Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật quy về một biến trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức

 MỤC LỤC
A. Đặt vấn đề
 I. Lý do chọn đề tài .......................................................................Trang 01
 II. Mục đớch nghiờn cứu.................................................................Trang 02
 III. Đối tượng nghiờn cứu...............................................................Trang 02
B. Giải quyết vấn đề
 I. Thực trạng vấn đề nghiờn cứu....................................................Trang 03
 II.Cơ sở lý thuyết
 1. Phương phỏp dạy học phỏt hiện và giải quyết vấn đề......Trang 03
 2. Một sốkiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài...................Trang 04
 III. Giải phỏp và tổ chức thực hiện
 1. Quy về một biến bằng phương phỏp thế..........................Trang 07
 2. Quy về một biến cú sẳn trong bài toỏn............................Trang 09
 3. Quy về một biến bằng phương phỏp đặt ẩn phụ..............Trang 12
 IV. Kết quả và kinh nghiệm rỳt ra..................................................Trang 21
C. Kết luận và đề xuất ...........................................................................Trang 23 Vỡ những lớ do trờn tụi viết đề tài “ Kỷ thuật quy về một biến trong cỏc bài 
toỏn tỡm GTLN , GTNN của một biểu thức’’ để giỳp cho học sinh cú một cỏch tư 
duy tốt hơn khi gặp dạng bài toỏn này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIấN CỨU
Bản thõn nghiờn cứu đề tài này nhằm mục đớch:
- Chia sẻ với quý Thầy, Cụ, cỏc bạn đồng nghiệp và cỏc em học sinh kinh 
nghiệm để giải quyết bài toỏn tỡm GTNN, GTLN trong đề thi tuyển sinh Đại 
học.
- Bản thõn nhằm rốn luyện chuyờn mụn nhằm nõng cao nghiệp vụ sư phạm.
III. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIấN CỨU
 - Học sinh khối 12 THPT ụn thi học sinh giỏi và thi THPT quốc gia
 - Giỏo viờn giảng dạy mụn Toỏn bậc THPT
 - Phạm vi nghiờn cứu của đề tài này bao gồm:
+ Nhắc lại cỏch tỡm GTNN, GTLN của hàm số thụng qua một vài vớ dụ.
+ Hệ thống một số dạng bài toỏn tỡm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai 
biến bằng cỏch thế một biến qua biến cũn lại. 
+ Hệ thống một số dạng bài toỏn tỡm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai 
biến bằng cỏch đặt ẩn phụ theo tớnh đối xứng t = x + y , t = x 2 + y2 hoặc t = xy . 
+ Hệ thống một số dạng bài toỏn tỡm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa ba 
biến bằng cỏch đặt ẩn phụ hoặc thế hai biến qua một biến cũn lại.
+ Hệ thống một số dạng bài toỏn tỡm GTNN, GTLN của một biểu thức chứa hai 
 x
biến bằng cỏch đặt ẩn phụ theo tớnh đẳng cấp t = .
 y
 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIấN CỨU
 ▪ Trường THPT Hoằng Húa 4 đúng trờn địa bàn vựng nụng thụn khú khăn 
 về kinh tế, việc học tập và phấn đấu của cỏc em học sinh chưa thực sự 
 được quan tõm từ cỏc bậc học dưới THPT vỡ vậy kiến thức cơ sở về mụn 
 Toỏn của cỏc em hầu hết tập trung ở mức độ trung bỡnh.
 ▪ Khi chưa ỏp dụng những nghiờn cứu trong đề tài để dạy học giải bài tập 
 tỡm GTLN và GTNN, cỏc em thường thụ động trong việc tiếp cận bài toỏn 
 và phụ thuộc nhiều vào những kiến thức được giỏo viờn cung cấp chứ chưa 
 ý thức tỡm tũi, sỏng tạo cũng như tạo được niềm vui, sự hưng phấn khi giải 
 toỏn.
 Trang 2 d. Hạn chế.
 - Phương phỏp này đũi hỏi người giỏo viờn phải đầu tư nhiều thời gian và 
cụng sức, phải cú năng lực sư phạm tốt mới suy nghĩ để tạo ra được nhiều tỡnh 
huống gợi vấn đề và hướng dẫn học sinh tỡm tũi để phỏt hiện và giải quyết vấn 
đề
 - Việc tổ chức tiết học hoặc một phần của tiết học theo phương phỏp phỏt 
hiện và giải quyết vấn đề đũi hỏi phải cú nhiều thời gian hơn sovới cỏc phương 
phỏp thụng thường.
2. Một số kiến thức cơ bản sử dụng trong đề tài.
2.1. Một số kiến thức cơ sơ về đạo hàm 
Trong mục này chỳng tụi trỡnh bày lại một số kiến thức về đạo hàm và một số 
cụng thức về đạo hàm.
• Định lớ 1. Giả sử D là một khoảng hay hợp cỏc khoảng. 
Nếu hai hàm số u = u (x ) và v = v(x ) cú đạo hàm trờn D thỡ
 (u + v)Â = uÂ+ vÂ; (u - v)Â = uÂ- vÂ;
 (uv)Â = uÂv + uvÂ; (ku )Â = kuÂ;
 u Â= uÂv- uv , với v x ạ 0
 ( v ) v2 ( )
• Định lý 2. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp
 (c)Â = 0 (c là hàng số)
 (x )Â = 1
 (xn )Â = nxn - 1 (x ẻ Ă ) (un )Â = nun - 1uÂ
 1 Â= - 1 1 Â= - uÂ
 ( x ) x2 (u ) u2
 Â Â
 x = 1 x > 0 u = uÂ
 ( ) 2 x ( ) ( ) 2 u
 (ex )Â = ex (eu )Â = euuÂ
 Â 1 Â uÂ
 (ln x ) = x (x > 0) (lnu ) = u
 (sin x )Â = cosx (sinu )Â = uÂcosu
 (cosx )Â = - sin x (cosu )Â = - uÂsinu
 Trang 4 2.3. Một số thớ dụ tỡm GTNN, GTLN của hàm số 
Trong mục này chỳng tụi trỡnh bày một số vớ dụ tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn 
nhất của hàm số.
Thớ dụ 1 ( Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2003) 
 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất và giỏ trị lớn nhất của hàm số f (x ) = x + 4 - x 2
 x
 ộ ự Â
Lời giải. Tập xỏc định D = ở- 2;2ỷ, f Â(x ) = 1- , f (x ) = 0 Û x = 2
 4 - x 2
Bảng biến thiờn
 t - 2 2 2
 f Â(t ) + 0 -
 2 2
 f (t )
 - 2 2
Từ bảng biến thiờn ta cú min f x = f - 2 = - 2 và max f x = f 2 = 2 2 .
 ộ ự ( ) ( ) ộ ự ( ) ( )
 xẻ ở- 2;2ỷ xẻ ở- 2;2ỷ
Thớ dụ 2. (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B – 2004)
 ln2 x
Tỡm giỏ trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = trờn đoạn ộ1;e3 ự
 x ở ỷ
 1 2
 2ln x. .x - ln x ln x (2 - ln x )
Lời giải. Ta cú yÂ= x =
 x 2 x 2
Từ đú cú bảng biến thiờn : x 1 e2 e3
 y 0 + 0 -
 2 4 2 4
 2
Vậy max y = y (e ) = 2 Û x = e e
 ộ1;e3 ự e
 ởờ ỷỳ y
 9
và miny = y (1) = 0 Û x = 1 0 e3
 ộ1;e3 ự
 ởờ ỷỳ
 Trang 6 ổ1ử
Từ bảng biến thiờn suy ra min P = min f (x ) = f ỗ ữ= 2 đạt được khi 
 xẻ (0;1) ốỗ2ứữ
 1
x = y = .
 2
Thớ dụ 2. Cho x,y ẻ Ă thỏa món y Ê 0,x 2 + x = y + 12. 
Tỡm giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = xy + x + 2y + 17.
 • Phõn tớch và tỡm tũi lời giải.
 Biểu thức P cú chứa 2 biến x và y ,muốn quy về một biến ta phải quy về 
 biến x bằng cỏch thế y theo biểu thức chứa x từ giả thiết vào P để khảo 
 sỏt. 
 • Lời giải.
 Từ giả thiết y Ê 0,x 2 + x = y + 12 ta cú y = x 2 + x - 12 và x 2 + x - 12 Ê 0 
 hay - 4 Ê x Ê 3. Khi đú P = x 3 + 3x 2 - 9x - 7. 
 3 2 ộ ự
 Xột hàm số f (x ) = x + 3x - 9x - 7,x ẻ ở- 4;3ỷ. 
 ộx = 1
 Ta cú f '(x ) = 3(x 2 + 2x - 3) = 0 ị ờ .
 ờx = - 3
 ởờ
 Ta cú bảng biến thiờn
 x - 4 - 3 1 3
 f Â(x ) + 0 - 0 +
 20 20
 f (x )
 13 - 12
Từ bảng biến thiờn ta cú min f x = f 1 = - 12, max f x = f - 3 = f 3 = 20.
 ộ ự ( ) ( ) ộ ự ( ) ( ) ( )
 xẻ ở- 4;3ỷ xẻ ở- 4;3ỷ
Do đú min P = - 12 đạt được khi x = 1,y = - 10 và max P = 20 đạt được khi 
x = - 3,y = - 6 hoặc x = 3,u = 0 .
Nhận xột. Qua cỏc thớ dụ này cho ta một kỹ thuật giảm biến khi tỡm GTNN, 
GTLN của biểu thức hai biến bằng cỏch thế một biến qua biến cũn lại và sử 
dụng cỏc giả thiết để đỏnh giỏ biến cũn lại. Từ đú tỡm GTNN, GTLN của hàm số 
chứa một biến bị chặn.
 Trang 8 11 2xy 7 2x2 14 11 2 x2 7
 x x 
 2x 2x x 2xy 7 2x x
 11 2 x2 7
Xột hàm số: f x x ,x 0; 
 2x x
Ta cú: 
 x 2
 x x 7 2 2 2
 2 x 7 4 2x 8 x 7 21
 ' 11 x 7 
 f x 1 2 2 2 0 x 3
 2x x 2x2 x2 7
 15
 Lập BBT của hàm số f(x) trờn 0; ta suy ra: f (x) f (3) .
 2
 15 5
 Vậy GTNN của P là x 3;y ;z 2 . 
 2 2
Thớ dụ 4.(Đề thi HSG Hải Dương 2015).Cho x, y, z là cỏc số thực dương thỏa 
món y z x y2 z2 .Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 1 1 1 4
 P 
 1 x 2 1 y 2 1 z 2 1 x 1 y 1 z 
 • Phõn tớch và tỡm tũi lời giải.
 Biểu thức P cú chứa 3 biến và vai trũ của hai biến y và z là như nhau . 
 Do đú ta quy biểu thức P về biến x bằng cỏch sử dụng sử dụng bất đẳng 
 thức Cauchy và Bunhiacopsky .
 • Lời giải.
Theo bất đẳng thức bunhiacopsky ta cú: 
 2 2 2
 x y z 2x y2 z2 x y z 2 y z y z . 
 x
Theo bất đẳng thức cụsi ta cú:
 2 2
 1 2 1 2 1 x 
 1 y 1 z 2 y z 1 y 1 z 2 1 y 1 z 2
 4 4 x x
 1 2 4
Lại theo BĐT cụsi ta cú : P 
 1 x 2 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 
 1 2x2 4x2 2x3 6x2 x 1
 P P 
 1 x 2 1 x 2 1 x 3 1 x 3
 Trang 10 2
 3z 5 3z 14z 23 5
Ta cú f ' z , z 1 f ' z 0 z 
 z 1 3 3
 5 53
Lập bảng biến thiờn của hàm số f z ta nhận được min f z f 
 z 1; 3 8
 53 1 5
Vậy GTNN của P bằng đạt được khi x y , z .
 8 3 3
3. Quy về một biếnbằng phương phỏp đặt ẩn phụ
Dạng 1: Tỡm GTLN,GTNN của biểu thức chứa 2 biến cú tớnh chất đối xứng
Trong phần này chỳng tụi trỡnh bày một số dạng bài toỏn tỡm GTNN, GTLN của 
biểu thức chứa hai biến mà giả thiết hoặc biểu thức đú thể hiện tớnh đối xứng. 
Từ đú bằng phộp đặt ẩn phụ ta chuyển về bài toỏn tỡm G của hàm số.
Thớ dụ 6. Cho x,y ẻ Ă thỏa món x + y ạ - 1 và x2 + y2 + xy = x + y + 1. Tỡm 
 xy
giỏ trị nhỏ nhất, giỏ trị lớn nhất của biểu thức P = .
 x + y + 1
 • Phõn tớch và tỡm tũi lời giải.
 Biểu thức P cú chứa 2 biến và vai trũ của hai biến x và y là như nhau . 
 Do đú ta quy biểu thức P về một biến bằng cỏch đặt ẩn phụ t = x + y hoặc 
 t xy , tuy nhiờn do giả thiết bài toỏn nếu đặt t xy thỡ khi thế vào biểu 
 thức P phức tạp hơn rất nhiều .
 • Lời giải.
Đặt t = x + y . Từ giả thiết: x2 + y2 + xy = x + y + 1
 2
ta cú (x + y ) - xy = (x + y ) + 1 hay xy = t 2 - t - 1. 
 2 2
Áp dụng bất đẳng thức (x + y ) ³ 4xy suy ra 3t 2 - 4t - 4 Ê 0 hay - Ê t Ê 2. 
 3
 t 2 - t - 1 t 2 - t - 1 t 2 + 2t
Khi đú P = . Xột hàm số f t = , f  t = , 
 ( ) ( ) 2
 t + 1 t + 1 (t + 1)
 f Â(t ) = 0 Û t = 0 Ú t = - 2 (loại). - 2
 t 3 0 2
Bảng biến thiờn f Â(t ) - 0 +
 1 1
 3 3
 f (t )
 - 1
 Trang 12