Sáng kiến kinh nghiệm Một số dạng toán thường gặp về số phức và ứng dụng

 Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 
 Sáng kiến kinh nghiệm 
MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 
 VỀ SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 
 Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 
i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực và b được gọi là phần ảo của số phức z=a+bi 
 Tập hợp các số phức được ký hiệu là C. 
Chú ý: Số phức z= a+ 0i có phần ảo bằng 0 được coi là số thực và viết là a + 0i =a thuộc R  C 
Số phức có phần thực bằng 0 được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo): 
z= 0+ bi = bi (b R ); i= 0 + 1i= 1i 
Số 0= 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo. 
Định nghĩa 2: 
 Hai số phức z= a+ bi (a, b R ), z’= a’+ b’i (a’,b’ R ) gọi là bằng nhau nếu a=a’, b= b’ 
Khi đó ta viết z= z’. 
2. Biểu diễn hình học số phức 
 Ta đã biết biểu diễn hình học các số thực bởi các điểm trên một trục số. Đối với các số phức, 
ta hãy xét mặt phẳng tọa độ Oxy. Mỗi số phức z= a+ bi (a,b R ) được biểu diễn bởi điểm M có tọa 
độ (a;b). Ngược lại, rõ ràng mỗi điểm M(a;b) biểu diễn số phức là z= a+ bi. Ta còn viết M(a+bi) 
hay M(z). 
Vì lẽ đó, mặt phẳng tọa độ với việc biểu diễn số phức như thế được gọi là mặt phẳng phức. 
3. Phép cộng và phép trừ số phức 
a) Tổng của hai số phức 
Định nghĩa 3: Tổng của hai số phức z= a+ bi, z’= a’+ b’i (a, b, a’, b’ R ) là số phức z+ z’ = a+ a’ 
+ (b+b’)i 
b) Tính chất của phép cộng số phức 
 Từ định nghĩa 3, dễ thấy phép cộng các số phức có các tính chất sau đây, tương tự phép 
cộng các số thực. 
 Tính chất kết hợp: (z+ z’) + z”=z+ (z’+ z”) với mọi z, z’, z” C 
 Tính chất giao hoán: z+ z’=z’+z với mọi z,z’ C 
 Cộng với 0: z+ 0 = 0+ z = z với mọi z C 
 Với mỗi số phức z= a+ bi (a,b R ) nếu ký hiệu số phức –a –bi là –z thì ta có: z+ (-z) = (-z) 
 +z =0 
 Số -z được gọi là số đối của số phức z. 
c) Phép trừ hai số phức 
Định nghĩa 4: Hiệu của hai số phức z và z’ là tổng của z với –z’, tức là z-z’=z+(-z’). Nếu z= a+ bi, 
z’=a’+b’i (a,b,a’,b’ R ) thì z-z’ = a-a’ + (b-b’)i 
4. Phép nhân số phức 
a) Tích của hai số phức 
 Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 
trùng nhau). Việc giải phương trình đó được tiến hành tương tự như trong trường hợp A, B, C là 
những số thực. Cụ thể là: 
Xét biệt thức: b2 4 ac 
 BB  
 - Nếu 0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: z ; z trong đó 
 12AA 2 2
  là một căn bậc hai của 
 B
 - Nếu 0 thì phương trình (1) có nghiệm kép: z z 
 1 2 2A
9. Dạng lượng giác của số phức 
 Định nghĩa 1: Cho số phức z 0 . Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu 
diễn số z. Số đo (radian) của mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là 
acgument của z 
 Định nghĩa 2: Dạng z r( c os isin  ) trong đó r > 0 được gọi là dạng lượng giác của số 
phức z 0 . Còn dạng z=a+ bi ( a, b R ) được gọi là dạng đại số của số phức z. 
10. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác 
Định lý: Nếu z r( c os isin  ) , z' r '( c os ' isin  ')( r 0, r ' 0) thì 
 z'' r
zz’= rr’ cos   ' isin(   ')], cos  '  isin  '  (Khi r>0) 
 z r 
11. Công thức Moa-vro (Moivre) và ứng dụng 
a) Công thức Moavro 
 Từ công thức nhân số phức dưới dạng lượng giác, bằng quy nạp toán học dễ dàng suy ra với 
mọi số nguyên dương n. 
[r ( c os isin  )]n r n c os  isin  và khi r=1 ta có: (osc isin  )n c osn  isin n  
b) Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác. 
 Từ công thức Moavro dễ thấy số phức z r( c os isin  ) trong đó r>0 có hai căn bậc hai 
       
là: r cos isin và - r cos isin r c os  isin  
 2 2 2 2 2 2 
II- MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ SỐ PHỨC 
1. Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức 
 z 2 3 i
 Thí dụ 1: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn của số phức z sao cho u là một số thuần 
 z i
 ảo. 
 Giải: Đặt z= x+ yi (x, y R ), khi đó: 
 Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 
 z i z i4 x2 y 1 2 x 2 y 1 2 4
 2 2
 x y 1 4
 22 2 2 2 2
 x y 1 16 8 x y 1 x y 1 
 x2 y 12 16
 2 2 
 x y 1 16 
 4x2 4 y 2 8 y 4 y 2 8 y 16
 2 2
 2x y 1 y 4 y 4
 x2 y 1 2 16 1 
 x2 y 2
 1 2 
 3 4
 y 4 3 
Ta thấy các điểm nằm trong hình tròn (1) và elip (2) và tung độ các điểm nằm trên elio luôn thỏa 
 x2 y 2
mãn điều kiện y 4 . Vậy tập hợp các điểm M là elip có phương trình 1 
 3 4
Thí dụ 4: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức w 1 i 3 z 2 biết rằng số phức z thỏa mãn 
 z 1 2 
Giải: 
 Gọi z= a+ bi (a, b R ), w= x+ yi (x, y R ) 
 Ta có 
 w 1 i 3 z 2 x yi 1 i 3 a bi 2
 x a b 3 2 x 3 a 1 b 3
 y 3 a b y 3 3 a 1 b
 2
 Từ đó x 32 y 3 4 a 1 2 b2 16 do (1) 
 2
 Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn x 3 2 y 3 16 có tâm I 3; 3 bán kính 
R=4. 
 Thí dụ 5: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z sao cho số 
 z 2 
 có acgumen bằng 
 z 2 3
 Giải: 
 Gọi z= x+ yi (x,y R ) 
 Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 
 2
 Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z là đường tròn có phương trình x2 y 1 2 
2. Tính mô đun của số phức 
 1
 Thí dụ 8: Giả sử z1; z2 là hai số phức thỏa mãn 6z i 2 3 iz và z z Tính mô đun 
 1 2 3
 z1 z 2 
 Giải: 
 Đặt z= x+ yi (x,y R ) 
 6z i 2 3 iz 6 x 6 y 1 i 2 3 y 3 xi
 2 2 2 2 1 1
 6x 6 y 1 2 3 y 3 x x2 y 2 z
 9 3
 1
 Suy ra z z 
 1 2 3
 12 2 2 2
 Ta lại có: zz zzzz z z zzzz zzzz 
 912 1212 1 2 1221 9 1221 
 1
 Suy ra z z z z 
 1 2 2 1 9
 2 2 2 1
 Khi đó: zz zzzz z z zzzz 
 12 1212 1 2 1221 3
 1
 z z 
 1 2 3
 Chú ý: Học sinh có thể đặt z1; z2 dạng đại số để tính. 
 2
 Thí dụ 9: Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2 z 10 0 Tính giá trị biểu 
 2 2
 thức A z1 z 2 
 Giải: 
 Ta có 
 z2 2 z 10 0 z 1 2 9 z 1 2 3 i 2
 z 1 3 i 
 z 1 3 i
 2 2
 z1 1 3 i z 1 1 3 10
 z2 1 3 i z 2 10
 2 2
 Vậy A z1 z 2 20 
 Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 
 z1 2 i 2 iz 1 1
 Thí dụ 13: Cho hai số phức z1; z2 thỏa mãn điều kiện: Tính P z1 z 2 
 z2 2 i 3 iz 2 1
 biết z1 z 2 1 
 Giải: 
 Đặt z= x+ yi (x,y R ) 
 z 2 i 2 iz 1 x2 y 2 2 2 1 y 2 2 x 2 x 2 y 2 2
 z1 z 2 2
 2 2 2 2
 Đặt z1 abiz ; 2 cdiabcdR , , , a b 2; c d 2 
 z z 1 a c 2 b d 2 1 2 ac bd 3
 Từ 1 2 
 22 2 2 2 2 2
 Pzz 1 2 P ac bd abcd2 acbd 7
 Vậy P 7 
 1 i z
 Thí dụ 14: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 1Tìm số phức có mô đun nhỏ 
 1 i
 nhất, lớn nhất. 
 Giải: 
 Đặt z= x+ yi (x,y R ) thì 
 1 i z
 2 1 2 y xi 1
 1 i
 x2 2 y 2 1 1 x 2 y 2 4 y 3 
 z x2 y 2 4 y 3
 Từ (1) ta có: 2 y 2 1 1 y 3 1 4 y 3 9 
 Vậy số phức có mô đun lớn nhất là z=3i và số phức có mô đun nhỏ nhất là z=i 
 Thí dụ 15: Biết rằng số phức z thỏa mãn u z 3 i z 1 3 i là một số thực. Tìm giá trị nhỏ 
 nhất của z 
 Giải: 
 Đặt z= x+ yi (x,y R ) ta có 
 u x 3 y 1 i x 1 y 3 i 
 x2 y 2 4 x 4 y 6 2 x y 4 i
 Ta có: u R x y 4 0 
 Phạm T Bích Ngọc - THPT Tiên Lữ 
 3
 2 3 8 2 
 z z 3 6 z 
 z z z 
 23 8 2
 a3 z z 3 6 z 9 6 a
 z z3 z
 2
 Ta được a3 6 a 9 0 a 3 a 2 3 a 3 0 vì a2 3 a 3 >0 nên a z 3 
 z
3. Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức cho trước 
 Thí dụ 19: Tìm số phức z thỏa mãn hai điều kiện: 
 z 2 i
 z 1 2 i z 3 4 i và là một số thuần ảo. 
 z i
 Giải: 
 Đặt z= x+ yi (x,y R ) 
 Theo bài ra ta có 
 x 1 y 2 i x 3 4 y i
 x1 2 y 2 2 x 3 2 y 4 2 y x 5
 z 2 i x y 2 i x2 y 2 y 1 x 2 y 3 i
 Số phức w 
 z i x 1 y i x2 y 1 2
 x2 y 2 y 1 0 12
 x 
 2 2 7
 w là một số ảo khi và chỉ khi x y 1 0 
 23
 y x 5 y 
 7
 12 23
 Vậy z i 
 7 7
 Thí dụ 20: Tìm tất cả các số phức z biết z2 z2 z 
 Giải: 
 Gọi z= a+ bi (a,b R ) ta có: 
 z2 z2 z abi 2 ababi 2 2 
 a2 b 2 2 abi a 2 b 2 a bi 
 a b 0
 2 2 2 2 2 
 a b a b a a 2 b 1 1
 a ; b 
 2ab b b 2 a 1 0 2 2
 1 1
 a ; b 
 2 2
 1 1 1 1
 Vậy z=0; z i; z i 
 2 2 2 2