Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm vận dụng máy tính cầm tay để giải một lớp các phương trình vô tỷ

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 1
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 MỘT SỐ KINH NGHIỆM 
VẬN DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY ĐỂ GIẢI MỘT LỚP 
 CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
 Người thực hiện: Trần Văn Long
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HÓA NĂM 2016
 1 I. MỞ ĐẦU 
1. Lý do chọn đề tài
 Bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vốn dĩ là một 
nội dung quan trọng trong chương trình giảng dạy môn Toán ở cấp Trung học 
phổ thông nói chung cũng như đánh giá năng lực học sinh trong mỗi kỳ thi nói 
riêng.
 Các bài toán thuộc dạng này đòi hỏi học sinh cần tư duy theo nhiều hướng 
khác nhau, sử dụng các phương pháp khác nhau để có thể tìm được mấu chốt 
của vấn đề, một trong các hướng đó là hướng tiếp cận bài toán bằng máy tính 
cầm tay (MTCT).
 Với những kết quả đã đạt được, đặc biệt khóa 2012 - 2015 vừa tốt nghiệp 
tôi thấy tiếp cận bài toán giải phương trình vô tỷ bằng MTCT đảm bảo tính hiện 
đại, ứng dụng được khoa học công nghệ, phát tiển năng lực tư duy của học sinh 
và đạt được hiệu quả rõ rệt. Với kinh nghiệm đúc kết được từ thực tiễn giảng 
dạy và học hỏi đồng nghiệp tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Một số kinh nghiệm vận 
dụng máy tính cầm tay để giải một lớp các phương trình vô tỷ" làm đề tài sáng 
kiến kinh nghiệm của năm học 2015 - 2016. 
 Điểm mới trong đề tài sáng kiến kinh nghiệm lần này là: Quan điểm tiếp 
cận bài toán giải phương trình bằng MTCT và kinh nghiệm vận dụng MTCT để 
tách nhân tử và đặc biệt là hệ thống bài tập đầy đủ, đa dạng được phân theo số 
nghiệm và tính chất nghiệm của phương trình. Với mục đích chia sẻ bớt những 
khó khăn với các học trò. Rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp, sẻ chia 
của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp và các độc giả để đề tài áp dụng có hiệu 
quả trong dạy học về giải các phương trình vô tỷ. 
2. Mục đích nghiên cứu
 Trong giới hạn của một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin trình bày kinh 
nghiệm của mình được đúc kết trong quá trình giảng dạy cho học sinh chuẩn bị 
thi THPT Quốc Gia và giải quyết những vướng mắc của các em vướng phải 
trong quá trình tiếp cận bài toán giải phương trình. Tôi không có tham vọng giúp 
học sinh giải được tất cả các phương trình mà chỉ mong muốn trang bị thêm cho 
các em một cách nhìn, một phương pháp, một hướng tư duy... từ đó để các em 
có thể tự tin hơn khi tiếp cận các bài toán giải phương trình vô tỷ. Hy vọng đây 
là một tài liệu hữu ích cho các em học tập và các thầy cô tham khảo. 
3. Đối tượng nghiên cứu
 Trong các kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi trung học phổ thông ở giai đoạn 
hiện nay phương trình, bất phương trình và hệ phương trình có vị trí đặc biệt 
quan trọng, đó thường là câu tổng hợp nhiều kiến thức, phân loại đối tượng. 
Chìa khóa giải quyết tốt bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ 
phương trình là giải tốt các bài toán phương trình vô tỷ. Mặt khác đối với một 
phương trình hầu như lúc nào cũng có nghiệm, MTCT là công cụ hữu ích để tìm 
 3 học sinh các kĩ năng và phương pháp giải các dạng phương trình và đặc biệt là 
phương trình vô tỷ.
 Trong các kì thi học sinh giỏi và THPT thì câu giải phương trình, giải hệ 
phương trình, giải bất phương trình là một trong những câu thuộc diện phân loại 
thí sinh. Vì vậy đó là các câu hỏi mang tính tổng hợp gây rất nhiều khó khăn cho 
học sinh ngay cả những học sinh có học lực giỏi.
 Một thực tế là đa số các học sinh lo sợ các bài toán về giải phương trình, 
bất phương trình, hệ phương trình trong các đề thi nói chung và đề thi THPT 
Quốc gia nói riêng. Theo thống kê thì có tới hơn 90% các em bỏ câu phương 
trình, bất phương trình và hệ trong các đề thi thử THPT Quốc gia cũng như đề 
thi chính thức THPT Quốc Gia và thực tế chỉ có khoảng 5% các em làm tốt câu 
này.
 Mặt khác không ít các thầy cô khi dạy về phương trình, bất phương trình, 
hệ phương trình còn sử dụng phương pháp truyền thống mà ít quan tâm đến việc 
ứng dụng MTCT để phát hiện và giải quyết bài toán.
 Đa số học sinh có và sử dụng máy tính Casio fx - 570VN plus một cách 
thành thạo. Đây là điểm mạnh của học sinh mà thầy cô chưa khai thác đúng 
mức. 
 Trong quá trình giảng dạy, qua các tiết dự giờ, qua trao đổi chuyên môn 
tôi thấy ít thầy cô ứng dụng MTCT để hướng dẫn học sinh giải phương trình 
một cách đầy đủ, hệ thống.
 Chưa có một tài liệu nào chính thống, bài bản để các thầy cô và các em 
học sinh tham khảo và thực hành.
3. Giải pháp tổ chức thực hiện
3.1 Một số kiến thức cơ bản.
 0
 1 ) Nếu phương trình f(x) = 0 có một nghiệm đơn x = x 0 thì ta phân tích 
f(x) được về dạng: f(x) = (x - x0)g(x) trong đó g x0 0 ;
 Từ đó suy ra: 
 Nếu phương trình f(x) = 0 có một nghiệm đơn x = x 0 thì f x0 0 
và f ' x0 0.
 0
 2 ) Nếu phương trình f(x) = 0 có nghiệm x = x 0 bội bậc n thì ta phân tích 
 n
f(x) về dạng f(x) = (x - x0) g(x), (n N,n 2) trong đó g x0 0 .
 Từ đó suy ra: 
 a) Nếu phương trình f(x) = 0 nghiệm x = x0 bội bậc 2 thì f x0 0 , 
 f ' x0 0 và f '' x0 0;
 5 - Vì biểu thức dưới căn là bậc nhất nên ta ưu tiên tách, nhóm liên quan 
đến hai căn trước (thêm, bớt hằng số) và phần còn lại là của đa thức.
 - Cụ thể thay x = -1 vào hai căn ta được: 2x 3 1 và 13 3x 4 
đây là cơ sở để ta tách và phân tích bài toán.
 3 13 
Giải: - ĐK: x ;
 2 3 
 - Ta có (*) 2x 3 1 4 13 3x 2x 2 0
 2 x 1 3 x 1 
 2 x 1 0
 2x 3 1 4 13 3x
 2 3 
 x 1 2 0
 2x 3 1 4 13 3x 
 
 3 13 
 0,x ; 
 2 3 
 x 1
 - Kết luận: Phương trình có một nghiệm x = -1
 Nhận xét:
 - Ở ví dụ đầu tiên này có rất nhiều cách giải nhưng rõ ràng cách giải trên 
thật đơn giản, dễ hiểu, dễ vận dụng...tạo cảm giác hứng thú, tò mò để các em 
bước vào các ví dụ tiếp theo. 
 - Ở ví dụ này ta cũng thấy việc nhẩm tìm nghiệm x = -1 và việc khẳng 
định phương trình có nghiệm đơn x = -1 là hoàn toàn thao tác bằng máy tính 
cầm tay vừa nhanh, đơn giản, dễ hiểu...từ đó định hướng giải quyết bài toán. 
MTCT sẽ còn đóng vai trò quan trọng hơn nữa khi bài toán phức tạp hơn và đặc 
biệt nghiệm không còn "đẹp" nữa. 
 - Từ đây ta có thể phát triển bài toán theo hai hướng thứ nhất là tăng bậc 
của căn và phức tạp của phương trình; hướng thứ hai là phương trình có một 
nghiệm và nghiệm vô tỷ.
Ví dụ 2. Giải phương trình 3 x3 4x 3 x 6 x2 x 16 (*)
Phân tích: 
 - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức năng SOLVE lần lượt với x 
= 0, x =1... cho ta nghiệm duy nhất x = 2.
 d
 - Ta có 3 x3 4x 3 x 6 x2 x 16 0 nên x = 2 là nghiệm 
 dx x 2
đơn của phương trình.
 - Thay x = 2 vào hai căn ta có: +) 3 x 6 2
 +) x3 4x 4 2x x 2...
 Trong bài này ta lựa chọn phép phân tích x3 4x x 2 là "tốt" nhất. 
Trên cơ sở đó ta giải bài toán như sau
 7 3 5
 - Kết luận: Phương trình có một nghiệm x .
 2
Ví dụ 4. Giải phương trình x2 x 2x 2 3x 1 6x 2 (*)
Phân tích: 
 - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức năng SOLVE lần lượt với x 
= 3, x = 4, x = 5... cho ta nghiệm duy nhất x 4,236067977 gán vào A (SHIF 
RCL (-) tức là 4,236067977 A )
 d
 -Ta có: x2 x 2x 2 3x 1 6x 2 5,244678844 0 
 dx x A
nên x 4,236067977 là nghiệm đơn của phương trình.
 - Thay x 4,236067977 vào các căn ta được:
 +) x 2x 2 1
 +) 6x 2 5,236067977 x 1
 Trên cơ sở đó ta giải bài toán như sau
 6x 2 0
Giải: - ĐK: x 1 3
 x 2x 2 0
 - Ta có (*)
 x 2x 2 1 x 1 6x 2 x2 4x 1 0
 2
 x 1 2x 2 x 1 6x 2 2
 x 4x 1 0
 x 2x 2 1 x 1 6x 2
 2 2
 x 1 2x 2 x 4x 1 2
 x 4x 1 0
 x 2x 2 1 x 1 2x 2 x 1 6x 2
 1 1 
 x2 4x 1 1 0
 x 1 6x 2 
 x 2x 2 1 x 1 2x 2 
   
 0,x 1 3
 x2 4x 1 0
 x 2 5
- Kết luận: Phương trình có một nghiệm x 2 5
Nhận xét:
 Rõ ràng qua ba ví dụ 2, 3 và 4 đã khẳng định được vai trò quan trọng 
của MTCT trong việc giải phương trình vô tỷ. Giúp học sinh tìm được nghiệm, 
khẳng định được nghiệm đơn một cách nhanh chóng, đơn giản, dễ hiểu và giúp 
 9 
 d f ' x 
 a 
 n 1 
 dx 2n n f x
 x x0
 d
 Đặt: n f x ax 2 bx c khi đó: b n f x 
 dx x x0
 c n f x ax 2 bx
 0 0 0
 - Đối với nghiệm kép vô tỷ thì ta làm tương tự trường hợp nghiệm đơn 
nhưng nhân liên hợp hai lần.
Để làm quen với phương pháp này ta xét các ví dụ sau
Ví dụ 5. Giải phương trình x 4 x 3 2 3 2x 11 (*)
Phân tích: 
 - Nhập phương trình vào máy tính, dùng chức năng SOLVE lần lượt với x 
= - 3, x = -2, x = -1... cho ta nghiệm duy nhất x = 1.
 - Kiểm tra tính chất nghiệm bội tại x = 1
 d
 +) Ta có: x 4 x 3 2 3 2x 11 0 
 dx x 1
 d 2 2 
 +) Mặt khác: 1 2.125 0 
 dx x 3 3 2x x 1
 Do đó: x = 1 là nghiệm kép của phương trình.
 - Tìm liên hợp nghiệm kép
 d 
 a 4 x 3 1
 +) Giả sử 4 x 3 ax b khi đó: dx x 1
 b 4 1 3 1 7
 4 x 3 x 7
 +) Tương tự: 2 3 2x 2x 4
Giải:
 3 
 - ĐK: x 3;
 2 
 - Ta có (*) x 7 4 x 3 2 2 x 3 2x 0
 x 7 2 16 x 3 2 x 2 3 2x 
 2 0
 x 7 4 x 3 2 x 3 2x
 11