Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát hiện và tìm lời giải cho bài toán phương trình, bất phương trình vô tỉ trong đề thi THPTQG môn Toán với sự hỗ trợ của máy tính FX-570VN PLUS

 MỤC LỤC
Mục Nội dung Trang
 A ĐẶT VẤN ĐỀ 1
 1 Lí do chọn đề tài 1
 2 Mục đích nghiên cứu 1
 3 Đối tượng nghiên cứu 1
 4 Phương pháp nghiên cứu 1
 B NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2
 1 Cơ sở lý luận 2
 2 Thực trạng của vấn đề 2
 3 Một số kinh nghiệm giúp học sinh phát hiện và tìm lời giải cho 3
 bài toán phương trình, bất phương trình vô tỉ trong đề thi 
 THPTQG môn Toán với sự hỗ trợ của máy tính FX-570VN.
 3.1. Hướng dẫn học sinh hiểu, biết sử dụng phím SOLVE và 
 chức năng TABLE để tìm nghiệm của phương trình. 3
 3.2. Hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao với sự hỗ 
 trợ của máy tính cầm tay 5
 3.3. Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô 
 tỉ bằng phương pháp lũy thừa hai vế với sự hỗ trợ của máy tính 6
 cầm tay.
 3.4. Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô 7
 tỉ bằng phương pháp nhân liên hợp với sự hỗ trợ của máy tính 
 cầm tay.
 3.5. Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô 12
 tỉ bằng phương pháp hàm số với sự hỗ trợ của máy tính cầm 
 tay.
 3.6. Hướng dẫn học sinh phát hiện và tìm lời giải cho bài toán 15
 phương trình vô tỉ trong đề thi THPT QG 2015 với sự hỗ trợ 
 của máy tính cầm tay.
 4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 18
 C KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 18
 B. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. CƠ SỞ LÝ LUẬN.
 - Các ứng dụng của máy tính cầm tay vào việc dạy và học toán đã trở nên 
phổ biến trong những năm trở lại đây. Đặc biệt một số chuyên đề khó có thể trở nên 
dễ dàng ngay cả với những học sinh yếu khi tham gia kỳ thi THPTQG với sự hỗ trợ 
của máy tính cầm tay. Chính vì thế hàng năm các sở giáo dục đạo tạo luôn đấu mối 
để mở các lớp tập huấn cho giáo viên nhằm trang bị các kiến thức và ứng dụng của 
máy tính cầm tay trong giải toán. Các trường THPT tăng cường việc bồi dưỡng giải 
toán trên máy tính cầm tay cho học sinh nhằm đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh 
giỏi giải toán trên máy tính cầm tay được tổ chức hằng năm cũng như có kiến thức 
để làm tốt các câu phân loại trong đề thi THPT QG.
 - Trên cơ sở Qui chế thi THPTQG ban hành kèm theo Thông tư số 
02/2015/TT-BGD ĐT ngày 26/2/2015 của Bộ GD ĐT, ngày 17/6/2015 Bộ GD ĐT 
ra công văn số 3013/BGD ĐT – CNTT về việc danh sách máy tính cầm tay được 
mang vào phòng thi trong đó có FX- 570 VN Plus là dòng máy tính được học sinh 
ưa dùng nhất hiện nay.
 - Phương trình, bất phương trình vô tỷ là dạng toán thường gặp trong đề thi 
Đại học và THPTQG những năm gần đây. Dạng toán này đòi hỏi học sinh phải có 
tầm nhìn bao quát, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác nhau mới có thể tìm được 
hướng giải nhanh chóng và chính xác nhất. Công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải 
phương trình, bất phương trình là máy tính bỏ túi. Tuy nhiên nhiều học sinh vẫn 
chưa khai thác được chức năng này của máy tính.
2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ.
 Trường THPT Thạch Thành 2 là một trường đóng tại địa bàn miền núi của 
tỉnh Thanh Hóa. Điều kiện học tập, sinh hoạt của học sinh ngày càng được cải 
thiện. Chất lượng giáo dục của nhà trường ngày càng đi lên từng bước khẳng định 
vị thế của nhà trường. Hàng năm tỉ lệ đỗ tốt nghiệp là 98 đến 100%; tỉ lệ học sinh 
đỗ vào các trường Đại học cao đẳng từ 35 đến 40%. Tuy nhiên vẫn chưa vượt lên 
các trường THPT trong địa bàn huyện nhà. Số lượng học sinh đỗ vào các trường 
Đại học tốp trên còn khiêm tốn. Môn Toán có vai trò rất quan trọng số để đưa chất 
lượng nhà trường đi lên. Qua thống kê điểm thi môn Toán trong kỳ thi Đại học và 
THPTQG của học sinh nhà trường qua một vài năm gần đây có thể thấy rằng hàng 
 Trang 2 tổng thể các giá trị của biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu 
của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm một cách tiết kiệm thời gian.
Ví dụ 1: Hãy dự đoán các nghiệm của phương trình 
 x2 2x 8
 (x 1)( x 2 2) (Đề thi THPTQG 2015)
 x2 2x 3
Điều kiện x 2
Ta sử dụng Chức năng TABLE: (MODE 7) để dự đoán nghiệm như sau:
- Bấm MODE 7 và nhập vào màn hình máy tính
 x2 2x 8
 f (x) (x 1)( x 2 2)
 x2 2x 3
- Bắt đầu tính từ giá trị -2 
- Đến giá trị 10 
- Bước nhảy bằng 1 
- Ta xem màn hình kết quả 
Từ bảng kết quả ta đi đến các nhận xét sau:
 - Ta thấy với x = 2 thì f(x) = 0. Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình đề bài.
 - Ta thấy f(3) = 0,2223; f(4) = -0,792. Theo tính chất của hàm số liên tục 
chứng tỏ phương trình còn có nghiệm khác trong khoảng (3; 4).
Tiếp tục ta dùng chức năng SOLVE để tìm nghiệm còn trên khoảng (3; 4)
- Nhập phương trình vào màn hình máy tính
 x2 2x 8
 (x 1)( x 2 2)
 x2 2x 3
- Bấm SHIFT CALC 3 = 
- Ta có nghiệm gần đúng là x = 3,302775638. 
 Trang 4 Vậy phương trình đã cho có nhân tử là x2 5x 3
 Ta thực hiện phép chia 4x2 25x3 16x2 9 cho x2 5x 3 được thương là 
 4x2 5x 3. Như vậy 4x2 25x3 16x2 9 x2 5x 3 4x2 5x 3 
Ta đi đến lời giải: 4x2 25x3 16x2 9 0 x2 5x 3 4x2 5x 3 0
 x2 5x 3 0 5 37
 x 
 2
 4x 5x 3 0(PTVN) 2
 Nhận xét: Đối với phương trình bậc cao nếu dùng lệnh SOLVE tìm được 2 
nghiệm có tổng S và tích P là hai giá trị hữu tỉ thì ta luôn tìm được nhân tử là 
 x2 Sx P . Từ đó ta có thể tìm ra các nhân tử còn lại và nhanh chóng giải được 
phương trình.
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau:
 1/ x4 3x3 x 3 0 Đáp số: x 1; x 3
 3 13
 2/ x6 2x5 x4 9x3 x2 22x 7 0 Đáp số: x 
 2
 3/ x4 8x3 8x2 12x 3 0 Đáp số: x 3 2 3; x 1 2
 1 13 1 29
 4/ 225x4 30x3 153x2 6x 21 0 Đáp số: x ; x 
 6 10
 1 13
 5/ 27x6 x3 4x 2 0 Đáp số: x 
 6
3.3. Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô tỉ bằng phương 
pháp lũy thừa hai vế với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay.
 Hai dạng cơ bản thường được giải bằng phương pháp lũy thừa hai vế đó là: 
 g(x) 0
 f (x) g(x) 3 f (x) g(x) f (x) g 3 (x)
1/ 2 2/ 
 f (x) g (x)
Ví dụ 3: Giải phương trình 2x2 x 3 2 x (Trích đề thi khối B 2014)
 Khi gặp phương trình này học sinh lực học trung bình sẽ lúng túng đi tìm 
phương pháp giải. Tuy nhiên với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay chúng ta giúp học 
sinh không còn ngại việc lũy thừa hai vế để có phương trình bậc 4 sau đó tiến hành 
nhẩm nghiệm và tìm nhân tử.
 2x2 x 3 0
 2 x ( ; 1][3 / 2; )
 2x x 3 2 x 2 
 2 4x4 4x3 11x2 7x 7 0(*)
 2x x 3 2 x 
 Trang 6 Đối với các bài toán chỉ có 1 nghiệm hữu tỉ, nhiều nghiệm hữu tỉ, hay các bài 
toán chỉ có các nghiệm vô tỉ... Ta sẽ khai thác ứng dụng của máy tính cầm tay trong 
các ví dụ tương ứng sau đây. 
Ví dụ 4: Giải phương trình
 3x 1 6 x 3x2 14x 8 0 (Trích đề thi khối B 2011)
 1 
 Điều kiện: x ;6
 3 
 Trước hết ta dùng TABLE để tìm nghiệm hoặc khoảng nghiệm của phương 
trình như sau:
- Bấm MODE 7 và nhập vào màn hình máy tính
 f (x) 3x 1 6 x 3x2 14x 8
- Bắt đầu tính từ giá trị 0
- Đến giá trị 6 
- Bước nhảy bằng 1 
- Ta xem màn hình kết quả bằng việc di chuyển phím 
lên xuống.
 Ta nhận thấy có nghiệm x = 5 và qua đó ta thấy không có khả năng xuất hiện 
nghiệm khác. 
 Thay x= 5 vào 3x 1 ta được 3x 1 4 . 
 Thay x= 5 vào 6 x ta được 6 x 1. 
 Vậy để có nhân tử (x – 5) ta cần tạo được các nhóm ( 3x 1 4) và 
 ( 6 x 1)
 Từ đó ta đi đến lời giải như sau:
 Trang 8 x 1 x 6 x 2 x 2 x 6 x 6 1
 x 4 0 )
 x 2 2 x 7 3 x 2 2 2 x 7 3 2 x 2 2
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T  2;2
 Ví dụ 6: Giải phương trình
 3x2 x 3 3x 1 5x 4 (Trích đề thi khối B 2013)
Điều kiện: x 1/ 3 Do đó để tìm nghiệm của phương trình ta dùng TABLE như 
sau: 
 - Bấm MODE 7 và nhập vào màn hình máy tính
 f (x) 3x2 x 3 3x 1 5x 4
 - Bắt đầu tính từ giá trị 0, đến giá trị 6, bước nhảy bằng 1. Xem kết quả: 
 Ta nhận phương trình thấy có 2 nghiệm là x = 0; x = 1 và qua đó ta không 
thấy có khả năng xuất hiện nghiệm khác. Vậy cần tìm biểu thức liên hợp khi biết 
được 2 nghiệm hữu tỉ như thế nào. Chúng ta làm như sau:
 Cho 3x 1 ax b . Thay x = 0 và x = 1 ta được a = 1; b = 1
 Cho 5x 4 cx d . Thay x = 0 và x = 1 ta được c = 1; d = 2
 Để có nhân tử x2 x trong phương trình ta cần tạo ra các nhóm biểu thức 
 3x 1 x 1 và 5x 4 x 2 . 
 Từ đó ta đi đến lời giải như sau:
Điều kiện: x 1/ 3 Ta có phương trình 
 3x2 x 3 3x 1 5x 4 3 x2 x x 1 3x 1 x 2 5x 4 0
 2 1 1 2 x 0
 x x 3 0 x x 
 x 1 3x 1 x 2 5x 4 x 1
 1 1
(Do 3 0 với x 1/ 3)
 x 1 3x 1 x 2 5x 4
Ví dụ 7: Giải bất phương trình 2x2 x 2 3x2 2x 3 8x 3 
 3
Điều kiện: x Do đó để tìm nghiệm của phương trình ta dùng TABLE như sau: 
 8
 Trang 10 2 2
 2 2x 2x 1 4x 4x 2 
 2x 2x 1 0
 2 
 3x 2x 3 (x 2) (2x 1) 8x 3 
 2 1 2
 2x 2x 1 1 0 
 2 
 3x 2x 3 (x 2) (2x 1) 8x 3 
 2 1 3 1 3 
 2x 2x 1 0 x ; 
 2 2 
 1 2 3
(Do ta có 1 0 với x )
 3x2 2x 3 (x 2) (2x 1) 8x 3 8
 1 3 1 3 
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là : T ; .
 2 2 
 Qua các ví dụ trên chúng ta nhấn mạnh học sinh cần chú ý cách tìm ra biểu 
thức liên hợp khi chỉ tìm được 1 nghiệm hữu tỉ, nhiều nghiệm hữu tỉ, hay chỉ tìm 
được nghiệm vô tỉ. 
Bài tập áp dụng: Giải các phương trình, bất phương trình sau:
 17 
1/ 2x2 x 3 21x 17 x x2 Đáp số: x ;1 2; 
 21 
2/ 2 x 3 2(x 1) x 7 4x2 13x 13 Đáp số: x 3; x 1
3/ x2 x 4x 3 6x 2 16x 16 0 Đáp số: x 3; x 1
4/ x2 4x 3 (x 1) 8x 5 6x 2 Đáp số: x 2 5
 7 17
5/ 5x2 5x 3 7x 2 4x2 6x 1 0 Đáp số: x 
 8
3.5. Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô tỉ bằng phương 
pháp hàm số với sự hỗ trợ của máy tính cầm tay.
 - Nếu hàm số f(x) liên tục và đơn điệu trên khoảng K. Khi đó với mọi u, v 
thuộc K ta có: f (u) f (v) u v
 - Nếu hàm số f(x) liên tục và đồng biến trên khoảng K. Khi đó với mọi u, v 
thuộc K ta có: f (u) f (v) u v .
 - Nếu hàm số f(x) liên tục và nghịch biến trên khoảng K. Khi đó với mọi u, v 
thuộc K ta có: f (u) f (v) u v .
 Vấn đề đặt ra là làm sao để tìm được u, v và chọn ra hàm số f(t) liên tục, 
đơn điệu? Ta xem xét ở các ví dụ dưới đây.
 Trang 12