Sáng kiến kinh nghiệm Một số kinh nghiệm giải quyết bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số bậc ba có chứa tham số

 MỤC LỤC
STT NỘI DUNG Trang
 1 PHẦN I: MỞ ĐẦU
 2 1.1 Lớ do chọn đề tài 2
 3 1.2. Mục đớch nghiờn cứu 2
 4 1.3. Đối tượng nghiờn cứu 2
 5 1.4. Phương phỏp nghiờn cứu 3
 6 PHẦN II: NỘI DUNG
 7 2.1 Cơ sở lớ luận. 3
 8 2.2. Thực trạng vấn đề 3-4
 9 2.3 Giải phỏp thực hiện 4-18
 10 2.4. Kết quả 18
 11 PHẦN III: KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ
 12 3.1. Kết luận 18-19
 13 3.2. Kiến nghị 19
 14 Tài liệu tham khảo 20
 1 +) Bài toỏn sử dụng phương phỏp “ Cụ lập tham số ”
 +) Bài toỏn sử dụng mối quan hệ giữa tương giao và cực trị của hàm số
 - Khi phõn loại rừ được phương phỏp giải trong từng trường hợp giỳp học 
sinh cú nhận định nhanh chúng và chớnh xỏc con đường nhanh nhất để giải quyết 
bài toỏn.
 1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIấN CỨU.
 -Tổ chức và tiến hành thực nghiệm sư phạm (Soạn giỏo ỏn thụng qua cỏc tiết 
dạy), thụng qua kiểm tra nhận thức của học sinh để kiểm tra tớnh khả thi của đề 
tài.
 - Trao đổi ý kiến với đồng nghiệp về nội dung sự tương giao của đồ thị hàm số 
bậc 3 cú chứa tham số.
 - Nghiờn cứu tài liệu: Sỏch giỏo khoa cơ bản, nõng cao; Sỏch giỏo viờn; Sỏch 
bài tập; Cỏc đề thi; Internet,.....
 PHẦN II: NỘI DUNG
 2. 1. CƠ SỞ Lí LUẬN.
 Đề tài được nghiờn cứu và thực hiện trờn thực tế kinh nghiệm đó giảng dạy 
cỏc nội dung trong chủ đề hàm số mà trọng tõm là bài toỏn về sự tương giao 
của hàm số bậc 3 cú chứa tham số
 Khi giải bài tập , học sinh phải được trang bị cỏc kiến thức cơ bản , cỏc kỹ 
năng phõn tớch đề bài, kỹ năng nhận dạng bài toỏn để từ đú suy luận ra quan hệ 
giữa kiến thức cũ và kiến thức mới, giữa bài toỏn đó làm và bài toỏn sẽ làm, hỡnh 
thành phương phỏp giải toỏn bền vững và sỏng tạo. 
 Hệ thống bài tập phải giỳp học sinh cú thể tiếp cận và nắm bắt những kiến 
thức cơ bản nhất , và dần dần phỏt triển khả năng suy luận, khả năng vận dụng 
cỏc kiến thức đó học một cỏch linh hoạt và sỏng tạo vào cỏc bài toỏn. Từ đú học 
sinh cú hứng thỳ và tạo ra động cơ học tập tốt đối với nội dung này.
 2.2. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
 Qua tham khảo ý kiến đồng nghiệp và thực tiễn giảng dạy cho thấy rất 
nhiều học sinh gặp khú khăn khi giải quyết cỏc bài toỏn về sự tương giao giữa 
 3 ( Phương trỡnh (*) gọi là phương trỡnh hoành độ giao điểm )
 - Muốn đồ thị hàm số y=f(x,m) cắt Ox tại bao nhiờu điểm thỡ phương trỡnh 
 f(x,m)=0 (**) phải cú bấy nhiờu nghiệm và hoành độ giao điểm chớnh là 
nghiệm của phương trỡnh (**). 
 ( Phương trỡnh (*) gọi là phương trỡnh hoành độ giao điểm )
 - Cỏc kiến thức cần nhớ
 +) Định lý Vi-et: Nếu phương trỡnh ax2 +bx+c=0 (a 0) cú 2 nghiệm 
 b
 S=x +x =-
 1 2 a
 x ,x thỡ ta cú: 3
 1 2 c
 P=x x =
 1 2 a
 0
 +) Phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc x0 
 f(x0 ) 0
 - Đối với phương trỡnh bậc ba ax3 +bx2 +cx+d=0 (a 0): Nếu đó dự đoỏn 
được phương trỡnh cú 1 nghiệm x=x0 ta cú thể dựng phộp chia đa thức hoặc sơ 
đồ Horner để phõn tớch thành nhõn tử đưa về dạng bậc thấp hơn rồi căn cứ vào 
yờu cầu cụ thể của từng bài để tỡm cỏch giải phự hợp.
 - Điều kiện để hàm số bậc 3 cú Cực đại – Cực tiểu ( CĐ – CT ) là phương 
trỡnh y'=0 cú 2 nghiệm phõn biệt. 2
 * Cỏc cụng thức cần nhớ:
 2 2
 1)Độ dài đoạn thẳng: Cho A(x1;y1) , B x2 ;y2 ta cú AB= x2 -x1 + y2 -y1 
 2)Khoảng cỏch từ M x0;y0 cho trước đến đường thẳng : ax+by+c=0 
 ax0 +by0 +c
được xỏc định theo cụng thức : d M , 1
 a2 +b2
 b) Cỏc dạng toỏn cơ bản về sự tương giao của hàm bậc 3
 b.1. Trường hợp phương trỡnh hoành độ giao điểm nhẩm được nghiệm 
 x = x0
 Phương phỏp: 
 Xột phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và ( C ) :ax3 +bx2 +cx+d=mx+n 
 5 x3-6x2 + 9m-1 x=0 x x2 -6x+9m-1 =0 (1)
 x 0
 2
 x -6x+9m-1 0 (2)
a) d cắt C m tại 2 điểm phõn biệt phương trỡnh ( 1 ) cú 2 nghiệm phõn biệt
 phương trình (2) có nghiệm kép khác 0
 phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0
 10
 m 
 9
 ' 0 10-9m 0 1 10
 m m 
 g(0) 0 9m-1 0 9 9
 ( thỏa món )
 ' 0 10-9m 0 10 1
 m m 
 g(0) 0 9m-1 0 9 9
 1
 m 
 9
 b) d cắt C m tại 3 điểm phõn biệt phương trỡnh ( 1 ) cú 3 nghiệm phõn 
biệt
 phương trỡnh ( 2 ) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 0
 10
 10-9m 0 m 
 ' 0 9
 1 
 g(0) 0 m 1
 9 m 
 9
 Nhận xột :
 - Ở cõu a : Học sinh thường mắc phải sai lầm là bỏ quờn trường hợp phương 
trỡnh
 ( 2 ) cú 2 nghiệm phõn biệt trong đú cú 1 nghiệm bằng 0 .
 - Ở cõu b : Học sinh thường quờn mất điều kiện 2 nghiệm phõn biệt của 
phương trỡnh ( 2 ) phải khỏc 0.
 Do đú trong quỏ trỡnh dạy học việc giỳp cỏc em nắm rừ bản chất vấn đề là 
rất cần thiết. Để cỏc em hiểu rừ vấn đề giỏo viờn cú thể nờu 1 số cõu hỏi để cỏc 
em suy nghĩ , phõn tớch và tự tỡm được đỏp ỏn 
 7 Vớ dụ 3: Cho hàm số y x 3 3x 2 (C ) . Viết phương trỡnh đường 
thẳng d cắt (C ) tại 3 điểm phõn biệt A,B,C sao cho xA =2 và BC=2 2 1
 Lời giải:
 -Ta cú : xA =2 yA 4 A 2;4 
 đường thẳng d qua A 2;4 cú hệ số gúc k nờn cú phương trỡnh 
 d:y=k(x-2)+4
 -Phương trỡnh hoành độ giao điểm của d và ( C ) là : x3-3x+2=k(x-2)+4
 x3-3x-2=k(x-2)
 (x-2)(x2 +2x+1)=k(x-2)
 (x-2)(x2 +2x+1-k)=0 (1)
 x=2
 2
 g(x)=x +2x+1-k=0 (2)
 -Ta cú : d cắt ( C ) tại 3 điểm phõn biệt phương trỡnh ( 1 ) cú 3 nghiệm 
phõn biệt phương trỡnh ( 2 ) cú 2 nghiệm phõn biệt khỏc 2
 ' 0 k 0
 0 k 9
 g(2) 0 9-k 0
 - Gọi B x1;y1 , C x2 ;y2 với x1 ,x2 là nghiệm của phương trỡnh ( 2 )
 x1+x2 =-2
 x1.x2 =1-k
 y1=k x1-2 +4
 -Do B,C d 
 y2 =k x2 -2 +4
 2 2 2 2
 Ta cú : BC = x2 -x1 +k x2 -x1 
 2
 = 1+k2 x +x -4x x 1+k2 4 4 1-k 
 1 2 1 2 
 Theo đề :BC=2 2 BC2 =8 1+k2 4k=8 k3 +k-2=0 k=1 (thỏa món )
 Vậy phương trỡnh đường thẳng d: y=x+2
 9 -Vẽ bảng biến thiờn của hàm số y=f x trong khoảng xỏc định
 -Từ bảng biến thiờn rỳt ra kết luận
 *. Một số vớ dụ.
 3 2
 Vớ dụ 1: Cho hàm số y=x -3x -9x+2m+3 (C m ). Tỡm m để (C m ) cắt Ox 
tại 3 điểm phõn biệt. 1
 Lời giải
 - Phương trỡnh hoành độ giao điểm : x3-3x2 -9x+2m+3 0
 x3-3x2 -9x+3=-2m (1)
 - Số nghiệm của phương trỡnh ( 1) bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 
 y=x3-3x2 -9x+3 (C) và đường thẳng y=-2m
 - Khỏo sỏt nhanh hàm số y=x3-3x2 -9x+3 (C)
 +) TXĐ : D=R
 2 x=-1 y=8
 +) y'=0 3x -6x-9=0 
 x=3 y=-24
 +) BBT:
 x -1 -3 
 y' 0 - 0 
 8 
 y 
 24
 Nhỡn vào BBT ta thấy : -24<-2m<8 -4<m<12 thỡ yờu cầu của bài toỏn 
được thỏa món.
 Nhận xột:
 - Cần để học sinh thấy sự khỏc biệt so với dạng bài nờu ở mục b.1
 Cụ thể: 
 +) Phương trỡnh hoành độ giao điểm cú nhẩm được nghiệm khụng?
 11 25 25
 -3m
 3 9
 +) thỡ d và (C ) khụng cắt nhau.
 5 5 m
 -3m>- m<
 3 9
 5 25
 +) m thỡ phương trỡnh ( 1) cú 1 nghiệm duy nhất. Khi đú d cắt 
 9 9
(C m ) tại 2 họ nghiệm.
 Nhận xột:
 - Nhiều học sinh thấy hàm số lượng giỏc thỡ đó tỏ ra lỳng tỳng và “ nản “, 
tuy nhiờn thụng qua biến đổi hoàn toàn cú thể chuyển về hàm số mới quen thuộc 
thụng qua việc đặt ẩn phụ (t=cosx ( -1 t 1 ) ).
 (Đặc biệt chỳ ý điều kiện của t)
 - Sau đú sử dụng phương phỏp cụ lập tham số để giải quyết bài toỏn.
 - Khi biện luận trường hợp phương trỡnh ( 1 ) cú 1 nghiệm duy nhất đa số 
cỏc em học sinh đều vội vàng kết luận là d cắt (C m ) tại 2 điểm mà vụ tỡnh quờn 
mất tớnh tuần hoàn của hàm số lượng giỏc.
 *. Bài tập tự luyện: 
 3 2
 BT 1: Cho hàm số y=x -3x -9x+m (C m ). Tỡm m để (C m ) cắt Ox tại 3 
điểm phõn biệt. 1
 Đỏp số: -5<m<27
 3 2
 BT 2: Cho hàm số y=x -6x +m (C m ) . Tỡm m để (C m ) cắt Ox tại 3 điểm 
phõn biệt. 4
 Đỏp số: 0<m<32
 BT 3: Cho hàm số y=x3-3x2 . Tỡm m để phương trỡnh x3-3x2 -m=0 cú 3 
nghiệm phõn biệt. 4
 Đỏp số: -4<m<0
 b.3. Dựa vào mối quan hệ giữa tương giao và cực trị
 13 - Vậy với m 1 thỡ yờu cầu của đề bài được thỏa món .
 Nhận xột:
 - Khi xột phương trỡnh (1 ) cần phõn tớch để học sinh hiểu tại sao khụng thể 
sử dụng cỏch giải như cỏc bài toỏn đó nờu ở mục b.1 và b.2
 + Phương trỡnh hoành độ giao điểm khụng nhẩm được nghiệm 
 + Tham số cũng khụng đồng bậc. 
 Khụng thể ỏp dụng cỏch giải của 2 trường hợp đó nờu ở muc b.1 và mục 
b.2 được.
 - Khi đú ta phải dựa vào mối liờn hệ giữa sự tương giao với cực trị. 
 ( Cú thể minh họa đơn giản như sau để học sinh dễ hiểu )
 y
 yCĐ
 O x
 yCT
 - Khi đú bài toỏn đó cho chuyển về bài toỏn cực trị quen thuộc.
 3
 Vớ dụ 2: Cho hàm số y=x +mx+2 C m . Tỡm m để C m tiếp xỳc với Ox. 1
 Lời giải: 
 - Xột phương trỡnh : x3 +mx+2=0 (1)
 2
 m=-x2 - (x 0) (2)
 x
 C m tiếp xỳc với Ox phương trỡnh (1) cú 2 nghiệm phõn biệt 
 phương trỡnh ( 2) cú 2 nghiệm phõn biệt.
 2
 Đồ thị hàm số y=-x2 - (x 0) cắt đường thẳng y=m tại 2 điểm 
 x
phõn biệt.
 2 2x 3 2
 - Ta cú : y ' 2x y ' 
 x 2 x 2
 2x 3 2
 +) y ' 0 0 x 1
 x 2
 15