Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của hàm số

 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
 TRƯỜNG THPT NGÔ GIA TỰ
 BÁO CÁO KẾT QUẢ
 NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN
 Tên sáng kiến:
“Kỹ thuật đọc bảng biến thiên, đồ thị xét tính đơn điệu của 
 hàm số”
 Tác giả sáng kiến: Phạm Quốc Huy
 Mã lĩnh vực: 12.52
 Lập Thạch, năm 2020 MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình toán THPT đặc là Giải Tích lớp 12, bài toán xét tính đơn 
điệu của hàm số là một vấn đề cơ bản, quan trọng của chương trình. Trong các kì thi 
học sinh giỏi cấp tỉnh các khối không chuyên và kỳ thi trung học phổ thông quốc gia 
xét tốt nghiệp và lấy kết quả xét vào các trường đại học và cao đẳng đây là một vấn đề 
luôn được đề cập tới. Để giúp các em có những kiến thức nhất định trong các kì thi 
học sinh giỏi và thi trung học phổ thông quốc gia, với đề tài này tôi hy vọng giúp học 
sinh có được kết quả tốt hơn.
2. Mục đích nghiên cứu
 • Hệ thống các bài toán tính đơn điệu của hàm số.
 • Đưa ra các phương pháp giải toán phù hợp với đối tượng học sinh.
 • Rèn luyện kĩ năng đọc đồ thị, bảng biến thiên cho học sinh.
 • Hệ thống bài tập có phân loại phù hợp với trình độ của học sinh.
 • Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, óc tư duy cho học sinh.
 • Góp phần năng cao chất lượng dạy và học cho học sinh.
3. Đối tượng nghiên cứu:
 • Học sinh lớp 12.
 • Học sinh ôn thi học sinh giỏi.
 • Học sinh ôn thi THPT Quốc Gia.
4. Giới hạn phạm vi, nội dung nghiên cứu
 • Chương trình Giải Tích lớp 12.
 • Sách Giải Tích cơ bản và nâng cao lớp 12.
 • Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán.
 • Đề thi THPT Quốc Gia các năm của Bộ Giáo Giục và đề thi THPT Quốc Gia 
 của các sở và các trường nổi tiếng trên toàn quốc.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
 • Tính đơn điệu của hàm số, tính đơn điệu của hàm số dựa vào đồ thị hàm số, 
 bảng biến thiên của hàm số, tìm tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên 
 tập D  ¡ . tìm tham số để hàm số, đơn điệu thỏa mãn điều kiện cho trước.
 • Một số bài toán về thương gặp về tính đơn điệu của hàm số.
 • Vận dụng linh hoạt trong quá trình tính toán, giải bài tập. 
 1 NỘI DUNG
 KỸ THUẬT ĐỌC BẢNG BIÊN THIÊN, ĐỒ THỊ 
 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
I. Kiến thức chuẩn bị:
1. Định lý về dấu của tam thức bậc hai 
 Cho tam thức bậc hai f x ax2 bx c, a 0 . Tính b2 4ac hoặc 
 b 2 ac. 
 1) Nếu 0 0 thì f x luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi 
 x ¡ . 
 2) Nếu 0 0 thì f x luôn cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi 
 b
 x .
 2a
 3) Nếu 0 0 thì f x có hai nghiệm phân biệt x1, x2 . Giả sử 
 x1 x2 .Ta có f x cùng dấu với dấu của hệ số a với mọi x ; x1  x2 ; 
và f x trái dấu với dấu của hệ số a với mọi x x1; x2 .
2. Đaọ hàm các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm hợp của nó
 STT Hàm sơ cấp cơ bản Hàm hợp
 1 x 1. 
 2 1 1
 x x . u u u .
 3
 1 1 1 1
 2 ,x 0. 2 ,u 0.
 x x u u
 4
 sin x cos x. sinu u cosu.
 5
 cos x sin x cosu u sinu.
 6 1 u 
 tan x ,x k ,k ¢ . tanu ,u k ,k ¢ .
 cos2 x 2 cos2 u 2
 7 1 u 
 cot x ,x k ,k ¢ . cotu ,u k ,k ¢ .
 sin2 x sin2 x
 9 1 1
 log x ,x 0, a 0a 1. log u ,u 0, a 0a 1.
 a xln a a uln a
 3 II. Bài tập áp dụng
Trong phần này tác giả đưa ra các dạng sau:
 DẠNG 1: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ DỰA VÀO ĐẠO HÀM
1. Bài tập tự luận
Bài 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y x3 3x2 2. 
 Giải
+ Tập xác định D ¡ .
 2 x 0
+ y 3x 6x; y 0 
 x 2
+ Ta có bảng biến thiên
 x 0 2 
 0
 y 0 
 2 
 y
 2
+ Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ;0 và 2; . Nghịch biến trên khoảng 
 0;2 . 
Bài 2. Xét tính đơn điệu của hàm số y x3 3x2 3x. 
 Giải
+ Tập xác định D ¡ . 
 2
+ y 3x2 6x 3 3 x 1 0 với mọi x ¡ hàm số nghịch biến trên ¡ . 
Bài 3. Xét tính đơn điệu của hàm sô y x4 2x2 3. 
 Giải
+ Tập xác định D ¡ .
 3 x 0
+ y 4x 4x; y 0 
 x 1
+ Ta có bảng biến thiên
 x ∞ 1 0 1 +∞
 y' 0 0 0
 +∞ +∞
 3
 y
 2 2
 5 2 m
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi y 0 với mọi 
 x 1 2
 x D 2 m 0 m 2. 
+ Vậy với m 2 thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
 Nhận xét: Trong bài toán trên ta không sử dụng được hàm số nghịch biến trên 
 ;1  1; khi y 0 với mọi x ;1  1; được vì ở đây nếu xẩy ra 
dầu bằng thì sẽ xẩy ra với mọi x D. 
 2x m 6
Bài 8. Tìm tất cả những giá trị của m để hàm số y 
 x m
 1) Đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
 2) Đồng biến trên khoảng ; 6 . 
 3) Nghịch biến trên khoảng 10; . 
 4) Nghịch biến trên khoảng 4;12 . 
 Giải
+ Tập xác định D ;m  m; .
 6 3m
+ y . 
 x m 2
 6 3m
 1) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó khi y 0 
 x m 2
 6 3m
 x D. y 0 x D 6 3m 0 m 2. 
 x m 2
+ Vậy với m 2 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
 2) Hàm số đồng biến trên khoảng ; 6 hàm số liên tục trên khoảng 
 ; 6 và y 0 x ; 6 . 
 m ; 6 m 6
 6 m 2. 
 6 3m 0 m 2
+ Vậy với m  6;2 thì hàm số đồng biến trên khoảng ; 6 . 
 3) Hàm số nghịch biến trên khoảng 10; hàm số liên tục trên khoảng 
 10; và y 0 x 10; . 
 m 10; m 10
 2 m 10. 
 6 3m 0 m 2
+ Vậy với m 2;10 thì hàm số nghịch biến trên khoảng ; 6 . 
 7 Để hàm số f t đồng biến trên 0;1 cần:
 f t 0 t 0;1 3t 2 6t m 0 t 0;1 3t 2 6t m t 0;1
Xét hàm số g t 3t 2 6t trên đoạn 0;1 
 g t 6t 6; g t 0 t 1. 
Bảng biến thiên
 t 0 1
 g t 
 9
 g t 
 0
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m 0 thì hàm số f t đồng biến trên 0;1 , hàm 
số f x đồng biến trên đoạn 0; .
 2 
 Chú ý: Với cách đặt t sin x ta có hàm số t sin x đồng biến trên đoạn 
 0; do đó tìm m để hàm số y sin3 x 3cos2 x msin x 1 đồng biến trên đoạn 
 2 
. 0; trở thành bài toán tìm m để hàm sốf t t3 3t 2 mt 4 đồng biến trên đoạn 
 2 
 0;1. 
 2cot x 1 
Bài 11. Tìm m để hàm số y đồng biến trên khoảng ; ?
 cot x m 4 2 
 Giải
Đặt t cot x , x ; t 0;1 . 
 4 2 
 2t 1
Xét hàm số f t trên khoảng 0; 1 ,t m .
 t m
 2m 1
Ta có f t , t 0;1 ,t m . 
 t m 2
Khi đó để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ; thì f t nghịch biến trên 
 4 2 
 1 
khoảng 0; 1 (vì t 2 0, x ; f t 0,  t 0; 1 ,t m ).
 sin x 4 2 
 1 1
 m m m 1
 2m 1 0 2 2
Điều kiện: .
 m 0 m 0 1
 m 0;1 0 m 
 2
 m 1 m 1
 9 Bài 3. Cho hàm số f x có bảng biến thiên như sau:
 Hàm số g x 3 2 f x đồng biến trên khoảng nào?
 Giải 
+ Từ bảng biến thiên của hàm số y f x tập xác định của hàm số y f x là 
 D ¡ tập xác định của hàm số g x 3 2 f x cũng là ¡ . 
 x 0
+ Ta có g x 2 f x ; g x 2 f x 0 f x 0 
 x 2
+ Bảng biến thiên của hàm số y g x như hình vẽ 
 x ∞ 2 0 2 +∞
 g' 0 + 0 0 +
 +∞ +∞
 5
 g
 -6 -6
+ Vậy hàm số g x 3 2 f x đồng biến trên các khoảng 2;0 và 2; . 
Bài 4. Cho hàm số y f x liển tục trên ¡ và ta có bảng xét dấu của f x 
như sau:
 x 3 1 1 
 f x 0 0 0 
Hàm số g x f 3 2x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
 Giải
+ Từ bảng xét dấu của f x tập xác định của hàm số y f x là D ¡ tập 
xác định của hàm số g x f 3 2x cũng là ¡ . 
+ Ta có g x 2 f 3 2x ; g x 2 f 3 2x 0 f 3 2x 0 
 11 Bài 6. Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên ¡ . Bảng biến thiên của hàm số 
 x 
 y f x được cho như hình vẽ bên. Hàm số y f 1 x nghịch biến trên khoảng
 2 
 x 1 0 1 2 3
 4
 3
 f x 
 1 2
 1
A. 2;4 . B. 0;2 . C. 2;0 . D. 4; 2 .
 Giải
 x 1 x 
Đặt g x f 1 x thì g x f 1 1 .
 2 2 2 
 x 
Ta có g x 0 f 1 2
 2 
 x x
+ TH1: f 1 2 2 1 3 4 x 2 . Do đó hàm số nghịch biến trên 
 2 2
khoảng 4; 2 . 
 x x
+ TH2: f 1 2 1 1 a <0 2 2 2a x 4 nên hàm số chỉ nghịch 
 2 2
biến trên khoảng 2 2a;4 , chứ không nghịch biến trên toàn khoảng 2;4 .
 x 
Vậy hàm số y f 1 x nghịch biến trên 4; 2 .
 2 
 DẠNG 3: XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU DỰA VÀO ĐỒ THỊ HÀM SỐ HOẶC ĐỒ THỊ 
 CỦA ĐẠO HÀM
Bài 1. Cho đồ thị hàm số như hình vẽ.
Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
 Giải
 13