 7 4.5 2.6136
 5 2.833
 2t t 1 2
 Xét hàm số f (t) , t 0. Ta có f '(t) f '(t) 0 t 1.
 t 1 2 2 (1 t)2
BBT: 
 t 0 1 
 f’(t) - 0 +
 0 
 f(t)
 3
 2
 3 3
Vậy f (t) f (1) P .
 2 2
 Đẳng thức xảy ra khi a=0, b=c hoặc a=c, b=0.
 3
 Vậy min P .
 2
Ví dụ 4: Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
 P 4 9
 a2 b2 c2 4 (a b) (a 2c)(b 2c)
 Đề thi tuyển sinh Đại Học khối B-2013.
ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI
 • Do biểu thức P đối xứng theo hai biến a, b nên ta dự đoán điểm rơi khi a=b
 Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:
 a b 4c a2 b2 2ab 4ac 4bc
 (a b) (a 2c)(b 2c) (a b) 
 2 2
Mặt khác: 
 a2 b2 2ab 4ac 4bc
 2ab a2 b2,4ac 2(a2 c2 ),4bc 2(b2 c2 ) 2(a2 b2 c2 )
 2
 4 9
Do đó P 
 a2 b2 c2 4 2(a2 b2 c2 )
 9 5 5
 Vậy f (t) f (4) P .
 8 8
 a b c
 Dấu bằng xảy ra khi a b c 2.
 2 2 2
 a b c 4 4
 5
 MaxP khi a b c 2 .
 8
Ví dụ 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện (a+c)(b+c)=4 c2 . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
 32a3 32b3 a2 b2
 P 
 (b 3c)3 (a 3c)3 c
 Đề thi tuyển sinh Đại Học khối A-2013.
ĐỊNH HƯỚNG ĐIỂM RƠI
 • Biểu thức và điều kiện đối xứng theo hai biến a, b nên điểm rơi khi a=b, 
 thay vào điều kiện ta được điểm rơi là a=b=c=3.
 Vì biểu thức và điều kiện là các biểu thức đẳng cấp nên ta định hướng đặt 
 ẩn phụ để giảm biến.
 Lời giải: 
 a b
Đặt x , y (x 1)(y 1) 4 xy x y 3.Ta có 
 c c
 32x3 32y3
 P x2 y2
 (y 3)3 (x 3)3
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy: 
 (x y 2)2
 (x 1)(y 1) 16 (x y 2)2 x y 2.
 4
 (a b)3
Áp dụng bất đẳng thức a3 b3 ,a,b 0 ta có
 4
 3
 x y 2
 P 8 (x y) 2(x y) 6
 y 3 x 3 
 x y x2 y2 (x y)2 (x y)2
Mặt khác: 
 y 3 x 3 xy 3x xy 3y 2xy 3x 3y x y 6
 8(x y)2
Do đó P (x y)2 2(x y) 6
 x y 6
Đặt t x y t 2. Xét hàm số 
 11