Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh lớp 12 cách giải các dạng toán về tính tích phân cơ bản ở bậc THPT

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 
CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ TÍNH TÍCH PHÂN CƠ BẢN 
 Ở BẬC THPT
 Người thực hiện: Mai Huy Sáu
 Chức vụ: Giáo Viên
 SKKN thuộc môn: Toán 
 THANH HÓA NĂM 2016
 0 1. Mở đầu
- Lý do chọn đề tài.
 + Tính tích phân là bài toán thường gặp trong các kỳ thi tốt nghiệp THPT và kỳ 
thi tuyển sinh vào đại học. Rèn luyện cho học sinh có kỹ năng tính tích phân là 
nhiệm vụ đặc biệt quan trọng. Trong quá trình dạy học môn Toán nói chung và dạy 
bài tập về tính tích phân trong chương trình trung học phổ thông học sinh thường 
lung túng không biết hướng suy nghĩ tìm tòi lời giải, học sinh không biết bài này 
thì đổi biến hay dùng phương pháp tích phân từng phần. 
 + Đối với những bài toán như vậy, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm tòi để 
phát hiện ra lời giải, nhằm trang bị cho học sinh tri thức suy luận, tư duy sáng tạo 
trong giải toán. Chúng ta có thể thông qua những hướng dẫn giải bài toán “bài toán 
gốc” có trong sách giáo khoa dần truyền thụ cho học sinh suy nghĩ phát hiện lời 
giải. Xuất phát từ bài toán “bài toán gốc” định hướng cho học sinh “suy luận” từ đó 
“quy bài toán lạ” về “bài toán quen” củng cố lòng tin cho học sinh học toán, say mê 
với toán và giải toán có hiệu quả. Dạy và hướng dẫn học sinh giải toán tích phân ở 
cấp THPT, tôi đặt câu hỏi: “Làm thế nào để giúp học sinh chủ động giải toán tích 
phân, học sinh tin tưởng là giải được bài toán tích phân có trong sách giáo khoa, 
các bài toán tích phân trong kỳ thi THPT Quốc gia?”.
 + Trong khoảng thời gian giảng dạy và nghiên cứu về tích phân, tôi nhận thấy 
hiện chưa có các tài liệu nghiên cứu nào bàn sâu và chi tiết về cách giải bài tập tích 
phân cơ bản thường gặp.
 + Qua giảng dạy, tôi đúc rút kinh nghiệm và mong muốn trao đổi với đồng 
nghiệp một số hướng suy nghĩ để giải quyết một số bài tập tích phân cơ bản - dạng 
quen thuộc (không có ý tìm ra hay đưa ra cách giải tổng quát cho một dạng toán 
tích phân cụ thể, hay nêu bài toán tổng quát và lời giải tổng quát cho tích phân ấy, 
mà tôi chỉ nêu các hướng giúp học sinh “biết định hướng cách giải”, suy luận được 
khi giải toán tích phân).
- Mục đích nghiên cứu: 
 + Nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập tích 
phân cơ bản một cách hợp lý và đạt hiệu quả nhanh nhất.
 + Trên cơ sở những kinh nghiệm của bản thân, cùng với những trao đổi với đồng 
nghiệp để tìm ra các giải pháp hữu hiệu vận dụng trong quá trình hướng dẫn học 
sinh giải bài tập tích phân cơ bản. Góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn 
Toán ở lớp 12.
- Đối tượng nghiên cứu: Các bài toán tích phân cơ bản thường gặp trong chương 
trình giải tích lớp 12.
- Phương pháp nghiên cứu: 
 + Xây dựng cơ sở lí thuyết.
 + Khảo sát thực tế.
 + Phương pháp phân tích, suy luận, tổng hợp, so sánh
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
 2 hợpKết quả khảo sát khi tôi dạy phần tích phân cho học sinh lớp 12 năm học 
2013- 2014 khi chưa áp dụng sáng kiến này:
 Điểm < 5 Điểm 5 < 8 Điểm 8
 Lớp Sĩ số
 số lượng % số lượng % số lượng %
 12D 38 13 34,21 23 60,52 2 5,27
 12P 47 17 36,17 24 51,06 6 12,77
 Từ kết quả trên tôi nhận thấy tỉ lệ học sinh có số điểm dưới trung bình là quá 
cao, trong khi đó học sinh đạt điểm giỏi lại quá thấp. Điều này khiến bản thân tôi 
phải trăn trở tìm ra phương pháp hướng dẫn học sinh biết cách giải các dạng toán 
tích phân cơ bản một cách dễ dàng và hiệu quả nhất. 
2.3 Các giải pháp được sử dụng trong việc hướng dẫn học sinh giải các tích 
phân cơ bản.
Thông qua một số dạng tích phân cơ bản tôi hướng dẫn cho học sinh các cách tiếp 
cận khác nhau, áp dụng vào giải các tích phân đơn giản khác:
Các tích phân “cơ bản” và các cách tính phổ biến (với giả thiết hàm số dưới dấu 
tích phân liên tục trong đoạn đang xét): 
2.3.1. Một số tích phân cơ bản của hàm số phân thức hữu tỷ:
  f '(x) 
a) Tích phân I1 dx ln f (x) 
 f (x) 
 1 x3
Ví dụ 1: Tinh tích phân I dx
 2
 0 x 1
 1 x 1 1 1 1 2x 1 1 1
Ta c ó: I (x )dx = x2 (*) = ln x2 1 
 2 2
 0 x 1 2 0 2 0 x 1 2 2 0
Chú ý: Tích phân (*) có dạng I1 
 1 x 1 2
Bài tập tương tự: Tính I dx (Trích ĐH khối D năm 2013) 
 2
 0 x 1
  f (x)
b) - Tích phân I2 dx (với bậc của f x nhỏ hơn hai)
 (x x1)(x x2 )
 f (x) A B
Ta viết = 
 (x x1)(x x2 ) (x x1) (x x2 )
  f (x)
 dx f x
 - Tích phân 2 với bậc của nhỏ hơn ba
 (x x1)(x x0 )
 4 1 x3
Bài tập tương tự: Tính I = dx (Trích ĐH khối B năm 2012) 
 4 2
 0 x 3x 2
c) Việc sử dụng thành thạo các vi phân cơ bản giúp ta định hướng cách giải, chẳng 
 1 1 1
hạn: (1 )dx (x )'dx d(x ) .
 x2 x x
 1
 1 
 2 1 x2 1 x2 2
Ví dụ 5. Tính tích phân sau I = dx Ta có: = x . 
 4 4 1
 1 1 x 1 x x2 
 x2
 1 1
Nên ta đặt t = x dt = (1 )dx
 x x2
 3 3
 2 dt 1 2 1 1 1 2 1
 I = ( )dt = ... = ln( )
 2 
 1 t 2 2 2 1 t 2 t 2 2 2 2 1
 2 1 x2
 Ví dụ 6. Tính tích phân: I dx .
 3
 1 x x
 1 1
 2 1 d(x )
 1 x 2 1 4
Ta có: dx x dx x , nên ta đặt t = x I ln
 3 1 1
 x x x2 x2 x 5
 x2 x2
2.3.2. Một số tích phân cơ bản của hàm số vô tỷ: 
  dx
a) Tích phân J 
 1 2 2
 x a
Ta có thể thực hiên theo các cách giải sau:
 a
+) Cách 1: Đổi biến số x 
 sin t
 a
+) Cách 2: Đổi biến số x 
 cost
+) Cách 3: Đổi biến số t x x 2 a 2 
+) Cách 4: Đổi biến số t ln(x x 2 a 2 )
 1 1 x a
+) Cách 5: Ta viết và đặt t = 
 x 2 a 2 x a x a
 (x a)
 x a
Nhận xét: Trong mỗi bài tập ta chọn cách nào là còn tuỳ vào tình huống đổi cận.
 4 dx 3 dx
Ví dụ 7. Tính các tích phân sau : I ; J 
 2 2
 4 x 4 2 x 1
 3
 6 2 3 dx
Ví dụ 8. Tính tích phân sau: I 
 2 2
 2 x x 4
 2 
Đặt x 2tant dx dt và khi x = 2 thì t = , khi x = 2 3 thì t = . 
 cos2 t 4 3
 3 costdt
 I (tích phân này có thể chuyển về tích phân hàm hữu tỷ khi đặt u sint )
 2
 4sin t
 4
 3
Ví dụ 9. Tính tích phân: I = x2 1dx ta dùng phương pháp tích phân từng phần: 
 2
 u x2 1
Do biểu thức trong dấu tích phân có chứa căn bậc hai , nên ta đặt: 
 dv dx
 xdx
 du 3 2 3 3
 2 3 x dx 2 3 2 dx
 x2 1 I x x 1 = x x 1 x 1dx 
 2 2
 2 2 x 1 2 2 2 x 1
 v x
 3
 2 3 2
hay 2I = x x 1 x 1dx (Đây là tích phân đã đề cập phần a) tích phân J1)
 2 2
  dx
c) Tích phân J4 
 2 2
 a x
Đổi biến số x a sint hoặc x acost
 1 1 2
Ví dụ 9: Tính tích phân I x2 1 x2 dx . Ta đặt x a sint thì I = sin2 t cos2 tdt =..
 0 8 0
 1 x2dx 1
Bài tập tương tự: a) ; b) x2 4 3x2 dx
 2 3 
 0 ( 4 x ) 0
 
 dx 2
d) Tích phân: J5 với mx nx p 0 ,  x R
 2
 (ax b) mx nx p
 1  dx
Đổi biến số: ax b ta sẽ đưa tích phân J về dạng (Tích phân J2).
 5 2 2
 t x a
 2 3 dx
Ví dụ 10: Tính tích phân I ,(ĐH khối A - 2003) 
 2
 5 x x 4
 8 +) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a2 x2 nên ta đặt x 2sint dx 2costdt . 
 6
khi đó: I 2 sintdt .
 0
 1
Ví dụ 13. Tính tích phân : I x 2 x2 dx (ĐH khối B – 2013)
 0
+)Cách 1: Đặt t 2 x2 t2 2 x2 tdt xdx và x 0 thì t 2 ; khi x 1 thì 
 2 t3 2 2 2 1
 t 3 . Vậy: I t2dt = = .
 1 3 1 3
+) Cách 2: Nhận thấy trong căn có dạng a2 x2 nên ta đặt x 2 sint 
 2 1
 dx 2costdt . khi đó: I sin 2tdt = cos2t 2 1 
 2
 0 0
 1
Bài tập tương tự. Tính tích phân I x 4 3x2 dx ; 
 0
g) Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có chứa n ax b thi ta thường đặt t n ax b
 2 xdx
Ví dụ 14: Tính tích phân I (ĐH. A-2004)
 1 1 x 1
Đổi biến số dạng 1: Đặt t x 1 t2 x 1 dx 2tdt ;
Đổi cận : khi x 1 thì t 0; khi x 2 thì t 1
 2
 1 1 t .2tdt 1 t t3
 I = 2 dt (đây là tích phân hàm hữu tỉ, từ đó tính được I ).
 0 1 t 0 1 t
 7
 3 x 1
Ví dụ 15. Tính tích phân I dx 
 3
 0 3x 1
 7 7
 3 3 2 1
 1 3x 1 2 1 
Ta có I dx = 3x 1 3 2 3x 1 3 d 3x 1 
 3 
 3 0 3x 1 9 0 
 7
 1 3 5 2 46
= 3x 1 3 3 3x 1 3 3 = 
 9 5 15
 0
 9 1
Bài tập tương tự: I x 3 1 xdx ; J x 1 2 xdx
 1 0
 10