Sáng kiến kinh nghiệm Kỹ năng xây dựng các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất hình học của tam giác

 1. MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài. 
 Chủ đề các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng được đông đảo 
giáo viên dạy bộ môn toán và học sinh quan tâm. Trong những năm gần đây, cấu 
trúc đề thi HSG tỉnh, thi THPT Quốc gia (trước đây là đề thi tuyển sinh ĐH-CĐ- 
THCN), câu hình học tọa độ trong mặt phẳng có vị trí quan trọng, đây là một trong 
những câu hỏi ở mức độ kiến thức vận dụng và vận dụng nâng cao nhằm phân loại 
học sinh giữa mức điểm khá và điểm giỏi. Chính vì nhu cầu rất lớn của nhiều học 
sinh là phải giải được bài tập này trong đề thi HSG, THPT Quốc gia nên chủ đề 
hình học tọa độ trong mặt phẳng ngày càng trở nên chủ đề hấp dẫn người dạy và 
người học. Cách thức ra đề bài tập loại này theo thời gian đã chuyển từ thể loại sử 
dụng các công cụ đại số để giải quyết bài toán hình học về loại phải nắm được tính 
chất hình học chìa khóa để vận dụng giải quyết bài toán. Tuy vậy, khi gặp bài toán 
tọa độ trong mặt phẳng, phần lớn học sinh còn lúng túng, khó khăn để tìm kiếm lời 
giải. Qua tìm hiểu, chúng tôi nhận thấy nhiều học sinh ở trường THPT Như Thanh 
còn yếu về kiến thức hình học ở chương trình hình học THCS. Học sinh chưa nắm 
được nhiều kết quả quan trọng của hình học phẳng trong tam giác, các tứ giác đặc 
biệt (Hình thang, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông), đường tròn 
và phương pháp chứng minh các kết quả đó. Về phía giáo viên dạy bộ môn toán, 
mặc dù đã có sự quan tâm nhất định về chủ đề này nhưng phần nhiều là có tâm lý e 
ngại khi tự mình sáng tạo bài toán hình học tọa độ nên lựa chọn con đường sưu tầm 
các bài toán có sẵn trên mạng Internet hoặc trong các tài liệu sách báo khác. Việc 
làm này tuy có đạt được một phần mục đích nhưng giáo viên chưa thực sự chủ 
động về nguồn tài liệu phục vụ công tác giảng dạy.
 Từ thực tiễn công tác, bản thân nhiều năm ôn thi tuyển sinh ĐH–CĐ– 
THCN, bồi dưỡng HSG, tôi nhìn nhận chủ đề các bài toán về phương pháp tọa độ 
trong mặt phẳng là một chủ đề quan trọng. Để phục vụ công tác bồi dưỡng, ngoài 
việc sưu tầm các bài tập qua tài liệu sách báo, qua trao đổi kinh nghiệm giảng 
dạy với đồng nghiệp còn tự mình nghiên cứu, vận dụng các kết quả hình học phẳng 
để xây dựng được hệ thống bài tập tọa độ trong mặt phẳng hay và khó, giúp ích 
được nhiều cho học sinh phát triển kỹ năng và tư duy, tạo được nhiều hứng khởi, 
đam mê cho các em. Từ những lý do ở trên, tôi lựa chọn đề tài: “Kỹ năng xây dựng 
các bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng từ các tính chất hình học của tam 
giác”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
 - Ôn tập, củng cố kiến thức một cách hệ thống các tính chất hình học thường 
gặp trong tam giác.
 - Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán hình học tọa độ cho người học.
 - Phát triển kỹ năng sáng tạo bài tập hình học tọa độ từ các tính chất hình học 
phẳng.
 1 bắt đầu từ các tính chất trong tam giác vuông, đến tam giác cân, tam giác đều và 
đến tam giác bất kỳ cùng các đường tròn nội, ngoại tiếp của nó.
Tính chất 1: Tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu của A lên BC; M, N 
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, AC. Khi đó: MH  NH .
Chứng minh: B
 M
 H
 A N C
 (Hình 1a)
Ta có tam giác AHB vuông tại H và M là trung điểm của AB nên MH = MB, điều 
này chứng tỏ tam giác MHB cân tại M. Tương tự ta cũng có tam giác NHC cân tại 
N. Từ đó ta có được: MBH MHB,NCH NHC
Lại có: MBH NCH 900 nên MHB NHC 900 hay MH  NH .
Bình luận: Nếu cho phương trình đường thẳng MH và toa độ điểm N ta sẽ tìm 
được tọa độ điểm H, kết hợp với điểm P có tọa độ cho trước thuộc BC ta sẽ lập 
được phương trình BC. Ràng buộc điểm C thuộc một đường cho trước ta sẽ tìm 
được C. Từ đó tìm được tọa độ A, B. Sau đây là một ví dụ về bài toán tọa độ được 
tạo nên từ ý tưởng trên.
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Các 
điểm N(7; 2), M lần lượt là trung điểm của AC, AB; H là hình chiếu của A lên BC. 
Biết đường thẳng MH có phương trình 2x – y – 2 = 0, BC đi qua điểm P(0; 4), 
điểm C thuộc đường thẳng x – 2y – 3 = 0. Hãy tìm tọa độ các đỉnh của tam giác.
Hướng dẫn giải: B
 P
 M
 H
 A N C
 (Hình 1b)
Theo tính chất 1, ta có MH  NH . Từ giả thiết, ta lập được phương trình của NH 
là: x + 2y – 11 = 0. Giải hệ tìm được tọa độ điểm H(3; 4).
 3 3
 * Với a , ta có H(1: -1), BC có phương trình: x- y – 2 = 0. Từ đó tìm 
 2
 3 1
được tọa độ điểm C( ; ), B(-1: -3).
 2 2
 5
 * Với a , ta có H(1; -3), B(-1; -1). Đường thẳng AC có phương trình: 
 2
 3 7
3x – y – 8 = 0, từ đây tìm được C( ; ). 
 2 2
 3 1 3 7
Vậy A(2; 2) , C( ; ), B(-1: -3) hoặc A(2; 2) , ), B(-1; -1), C( ; ).
 2 2 2 2
Tính chất 3: Tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của 
các đoạn thẳng BC, AB. G là một điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng MN. D thuộc đoạn 
BC sao cho GA = DG (D không trùng với các đầu mút). Khi đó, ta có: tam giác 
AGD vuông cân tại G.
Chứng minh: B
 M
 N
 G
 D
 A C
 (Hình 3a)
Ta có MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên GB = GA. Kết hợp với giả 
thiết ta có GA = GB = GD. Điều này chứng tỏ, có đường tròn tâm G bán kính GA 
đi qua 3 điểm A, B, D. 
Lại có: ABD 450 nên AGD 900 hay tam giác AGD vuông cân tại G.
Bình luận: Lấy điểm G là trọng tâm tam giác ABM (G thuộc MN), cho phương 
trình của AG và tọa độ điểm D ta sẽ lập được phương trình GD và tìm được tọa độ 
điểm G, A. Gọi I là giao điểm của GD với AB, chứng minh được GD = 3GI, ta tìm 
được tọa độ điểm I. Từ đó viết được phương trình đường thẳng AB.
Ví dụ: Tam giác ABC vuông cân tại A. M là trung điểm BC, G là trọng tâm của 
tam giác ABM, D(-8; 1) là điểm thuộc cạnh MC sao cho GA = GD. Đường thẳng 
AG có phương trình: 3x – y – 15 = 0 và hoành độ của điểm A nhỏ hơn 5. Xác định 
tọa độ điểm A và lập phương trình đường thẳng AB.
Hướng dẫn giải: 
Theo tính chất 3, ta có tam giác AGD vuông cân tại G. Từ đó lập được phương 
trình của GD là: x + 3y – 5 = 0. Ta tìm được tọa độ điểm G(5; 0).
 5 biểu diễn tọa độ điểm H theo một ẩn t. Sử dụng điều kiện AH vuông góc với IH ta 
tìm được tọa độ điểm H. Từ đây viết được phương trình của BC. 
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A và nội 
tiếp đường tròn (T) có phương trình: x2 y2 6x 2y 5 0. Gọi H là hình chiếu 
của A lên BC. Đường tròn đường kính AH cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tìm tọa 
độ điểm A và viết phương trình cạnh BC, biết đường thẳng MN có phương trình 
20x – 10y – 9 = 0 và điểm H có tung độ lớn hơn hoành độ.
Hướng dẫn giải:
Từ giả thiết ta có HM  AB,HN  AC . Theo tính chất 4, ta có: MN  IA(I là 
trung điểm của BC). Ta lập được phương trình của AI là: x + 2y – 5 = 0. 
 A
 N
 E
 M
 B
 H I C
 (Hình 4b)
Vì A thuộc AI nên có số thực a sao cho A(5-2a; a). Kết hợp với A thuộc (T) ta có: 
 (5 2a)2 a2 6(5 2a) 2a 5 0 a 0 hoặc a = 2. Khi đó ta có: A(1;2) 
hoặc A(5; 0). Điểm A(5; 0) không thỏa mãn vì A, I cùng phía mới MN.
Gọi E là tâm đường tròn đường kính AH. Vì E thuộc đường thẳng MN nên có số 
 9 38
thực t sao cho: E(t;2t ) . Do E là trung điểm của AH nên: H (2t 1;4t ). 
 10 10
 8 28 11 13
Từ AH vuông góc với IH ta có: t hoặc t . Từ đó có H ( ; ) thỏa mãn 
 5 5 5 5
điều kiện. Khi đó, phương trình BC là: 2x + y – 7 = 0.
Tính chất 5: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB mBC (m > 0). Gọi E là điểm 
trên đoạn thẳng AC sao cho AE mEC ; D là điểm trên đoạn thẳng AB sao cho BD 
= BC. Khi đó: CD  BE .
Chứng minh: C
 E
 H
 A
 B D
 (Hình 5a)
 7 Tính chất 6: Tam giác ABC cân tại A. Gọi H là hình chiếu của A lên BC, D là 
hình chiếu của H lên AB, M là trung điểm của DH. Khi đó: AM  CD .
Chứng minh: A
 D
 M N
 C H B
 (Hình 6)
 Lấy N là trung điểm của DB. Khi đó MN//CB nên MN vuông góc vuông góc 
với AH. Lại có HD vuông góc với AN nên M là trực tâm của tam giác AHN. Ta 
suy ra AM vuông góc với HN. Dễ thấy HC//CD nên AM vuông góc với CD.
Bình luận: Nếu cho phương trình đường trung tuyến AM và tọa độ một điểm thuộc 
CD ta sẽ lập được phương trình CD. Gọi tọa độ điểm M theo đường thẳng AM, 
biểu diễn tọa độ D theo tọa độ của M và H và cho D thuộc CD ta tìm được tọa độ 
D. Từ đó tìm được tọa độ các đỉnh của tam giác ABC. Sau đây là một ví dụ về bài 
toán tọa độ được tạo nên từ ý tưởng trên.
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AB = AC, điểm 
H(2; 0) là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC. Gọi D là hình chiếu của 
điểm H lên AB. Biết đường trung tuyến AM của tam giác AHD có phương trình là: 
x + y – 1 = 0. Đường thẳng CD đi qua E(1; 1). Hãy xác định tọa độ các đỉnh của 
tam giác ABC.
Hướng dẫn giải: (Sử dụng hình 6 để giải bài tập này).
Theo tính chất 6 ta có: AM  CD . 
Từ phương trình của đường thẳng AM và điểm E thuộc CD ta có phương trình của 
CD: x – y = 0. Vì M thuộc AM nên có số thực m sao cho M(m; 1-m). 
Do M là trung điểm của DH nên D(2m-2; 2-2m). Vì D thuộc CD nên m = 1.
Vậy M(1; 0), D(0; 0). 
AB vuông góc với DH nên lập được phương trình AB là: x = 0.
Từ đây có tọa độ điểm A(0; 1). 
Lập được phương trình CB: 2x – y – 4 = 0. 
Giải hệ ta tìm được: C(4; 4), B(0; -4).
Tính chất 7: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của AB, I là tâm 
đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác AMC. 
Khi đó: GI  CM .
 9 3 25
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là: x2 (y )2 .
 2 4
Giải hệ tìm được tọa độ điểm C(2; 0). 
Giả sử A(a; b) (b là số nguyên). 
 3 25 1
Sử dụng điều kiện A thuộc đường tròn x2 (y )2 và G( ;2) là trọng tâm 
 2 4 3
tam giác ACM ta tìm được: A(0; 4), M(-1; 2). Từ đó có được B(-2; 0).
Tính chất 8: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm I. M là một điểm bất 
kì trên cung BC không chứa điểm A của đường tròn. Khi đó: MB MC MA.
Chứng minh:
Lấy điểm D trên đoạn thẳng AM sao cho MD = MB. A
Ta có: AMB ACB 600 nên tam giác BMD là 
tam giác đều. 
Ta có: BD = BM. I
Xét hai tam giác: ABD và CBM . 
Ta có: AB BC,BD BM ,ABD CBM D
(Vì ABD DBC CBM CBD 600 ). B C
Từ đó ta có: ABD = CBM , ta suy ra: MC = AD.
Vậy: MB MC MD DA MA . M 
 (Hình 8a) 
Bình luận: Nếu cho phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ta có 
được: Tọa độ I, Bán kính R và BC. Cho chu vi tam giác MBC bằng BC + 2R ta có 
MA = 2R nên MA là đường kính. Bài toán sau đây được sáng tạo từ ý tưởng này.
Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác đều ABC và nội tiếp 
đường tròn tâm (T): x2 y 2 25. Cho M(0;-5) và tam giác MBC có chu vi bằng 
10 5 3 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác biết B có hoành độ âm.
Hướng dẫn giải: Dễ kiểm tra được M thuộc đường tròn (T) và M thuộc cung BC 
không chứa điểm A. Vì đường tròn (T) có tâm là O(0; 0), R = 5 nên tìm được: 
 BC 5 3 . A
Từ giả thiết, ta có: MB + MC = 10
Theo tính chất 8, ta có MA = MB + MC = 10. 
Suy ra MA là đường kính nên A đối xứng I
với M qua O, ta có được: A(0; 5). D
Vì BC vuông góc với AM và khoảng cách
 15 B C
 từ A đến BC bằng nên lập được phương
 2 M
 5
trình của BC là: y - = 0. (Hình 8b) 
 2
 11