Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán thường gặp về viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 
 A, PHẦN THỨ NHẤT
I, ĐẶT VẤN ĐỀ
 1.Chúng ta biết rằng: dạy học toán là dạy cho người học có năng lực trí tuệ, năng lực 
này sẽ giúp họ học tập và tiếp thu các kiến thức về tự nhiên và xã hội.Vì vậy, dạy toán 
không chỉ đơn thuần là dạy cho học sinh nắm được kiến thức, những định lý toán học.Điều 
quan trọng là dạy cho học sinh có năng lực, trí tuệ. Năng lực này sẽ được hình thành và phát 
triển trong học tập.Vì vậy cần giúp học sinh phát triển năng lực trí tuệ chung, bồi dưỡng thế 
giới quan duy vật biện chứng.
 2.Trong xu thế chung những năm gần đây, viêc đổi mới phương pháp dạy học là vấn 
đề cấp bách, thiết thực nhất nhằm đào tạo những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. 
Đổi mới phương pháp dạy học không chỉ trong các bài giảng lý thuyết, mà ngay cả trong 
các giờ luyện tập. Luyện tập ngoài việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận cần 
giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức đã học 
một cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách 
năng động sáng tạo.
 Có thể nói, bài toán viết phương trình tiếp tuyến của hàm số là bài toán cơ bản và 
thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THPT và tuyển sinh ĐHCĐ trong những năm gần 
đây,thế nhưng không ít học sinh còn lúng túng không có cái nhìn thấu đáo vế bài toán này, 
các em thường không nhận dạng được bài toán và chưa có phương pháp giải toán cho từng 
dạng toán cũng như khả năng phân tích đề còn nhiều khó khăn.
 Sở dĩ học sinh chưa làm được bài tập viết phương trình tiếp tuyến của hàm số là vì:
 - Thứ nhất: Bài toán viêt phương trình tiếp tuyến được trình bày ở cuối chương trình 
11 nên nhiều học sinh đã quên phương pháp cho từng bài toán.
 - Thứ hai: Các em thiếu nhiều bài tập để rèn luyên kĩ năng phân tích và trình bày bài 
toán.
 - Thứ ba: học sinh chưa có được phương pháp khái quát các bài toán thường gặp về
 viết phương trình tiếp tuyến của hàm số 
 Chính vì vậy, đã thôi thúc tôi tìm hiểu và viết đề tài “Một số bài toán thường gặp về 
viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ” nhằm giúp các em học sinh nắm chắc 
được kiến thức về bài toán viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, để các em có sự 
chuẩn bị tốt cho các kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và ĐHCĐ.
 B.BÀI TOÁN
 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) ( C )
I. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại M(x 0;y 0 ) 
thuộc đồ thị hàm số ( C )
* Phương pháp:
 - Viết phương trình tiếp tuyến của h/s: y =f(x) tại M(x 0 ;y 0 ) có dạng:
 ,
 y= f (x 0 ).( x-x 0 ) + y 0
 ,
 -Với: f (x 0 ) là hệ số góc của tiếp tuyến
 , ,
 -Tính: f (x) =? → f (x 0 ) =?
-Kêt luận:.
Nhận xét:+bài toán chỉ có 1 phương trình tiếp tuyến
 2
Ví dụ 1`( Đề TNTHPT-2007 ) Cho hàm số (C): y = x+1 - Hãy viết phương trình 
 2x 1
tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3)
 Giải
 4
 Ta có: y’= 1+ nên y’(0) = 5 
 (2x 1) 2
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại A(0;3) có dạng: 
 y = 5(x-0) + 3 hay y = 5x + 3
Ví dụ 2: ( Đề TNTHPT-2006 )
Cho hàm số (C): y = x3-6x2+9x Hãy viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn đồ thị (C)
 Giải
Ta có: y’=3.x2-12x +9 ; y”=6x-12 ; y”=0 x=2
Với: x = 2 y = 2 và y’(2)= -3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn A(2;2) có dạng: 
 y = -3(x-2) + 2 hay y = -3x + 8
II. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) tại điểm có 
hoành độ x=x 0
* Phương pháp:
-Với: x =x 0→ y 0 =f(x 0 )=? ( về dạng trên) Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2009 )
 2x 1
Cho hàm số (C): y = Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết hệ số 
 x 2
góc của tiếp tuyến bằng -5
 Giải
 5 5
Ta có: y’= .Ta có hệ số góc của tiếp tuyến: = -5 (x 2) 2 1 x=1 
 (x 2) 2 (x 2) 2
hoặc x=3
-Với x=1 y=-3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1;-3) có dạng: 
 y = -5( x -1 ) - 3 hay y = -5x + 2
-Với x=3 y=7 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm B( 3;7 ) có dạng: 
 y = -5( x -3 ) +7 hay y = -5x + 22
IV. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: y =f(x) qua một điểm 
A(x 1 ;y 1 )
*Phương pháp: 
 ,
-Tính : f (x) =? 
-Gọi đường thẳng qua A(x 1 ;y 1 ) có hệ số góc k→phương trình có dạng:
 y=k.(x- x 1 )+y 1
-Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì:
 f (x) k(x x1) y1
 , có nghiệm 
 k f (x)
 ,
-Thay (2) vào (1)ta có: f(x) = f (x) (x- x 1 )+ y 1 (3)→x = ? thay vào(2)→k = ? 
-Kết luận: 
+Nhận xét:-số nghiệm x của phương trình(3) là số tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua 
A(x 1 ;y 1 )
Ví dụ: ( Đề TNTHPT-2004 )
 1
Cho hàm số (C): y = x3-x2 Hãy viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm 
 3
A(3;0)
 Giải
 Ta có: y’= x2-2x
-Gọi đường thẳng qua A(3;0) có hệ số góc k→phương trình có dạng:
 y=k.(x- 3)+0
-Để đường thẳng là tiếp tuyến của đồ thị hàm số thì: y = x - a
 x 2
 x a
 2 x 3
Để (d) là tiếp tuyến của (C) thì: 1 có nghiệm 
 1 2
 ( 2 x 3 )
Từ (2) suy ra hệ vô nghiệm
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là (d): y = -x - 2
Cách 2: 
Vì tam giác AOB cân tại O nên tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 45 0 hoặc 
1350 và không đi qua gốc tọa độ O
-Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 450 ta có: 
 0 ' 1
tan 45 y (x0 ) 1 2 phương trình vô nghiệm
 (2x0 3)
- Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tạo với ox một góc 1350 ta có: 
 0 ' 1 2
tan135 y (x0 ) 1 2 (2x0 3) 1 x0 = -1 hoặc x0 = -2
 (2x0 3)
Với x0 = -1 y0 1.Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+1) +1 hay y= -x (loại vì đi qua gốc tọa 
độ O)
Với x0 = -2 y 0 0. Phương trình tiếp tuyến: y= -1(x+2) hay y= -x - 2
Kết luận: Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : y= -x - 2
NHẬN XÉT: - Với cách 1: học sinh thường thiếu điều kiện của a và b để A BO là tam giác
 -Với cách 2: đơn giản hơn xong học sinh hay bỏ qua điều kiện tiếp tuyến của 
đồ thị hàm số không đi qua gốc tọa độ O
 ********************************
 C) BÀI TÂP
 CHUYÊN ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 3
I, Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị
Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x + 5 khi biết:
 1, Hoành độ của tiếp điểm là: x1 = -1; x2 = 2
 2, Tung độ tiếp điểm là : y1 = 5; y2 = 3
Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4. Viết p.tr tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm 
của (C) với các đồ thị sau:
 1, Đường thẳng d: y = 7x + 4
 2,Parapol P: y = -x2 + 8x – 3
 3, Đường cong (C): y = x3 -4x2 + 6x – 7 
Bài 3: Học viện quân y – 98
 3
 Cho hàm số: (Cm): y= x + 1 – m(x + 1)
 1,Viết p.tr tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với oy
 2, Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tích bằng 8
Bài 4: ĐH Thương Mại - 20 Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C): y = x3 – 3x – 2
Các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1. Cmr A1,B1,C1 thẳng hàng
Bài 16: 
 Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C). Các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C 
cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1. Cmr A1,B1,C1 thẳng hàng
Bài 17: 
 3 2 3 2
 Cho (C1): y = x – 4x + 7x – 4 và (C2) y = 2x – 5x + 6x – 8. Viết p.tr tiếp tuyến của 
(C1) và (C2) tại giao điểm chung của (C1)  (C2)
Bài 18: ĐH KTQD – 98
 Cmr trong tất cả các tiếp tuyến (C): y = x 3 + 3x2 – 9x + 3, tiếp tuyến tại điểm uốn có 
hệ số góc min
Bài 19: HV quân y – 97
 Cho (C): y = x3 + 1 – k(x + 1)
 1, Viết ptr tiếp tuyến (t) tại giao của (C) với Oy
 2, Tìm k để (t) chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 20: ĐH An ninh – 20
 3 2
 Cho (Cm): y = x + mx – m – 1
 1, Viết p.tr tiếp tuyến của (Cm) tại các điểm cố định mà (Cm) đi qua
 2, Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến đó
Bài 21: ĐH Công đoàn – 01
 Tìm điểm M (C): y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tại điểm M đi 
qua gốc tọa độ
Bài 22:
 Cho hàm số (Cm): y = x 3 + 3x2 + mx + 1. Xác định m để (Cm) cắt đt y = 1 tại ba 
điểm phân biệt C(0;1), D,E. Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E  với nhau.
Bài 23: 
 Cho hàm số (C): y = x3 + mx2 - m -1
 1, Lập ptr tiếp tuyến tại các điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với m
Bài 24:
 Cho hàm số (C): y = x3 – 3x
 1, Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đt y = m(x+1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A 
cố định
 2, Hãy xác định m để (d) cắt đồ thị (C) tại 3 điểm A, B,C khác nhau sao cho tiếp 
tuyến với đồ thị tại B, C vuông góc với nhau.
Bài 25: Tốt nghiệp trung học PT năm 2006
 Cho hàm số (C): y = x3 – 6x2 + 9x
 Viết ptr tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
Bài 26: Khối B - 04
 1
 Cho hàm số: y = x3 – 2x2 + 3x
 3
 Viết ptr tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị
Bài 27: CĐ Y tế Nghệ An – 04 1
 Cho (C): y = x3 + x2 – 8x + 15
 3
Lấy điểm A bất kì thuộc (C) nằm ở giữa CĐ và CT. CMR luôn tìm được 2 điểm B 1 và B2 
 (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B1,B2 vuông góc với tiếp tuyến tại A
Bài 11:
 Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 2. Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết tiếp tuyến  với 
đt (d): 3x – 5y – 4 = 0
Bài 12:
 Cho hàm số (C): y = x3 -3x. Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết
 1, Tiếp tuyến // với đt (d1): x + 3y – 1 = 0
 2, Tiếp tuyến  với đt (d2): x – y – 2 = 0
Bài 13: 
 1 1
 Cho hàm số: y = x3 + mx2 – 2x – 2m - 
 3 3
 1
Với m = viết p.tr tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến // với đt (d):y = 4x + 2
 2
Bài 14: ĐH SP hải phòng – 04
 Cho hàm số: y = -x3 +3x. Viết ptr tiếp tuyến // y = -9x
III, Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị
Bài 1: ĐH Quốc gia TP.HCM – A – 01
 19
 Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A( ;4) đến (C): y = 2x3 – 3x2 + 5
 12
Bài 2: 
 Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(0;-1) đến (C): y = 2x3 + 3(m-1)x2 +6(m-2)x – 1
Bài 3: 
 Cho hàm số (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + 2
 23
 1, Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A( ;-2) đến (C)
 9
 2, Tìm trên đt y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến  với nhau
Bài 4: ĐH SPII HN – B – 99
 Cho (C): y = -x3 + 3x + 2
Tìm trên trục hoành các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 5: HV BCVT TP.HCM – 98
 Cho (C): y = x3 – 12x + 12.
Tìm trên đt y = -4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)
Bài 6: ĐH Ngoại Thương HN – 20
 Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x – 1
Từ một điểm bất kì trên đt x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)
Bài 7:
 Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Các điểm kẻ được đúng một 
tiếp tuyến đến (C)
Bài 8: