Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập phần phương pháp tọa độ trong không gian

MỤC LỤC 
 Mục Lục1 
1. Lời giới thiệu.2 
2. Tên sáng kiến.....2 
3. Tác giả sáng kiến...2 
4. Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến...2 
5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến...2 
6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử..2 
7. Mô tả bản chất của sáng kiến3 
- Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan. 
- Một số bài toán cực trị hình học. 
8. Những thông tin cần được bảo mật (nếu có)...................................................19 
9. Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến................................................. 19 
10. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý 
kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần 
đầu, kể cả áp dụng thử .......................................................................................19 
11. Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến 
lần đầu..................................................................................................................20 
 1 
hoc̣ sinh lớp 12 . Kết quả: Hoc̣ sinh nắ m đươc̣ nôị dung và biết vâṇ dung,̣ bướ c đầ u 
thu đươc̣ môṭ số kết quả khả quan. 
VII. MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN 
1. Nội dung của sáng kiến 
Phần I. Nhắc lại kiến thức cơ bản có liên quan 
1, Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 
 + ≠ và có giá vuông góc với mặt phẳng (α) thì được gọi là vectơ pháp tuyến của mp 
(α) 
Chú ý: + là vectơ pháp tuyến của (α) thì (k ≠ 0) cũng là vectơ pháp tuyến của (α) 
 + nếu ) , không cùng phương và có giá song song hoặc nằm 
trên (α) thì vectơ pháp tuyến của (α) là 
2, Phương trình tổng quát của mặt phẳng 
+ Phương trình tổng quát của (α) có dạng: Ax + By + Cz + D = 0 ( A2 + B2 + C2 ≠ 0) 
Chú ý: 
 + Nếu (α) có phương trình Ax + By + Cz +D = 0 thì (α) có một vectơ pháp tuyến 
là (A; B; C) 
 + Nếu (α) qua M(x0; y0; z0) và có một vectơ pháp tuyến là (A; B; C) thì 
phương trình (α) là: A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 
3, Phương trình tham số của đường thẳng 
Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và có 
vecto chỉ phương a (;;) a1 a 2 a 3 là: 
 x x01 ta
 y y02 ta 
 z z03 ta
trong đó t là tham số. 
Chú ý: Nếu a1, a2, a3 đều khác 0 thì có thể viết phương trình của dưới dạng chính tắc: 
 x x0 y y 0 z z 0
 a1 a 2 a 3
Phần 2: Một số bài toán cực trị hình học 
Bài toá n 1: Viết phương trinh̀ mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và cá ch môṭ điểm 
 Md môṭ khoảng lớ n nhấ t. 
Giải 
 3 
+ (P) chứa đường thẳng d: qua O, vuông góc với (Q). 
+ Phương trình d: 
+ K là hình chiếu của M trên d . 
Tìm được t = 3/4. 
Bài toán 2: Phương triǹ h măṭ phẳng (P) chứ a đường d, taọ vớ i đường thẳng d’ (d’ 
không song song vớ i d) môṭ góc lớ n nhấ t. 
Giải 
+ Lấy K d. Kẻ KM // d’. 
+ Gọi H là hình chiếu của M trên (P), I là hình chiếu của M trên d. 
Bước 1: Lấy K thuộc d. Đường thẳng qua K, // d’. 
Bước 2: Lấy 1 điểm M thuộc đường thẳng, tìm hình chiếu I của M trên d. 
 5 
Giải 
+ Gọi a là đường thẳng qua O, // d 
+ qua O, vuông góc với (P) có PT: 
Gọi I là hình chiếu của M trên a 
VD4: Viết phương trình măṭ phẳng đi qua 2 điểm A(1;2;-1), B(2;1;3) và taọ với truc̣ Ox 
môṭ góc lớn nhất. 
Giải 
Từ đó tìm được t = 1/18. 
Bài toá n 3: Viết phương trinh̀ đường thẳng d đi qua môṭ điểm A cho trướ c và nằm 
trong mặt phẳng (P) cho trướ c và cách môṭ điểm M cho trướ c môṭ khoảng nhỏ nhấ t 
(AM không vuông gó c với (P)). 
Giải 
+ Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên (P) và d. 
 7 
Vậy PT đường thẳng d là: 
VD3: Tìm căp̣ số nguyên dương (a,b) nhỏ nhất để khoảng cách từ O đến đường thẳng 
 x 1 a at
d: y 2 b bt (a ≠ 0) nhỏ nhất. 
 z 1 2 a b (2a - b)t
Giải 
+ d qua A(1; 2; 1) cố định, 
 d nằm trong (P): qua A, vecto pháp tuyến 
+ Gọi H là hình chiếu của O trên (P) 
Từ đó tìm được a = 8; b = 11. 
Bài toán 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A cho trướ c, nằm trong 
măṭ phẳng (P) và cá ch điểm M (M khá c A, MA không vuông góc vớ i (P)) môṭ 
khoảng lớ n nhất. 
Giải 
+ Gọi K là hình chiếu vuông góc của M trên d 
 9 
Bài toá n 5: Cho măṭ phẳng (P) và điểm A∈ (P) , và đường thẳng d (d cắ t (P) và d 
không vuông góc với (P)). Viết phương trinh̀ đường thẳng d’ đi qua A, nằm trong 
(P) và tạo vớ i d môṭ góc nhỏ nhấ t. 
Giải 
+ Từ A, vẽ // d 
+ Gọi H, I lần lượt là hình chiếu của M trên (P) và d’. 
+ Lấy điểm M thuộc 
Bước 1: Viết qua A, // d 
Bước 2: Lấy M thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P) 
Bước 3: d’ qua A và H. 
VD1: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ đô ̣ O, nằm trong măṭ phẳng (P) : 2x 
 x y 11 z
– y – z = 0 và taọ với đường thẳng d: môṭ góc nhỏ nhất. 
 2 1 2
Giải 
+ : qua O, // d 
+ Lấy M(2; -1; 2) thuộc , gọi H là hình chiếu của M trên (P). 
 11 
+ K là hình chiếu của A trên d. 
Ta có: AK vuông góc với (Q) nên AK vuông góc với d’ 
 x 1 y z
VD: Cho măṭ phẳng (P) : 2x + y + z – 3 = 0 và đường thẳng d’: . Viết 
 1 2 1
phương trình đường thẳng d đi qua A, nằm trong (P) và khoảng cách giữa d và d’ lớn 
nhất. 
Giải 
+ K là hình chiếu của A trên d’ 
Bài toán 7: Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng d // (P). Viết phương trinh̀ đườ ng 
thẳng d' nằm trong (P), d’ và cách d môṭ khoảng nhỏ nhấ t 
Giải 
+ Lấy A là một điểm thuộc d. Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên (P). 
 13 
+ Trong (P) tìm M thuộc đường tròn tâm I, bán kính = 3, cách K một khoảng lớn nhất, 
nhỏ nhất. 
+ (P): 2(x + 3) + 1(y – 4) + 2(z – 3) = 0 . Vì 
Ta có IK = 6 > 3 
Vậy 
 x 3 y 3 z 3
VD3: Cho đường thẳng d : .Viết pt đường thẳng d’ song song với d, 
 2 1 1
 x 21 y z
cách d môṭ khoảng bằng và cách đườ ng thẳng ∆: môṭ khoảng nhỏ 
 1 2 1
nhất ( lớn nhất). 
Giải 
+ Gọi d’ là đường sinh của mặt trụ: trục d, bán kính 
+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa và song song với d (d’// d và d’ // ). 
Khi (P) cắt mặt trụ thì d’ là giao của mặt trụ với mp(Q) chứa d và vuông góc (P). 
+ Gọi M(x; y; z) là giao của IH với mặt trụ (gần (P) nhất). 
 15 
+ Kiểm tra được B’ nằm trong mc(S), B nằm ngoài mc(S). 
Vậy MA + 2MB = 2(MB’ + MB) 
YCBT: (MB’ + MB) min khi: B’, M, B thẳng hàng . 
 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Câu 1. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua điểm A(1; 0; 1), B(2; 1; 3) và cách gốc tọa độ O một 
khoảng lớn nhất. (P) đi qua điểm nào sau đây? 
A. M (0; 2; -1) B. M (1; 1; 1) C. M (3; 2; 1) D. M (- 1; 1; 1) 
Câu 2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với trục Oz một góc 
lớn nhất. Hỏi mp(P) đi qua điểm nào dưới đây? 
A. M (1; 3; 2) B. M (2; 1; 0) C. M (4; 1; 1) D. M (1; 1; 1) 
Câu 3. Gọi d là đường thẳng đi qua O và nằm trong mặt phẳng (Oyz) và cách điểm 
M(1; - 2; 1) một khoảng nhỏ nhất. Tính góc giữa d và trục tung. 
Câu 4. Cho đường thẳng d: (a, b là các tham số đã biết). Biết 
khoảng cách giữa d và Ox lớn nhất. Tính 
Câu 5. Cho mặt phẳng (P): và đường thẳng . Gọi d’ là 
đường thẳng nằm trong (P), song song với d và khoảng cách giữa d và d’ nhỏ nhất. Hỏi 
d’ đi qua điểm nào sau đây? 
 17 
2. Khả năng áp dụng của sáng kiến: 
 Sau khi hướng dẫn học sinh một số bài toán về cực trị hình học khi giải bài tập 
phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” tôi thấy học sinh đã giải quyết tốt các bài 
tập về viết phương trình mặt phẳng và phương trình đường thẳng trong không gian và 
nâng cao được kết quả thi THPT Quốc gia năm học 2017 - 2018 
 Chuyên đề giúp các em có được cái nhìn tổng quan về phương pháp tọa độ trong 
không gian nói chung và một số bài toán về cực trị hình học nói riêng. Tạo hứng thú say 
mê học tập trong bộ môn Toán. Từ đó phát huy được khả năng tự giác, tích cực của học 
sinh, giúp các em tự tin vào bản thân khi gặp bài toán cực trị hình học. Đó chính là mục 
đích mà tôi đặt ra. 
VIII. NHỮNG THÔNG TIN CẦN ĐƯỢC BẢO MẬT: không có 
IX. CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN: 
- Học sinh nắm chắc các kiến thức cơ bản về vecto pháp tuyến của mặt phẳng; vecto chỉ 
phương của đường thẳng; phương trình tổng quát của mặt phẳng và phương trình tham 
số, phương trình chính tắc của đường thẳng... 
X. ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC 
1. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý 
kiến của tác giả: 
 - Sáng kiến đã xây dựng và lựa chọn một hệ thống các bài tập cực trị hình học về viết 
phương trình mặt phẳng và viết phương trình đường thẳng khi giải bài tập phần phương 
pháp tọa độ trong không gian, mức độ vận dụng khi ôn thi THPT Quốc Gia. 
 - Bước đầu nghiên cứu sử dụng hệ thống bài tập này theo hướng tích cực thể hiện qua 
sự thích thú say mê bộ môn. Học sinh có thể vận dụng để giải nhanh bài toán cực trị hình 
học tọa độ không gian bằng cách tìm được vị trí đặc biệt của nghiệm hình để cực trị (số đo 
góc, khoảng cách, độ dài) xảy ra. 
2. Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý 
kiến của tổ chức, cá nhân: không có 
 19