Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh quan sát, tìm hiểu tính chất và mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình, bất phương trình vô tỷ để định hướng cách giải

 BÌA CHÍNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT MƯỜNG LÁT
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH QUAN SÁT, 
 TÌM HIỂU TÍNH CHẤT VÀ MỐI LIÊN HỆ GIỮA CÁC BIỂU 
 THỨC CÓ TRONG PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ 
 TỶ ĐỂ ĐỊNH HƯỚNG CÁCH GIẢI
 Người thực hiện: Nguyễn Nam Sơn
 Chức vụ: TTCM
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
 THANH HÓA NĂM 2016 PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Trường THPT Mường Lát được thành lập tháng 7 năm 1999. Trải qua nhiều 
đổi thay về đội ngũ cán bộ giáo viên và nhiều thế hệ học sinh, trường cũng đã đạt 
được một số thành tích đáng kể, dù còn khiêm tốn nhưng cũng đã phản ánh sự cố 
gắng của thầy và trò nhà trường. Hiện tại do khoảng cách về địa lý nên vẫn gặp 
không ít khó khăn ảnh hưởng đến công tác giảng dạy và học tập của giáo viên và 
học sinh. Đặc biệt là nguồn tài liệu tham khảo trong thư viện còn ít, khả năng tự tìm 
tòi học hỏi của học sinh còn rất hạn chế. Bên cạnh đó xã hội đang đặt ra những yêu 
cầu rất cấp thiết trong việc tạo ra nguồn nhân lực có chất lượng. Bộ Giáo dục và 
các cấp các ngành liên quan cũng đề ra nhiều mục tiêu về chất lượng học sinh trong 
thời kỳ mới. Chính vì vậy, yêu cầu đối với đội ngũ giáo viên là tìm ra các phương 
pháp giúp học sinh tự học, tự tháo gỡ khó khăn. Toán học là môn học rất quan 
trọng, rất khó ngay đối với cả những giáo viên nếu không tự nghiên cứu để nâng 
cao trình độ. Với học sinh trường THPT Mường Lát, đa phần các em là người dân 
tộc thiểu số, được nhà nước hỗ trợ từ học phí cho đến chế độ ăn ở. Điều này vô 
hình chung khiến các em ỷ lại, không tự vươn lên vượt qua những suy nghĩ “cổ 
hủ”, “lạc hậu”, “tự ti”,...để phấn đấu trong học tập. Vậy làm cách nào để có thể 
khiến cho các em thay đổi thái độ “ngại học”, “ngại phấn đấu”, “chây lười” trong 
học tập là câu hỏi làm bản thân tôi cũng như các đồng nghiệp khác rất băn khoăn. 
Trong quá trình ôn tập môn toán, cùng với chủ đề bất đẳng thức, phương trình và 
bất phương trình vô tỷ là một trong những nội dung mà học sinh ngại học nhất. Đây 
là một nội dung không hề dễ dàng ngay đối với cả giáo viên, do đó người dạy và 
người học thường hay “bỏ qua” một cách rất đáng tiếc, mặc dù nội dung này chiếm 
tới 10% tổng số điểm của cả bài thi. Trải qua thực tiễn công tác, giảng dạy và để 
giúp học sinh đạt điểm cao hơn tôi mạnh dạn đề xuất và nghiên cứu đề tài “Một số 
kinh nghiệm hướng dẫn học sinh quan sát, tìm hiểu tính chất và mối liên hệ 
giữa các biểu thức có trong phương trình, bất phương trình vô tỷ để định hướng 
cách giải”. 
2. Mục đích nghiên cứu
 Đề tài giúp cho học sinh rèn luyện được cho mình sự kiên trì, tư duy logic và 
trên hết là bớt “căng thẳng”, “sợ sệt”, “thiếu tự tin” khi làm toán, đặc biệt là khi gặp 
bài toán phương trình, bất phương trình vô tỷ.
3. Đối tượng nghiên cứu
 Đề tài nghiên cứu sử dụng các phép biến đổi tương đương trong việc khử căn 
thức và một số phép biến đổi thường gặp, từ đó hướng dẫn học sinh quan sát, tìm 
hiểu tính chất và mối liên hệ giữa các biểu thức có trong phương trình và bất 
phương trình vô tỷ để định hướng cách giải.
4. Phương pháp nghiên cứu
 2 và làm bài phương trình và bất phương trình vô tỷ trong các đề thi là quá “xa xỉ”. 
Năm học 2015 – 2016, được phân công giảng dạy 2 lớp 12A và 11A thông qua việc 
hỏi tất cả các em cùng một câu hỏi: “Các em nhận xét thế nào về bài toán phương 
trình và bất phương trình vô tỷ có trong các đề thi”, tôi nhận được các câu trả lời 
như sau:
 Câu trả lời
 Số HS Không biết Bỏ qua vì biết chắc Có quan tâm 
 Ý kiến 
 được hỏi trong đề thi có chắn là không làm nhưng khó quá 
 khác
 dạng này được không làm được
 12A 
 5 23 3 1
 (32HS)
 11A 
 7 12 3 0
 (22HS)
 Tổng: 
 12 35 6 1
 54 HS
 Hoàn toàn không bất ngờ khi nhận được kết quả này nhưng thật sự rất buồn 
và rất tiếc cho các em. Vì, có thể các em không đạt được điểm tối đa trong câu hỏi 
này song các em có thể đạt được ít nhất 0,25 điểm nếu biết phân tích đề bài để định 
hướng được cách giải.
 Kết quả trên cũng đã phản ánh đúng thực tế phương trình và bất phương 
trình vô tỷ là phần “ngại dạy” và “sợ học” đối với giáo viên và học sinh. Điều này 
dẫn đến tình trạng học sinh thường bỏ qua không làm bài toán này trong các đề thi, 
đây là điều hết sức đáng tiếc. Bởi để có kết quả thi tốt nhất đòi hỏi học sinh phải 
biết “chắt chiu” từng điểm số một. Vậy chúng ta nên lựa chọn cách thức nào để học 
sinh tiếp cận và cảm thấy “có thể” làm được? Đó chính là những thực trạng mà 
trong đề tài này tôi muốn đề cập tới.
3. Các giải pháp để giải quyết vấn đề
 Trong khuôn khổ của đề tài và những áp dụng trong thực tế giảng dạy, tôi 
lựa chọn một số các ví dụ minh họa cụ thể sau:
Ví dụ 1: Giải phương trình 3x 2 x 3 2x 1
 Phân tích: Nếu vội vàng dùng phép bình phương để khử các căn thức có mặt 
trong phương trình, ta sẽ phải xử lý các biểu thức cồng kềnh, phức tạp và vì thế, sẽ 
gặp những khó khăn lớn (thậm chí không thể vượt qua) trong quá trình giải phương 
trình đó. Nếu trước khi thực hiện các phép biến đổi, chịu khó quan sát, tìm hiểu 
tính chất của các biểu thức có mặt trong phương trình và mối liên hệ giữa chúng, có 
thể nhận ra quan hệ sau giữa các biểu thức: 2x 1 (3x 2) (x 3) .
 Điều này cho thấy phương trình đã cho thuộc dạng (*). Từ đó ta có lời giải 
sau:
 4 Phân tích: Bằng cách sử dụng phép biến đổi (1) có thể khử ngay căn thức 
trong phương trình trên. Tuy nhiên, khi đó sẽ thu được một phương trình bậc 4 đầy 
đủ và vì thế có thể sẽ gặp khó khăn lớn trong việc giải phương trình đã cho theo 
hướng này.
 Quan sát tìm hiểu các biểu thức có mặt trong phương trình ta thấy
 x 3 1 x 1. x 2 x 1 , (theo hằng đẳng thức (8))
Và 2x 2 4x 2(x 2 x 1) 2(x 1) , (bằng cách sử dụng đồng nhất thức)
 Từ đó, để thuận tiện cho việc tìm hiểu mối quan hệ giữa các biểu thức ở 2 vế 
của phương trình, đặt a x 2 x 1 và b x 1 . Khi đó, có thể viết phương trình 
đã cho dưới dạng: 2a 2 2b 2 3ab .
 Dễ thấy 2a 2 2b 2 3ab 0 (a 2b)(2a b) . Điều này cho thấy ta có thể biến 
đổi phương trình đã cho về một phương trình tích. Ta giải phương trình như sau:
+) Điều kiện: x 1
+) Với điều kiện đó, ta có:
 2x 2 4x 3 x 3 1
 2 x 2 x 1 x 1 x 2 x 1 2 x 1 0
 x2 x 1 2 x 1 0 vì 2 x2 x 1 x 1 0
 x 2 x 1 2 x 1
 x 2 5x 3 0
 5 37 5 37
 x hoặc x 
 2 2
 Cả 2 giá trị ở trên đều thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vì vậy, phương 
 5 37 5 37
trình đã cho có 2 nghiệm là x và x .
 2 2
Ví dụ 4: Giải phương trình 2x 2 x 3 3 2x 2 x 1
 Phân tích: Để ý rằng 2x 2 x 1 2x 2 x 1 2 , ta thấy có thể chuyển vế giải 
phương trình đã cho về việc giải các phương trình có dạng đơn giản hơn nhờ phép 
đặt ẩn số phụ.
Ta giải phương trình như sau:
 1
+) Điều kiện: 1 x 
 2
+) Với điều kiện đó ta đặt 2x 2 x 1 t,t 0 (1)
Khi đó từ phương trình đã cho ta có phương trình
 t 2 3t 2 0 t 1 hoặc t 2
Kết hợp với điều kiện t 0 ta được t 1
Thay t 1 vào (1) ta được phương trình 
 6 Từ đó có thể chuyển việc giải bất phương trình đã cho về việc giải các bất phương 
trình có dạng đơn giản hơn nhờ phép đặt ẩn số phụ. Ta giải như sau:
 5
+) Điều kiện của bất phương trình: x 3 hoặc x 
 2
+) Với điều kiện đó, ta đặt: 2x 2 x 15 t,t 0
Bất phương trình đã cho trở thành:
 t 2 3t 4 0
 t 1 hoặc t 4
Kết hợp với điều kiện t 0 ta được t 4
Do đó 2x 2 x 15 4 2x 2 x 15 16
 1 249 1 249
 x hoặc x 
 4 4
Tất cả các giá trị x vừa tìm được ở trên đều thỏa mãn điều kiện. Vậy nghiệm của 
 1 249 1 249
bất phương trình đã cho là x hoặc x .
 4 4
 Trên đây là một số ví dụ minh họa cho việc phân tích mối quan hệ của các 
biểu thức có trong phương trình và bất phương trình để tìm lời giải. Với năng lực 
thực tế của học sinh nhà trường, chỉ mong muốn các em không bỏ qua bài toán này 
cũng như hiểu được rằng để có điểm không nhất thiết phải giải tới kết quả cuối 
cùng. 
4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 
 Với giới hạn của đề tài cùng với việc khả năng tiếp thu của học sinh còn hạn 
chế, tôi chỉ trình bày các ví dụ như trên. Vấn đề là ở thái độ của các em khi gặp bài 
toán phương trình và bất phương trình vô tỷ đã có nhiều chuyển biến. Nếu trước 
đây các em “mặc định” xem phần này là “ngoài tầm với”, là “không thể” kiếm 
được điểm thì giờ các em phần nào đã “tự tin” hơn và tích cực hơn. Nếu trước đây 
các em chỉ chờ thầy cô chữa rồi chép lại cho xong thì giờ đây đã khác, các em làm 
việc rất say mê: trao đổi sôi nổi, không còn ánh mắt thờ ơ, niềm vui hiện rõ trên 
khuôn mặt khi các em tìm định hướng được cách giải. Với kết quả làm được, học 
sinh đã trở thành người chủ động tìm tòi , khám phá phát hiện các vấn đề đặt ra 
trong bài học làm cho “Học” thực sự là quá trình kiến tạo.
 Thời lượng dành cho nội dung phương trình và bất phương trình là không 
nhiều, với thời lượng này học sinh được làm rất ít bài tập và gần như không được 
hướng dẫn để phân tích, khai thác các bài tập. Trước khi áp dụng đề tài tôi yêu cầu 
các em liệt kê các phép biến đổi tương đương dùng để khử dấu căn thức, nhiều em 
còn chưa biết những nội dung đó ở đâu? Không hình dung được sẽ phải làm gì? 
Làm như thế nào?. Kết quả thu được như sau:
 Hoàn thành Không hoàn thành
 Lớp
 SL % SL %
 8 Tiếp cận phương trình, bất phương trình vô tỷ trong các đề thi theo hướng tự 
mình phân tích, đánh giá và định hướng cách giải luôn đem lại một sự thích thú cho 
người nghiên cứu nó. Hi vọng rằng đề tài này sẽ góp phần đem phương trình và bất 
phương trình vô tỷ “xích lại” với người học, từ đó tạo sự hứng thú trong việc học 
nội dung này, tránh được thức trạng “bỏ qua” trong các đề thi. Chắc chắn nếu đề tài 
áp dụng thành công với học sinh trường THPT Mường Lát, thì có thể nghiên cứu 
phát triển và áp dụng với tất cả các đối tượng học sinh. Bởi, trong những năm qua 
số lượng học sinh có lực học trung bình - yếu, kém môn toán ở Trường Mường Lát 
chiếm tỉ lệ rất cao; khả năng tiếp thu bài hạn chế, hầu hết các em đều bị mất căn 
bản; ý thức tự học, trao đổi còn yếu, thiếu tự tin và chưa tìm được phương pháp học 
tập có hiệu quả.
 Trong quá trình thức hiện và nghiên cứu đề tài còn nhiều thiếu xót, rất mong 
nhận được ý kiến đóng góp để bản thân tác giả cùng đề tài ngày càng hoàn thiện 
hơn. Đề tài hoàn thành được ngoài sự nỗ lực của bản thân là sự giúp đỡ tạo điều 
kiện của Ban giám hiệu nhà trường cùng các đồng đồng nghiệp. Xin được gửi tới 
các đồng chí lời cảm ơn sâu sắc nhất, mong rằng trong quá trình công tác luôn nhận 
được sự lãnh chỉ đạo và giúp đỡ của BGH cùng các đồng chí cán bộ giáo viên nhà 
trường.
2. Kiến nghị
* Với Sở GD&ĐT:
 Tổ chức các đợt tập huấn về chuyên môn cho giáo viên để nâng cao trình độ. 
Cung cấp thêm các nguồn tài liệu cho các trường miền núi.
* Với nhà trường:
 Luôn luôn quan tâm, giúp đỡ, động viên , khuyến khích giáo viên nghiên cứu 
để tìm ra các giải pháp nâng cao chất lượng dạy học.
 Tổ Chuyên môn nói chung, các giáo viên nói riêng phải thường xuyên suy 
nghĩ, tìm tòi, học hỏi để nâng cao chât lượng dạy học bộ môn Toán trong trường có 
chất lượng đầu vào thấp như trường THPT Mường Lát.
 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 16 tháng 03 năm 2016
 Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, 
 không sao chép nội dung của người khác.
 Nguyễn Nam Sơn
 10