Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NGA SƠN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI 
 NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ ĐƯỜNG TIỆM 
 CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
 Người thực hiện: Lê Thị Minh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực( môn): Toán
 THANH HÓA NĂM 2017
 Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn0
 Năm học: 2011 - 2012 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
1.Mở đầu:
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con 
người phát triển toàn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào 
tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện 
để có thể đáp ứng kịp thời với sự thay đổi và phát triển của xã hội. Để đổi mới sự 
nghiệp giáo dục và đào tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong 
đó có cả phương pháp dạy học môn Toán.
 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2016- 2017 này, Bộ giáo dục và đào 
tạo đã quyết định thay đổi hình thức thi đối với môn toán, chuyển từ hình thức 
thi tự luận sang hình thức trắc nghiệm. Đây là cả một sực thay đổi lớn đối với 
môn học này. Nó đã làm cho cả giáo viên và học sinh phải thay đổi cách dạy, 
cách học, cách tư duy để có thể đáp ứng được sự thay đổi nói trên. Bản thân là 
một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn này và đang thực hiện công việc ôn thi 
THPT Quốc Gia cho học sinh cuối cấp, tôi đã phải suy nghĩ và trăn trở rất nhiều, 
mình phải giảng dạy và hướng dẫn làm sao để học sinh hiểu, biết cách vận dụng 
để học sinh có thể giải quyết bài toán trắc nghiệm một cách nhanh nhất, hiệu quả 
nhất có thể.
 Trước tình hình đó cùng với việc nghiên cứu các đề thi thử nghiệm của Bộ 
giáo dục và đào tạo, kết hợp với quá trình giảng dạy và nghiên cứu, tôi nhận thấy 
bài toán về đường tiệm cận của đồ thị hàm số có liên quan nhỏ về giới hạn hàm 
số lớp 11, khiến nhiều học sinh bị vướng mắc. Chính vì vậy, với mong muốn có 
thể cung cấp thêm cho các em một số kiến thức, giúp các em vượt qua vướng 
mắc đó và hướng dẫn để các em có thể giải nhanh những bài toán liên quan đến 
tiêm cận nhằm mục đích tiết kiệm tối đa thời gian. Từ đó tôi nghiên cứu và viết 
đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về 
đường tiệm cận của đồ thị hàm số ’’. Trong khuôn khổ sáng kiến kinh nghiệm 
 Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn2 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
ngang ( hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y f x nếu lim f x y0 hoặc 
 x 
 lim f x y0 .
 x 
b) Cách tính giới hạn có dạng 0 :
 0
 P x 
+) Đối với giới hạn lim với P x , Q x là các đa thức và P x0 Q x0 0 , 
 x x0 Q x 
ta tiến hành phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử và rút gọn.
 P x 
+) Đối với giới hạn lim với P x , Q x là các biểu thức chứa căn cùng bậc 
 x x0 Q x 
và P x0 Q x0 0 , ta sử dụng các hằng đẳng thức để nhân lượng liên hợp cả tử 
và mẫu.
 P x 
+) Đối với giới hạn lim với P x0 Q x0 0 và P x , Q x là các biểu thức 
 x x0 Q x 
chứa căn không cùng bậc
 m n m n
Giả sử: P x u x v x với u x0 v x0 a .
 P x m u x a n v x a
Ta phân tích: 0 0 sau đó sử dụng cách làm như ở 
dạng trên.
c) Cách tính giới hạn có dạng :
 P x 
+) Đối với giới hạn lim với P x , Q x là các đa thức, ta tiến hành chia cả 
 x Q x 
tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x .
 Nếu bậc của P x nhỏ hơn bậc của Q x thì kết quả của giới hạn bằng 0.
 Nếu bậc của P x bằng bậc của Q x thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số các 
hệ số của lũy thừa cao nhất của tử và mẫu.
 Nếu bậc của P x lớn hơn bậc của Q x thì kết quả của giới hạn bằng .
 P x 
+) Đối với giới hạn lim với P x , Q x có chứa căn thì ta có thể chia cả 
 x Q x 
tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp.
 m m
 x x x , x 0
Trong trường hợp này tôi xin lưu ý vấn đề sau: +) ( Nếu m 
 m m
 x x x , x 0
chẵn)
 +) x m xm ,x ( Nếu m lẻ)
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
 Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn4 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
 m m 1
 a0 x a1x ... am f x 
Loại 2: Đối với hàm số y n n 1 với a0 0,b0 0 thì ta có 
 b0 x b1x ... bn g x 
kết luận như sau:
 Đối với tiệm cận đứng: 
 +)Trong trường hợp g x0 0 , f x0 0 , thì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: 
 x x0 .
 1 2x 3x2
Thí dụ: Đối với hàm số: y ta có thể kết luận nhanh đồ thị hàm số có 
 x 3
tiệm cận đứng x 3.
 f x 
 +)Trong trường hợp g x0 0 , f x0 0 , thì ta phải đi tính giới hạn lim . 
 x x0 g x 
Nếu kết quả bằng L thì kết luận đường thẳng x x0 không phải tiệm cận đứng 
của đồ thị hàm số, còn nếu kết quả bằng thì kết luận đồ thị hàm số có tiệm cận 
đứng: x x0 .
 3x2 2x 1
Thí dụ: Đối với hàm số: y ta có thể nhận thấy x 1 là nghiệm của 
 x 1
cả tử và mẫu nên trong trường hợp này ta phải tính nhanh giới hạn có dạng 0 và 
 0
kết luận đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. 
Nhận xét: Trong trường hợp x x0 là nghiệm của cả tử và mẫu học sinh thường 
hay cho rằng đường thẳng x x0 không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, 
 3x2 2x 1
Tuy nhiên đối với hàm số: y sẽ cho ta điều ngược lại. Cụ thể ta nhận 
 x 1 2
thấy x 1 là nghiệm của cả tử và mẫu, nhưng sau khi tính nhanh giới hạn có 
 0
dạng thì ta có kết quả bằng nên đồ thị hàm số lại nhận đường thẳng x 1 
 0
tiệm cận đứng.
 Đối với tiệm cận ngang: 
 +) Nếu bậc của f x nhỏ hơn bậc của g x thì đồ thị hàm số có tiệm cận 
ngang: y 0.
 1 2x
Thí dụ: Đối với hàm số: y ta có thể kết luận nhanh đồ thị hàm số có 
 x2 2x 3
tiệm cận ngang y 0.
 +) Nếu bậc của f x bằng bậc của g x thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: 
 a
 y 0 .
 b0
 Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn6 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
 x 1 1
Còn đối với hàm số: y ta nhận thấy x 0 là nghiệm của cả tử và mẫu 
 x2
nên trong trường hợp này ta phải tính nhanh giới hạn có dạng 0 được kết quả 
 0
bằng nên kết luận đường thẳng x 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Nhận xét: Như vậy khi x x0 là nghiệm của cả tử và mẫu ta không thể kết luận 
ngay đường thẳng x x0 không phải tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, nó còn 
phụ thuộc vào kết quả giới hạn.
 Đối với tiệm cận ngang: 
 +) Nếu bậc của f x nhỏ hơn bậc của g x và hàm số có TXĐ có dạng 
 ,a , b, hoặc , thì đồ thị hàm số có tiệm cận ngang: y 0 còn 
hàm số có TXĐ có dạng a,b hoặc a;b thì kết luận đồ thị hàm số không có 
tiệm cận ngang .
 2x 1 x 1 1 
Thí dụ: Hàm số: y 2 có TXĐ D= , \ 0,1 ta có thể kết luận 
 x x 2 
 1
nhanh đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 0 còn hàm số y có TXĐ D=
 4 x2
 2,2 nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang . 
 +) Nếu bậc của f x bằng bậc của g x .Trước hết ta phải quan tâm đến 
 f x f x 
TXĐ của hàm số để quyết định xem cần tính lim hay lim . Cụ thể: 
 x g x x g x 
 f x 
Nếu TXĐ có dạng ,a thì đi tính lim , nếu TXĐ có dạng b, thì tính 
 x g x 
 f x 
 lim , còn nếu TXĐ có dạng , thì chúng ta phải tính cả hai giới hạn 
 x g x 
trên rồi từ đó đưa ra kết luận.
 x2 x
Thí dụ: Đối với hàm số: y . Vì TXĐ D , 10, \ 1 nên đồ thị 
 x 1
hàm số có tiệm cận ngang y 1.
 1 x 4x2 x 1
 Còn đối với hàm số: y Vì TXĐ D  1, nên đồ 
 x2 2 1
thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 .
 +) Nếu bậc của f x lớn hơn bậc của g x thì kết đồ thị hàm số không có 
tiệm cận ngang.
 Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn8 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải nhanh bài toán trắc nghiệm về đường tiệm cận của đồ thị hàm số
 2x 3
Nên ta có: lim x2 2x 3 x lim 1. Nên y 1 là tiệm cận 
 x x x2 2x 3 x
ngang.
 2 3 
 lim x2 2x 3 x lim x. 1 1 .Trường hợp này 
 x x 2 
 x x 
không có tiệm cận ngang.
Kết luận: y 1 là tiệm cận ngang.
 x x
Loại 5: Các loại hàm số khác như: y e , y a , y ln x, y loga x 
Đối với các hàm số này học sinh cần lưu ý:
+) Đồ thị của hàm số mũ có tiệm cận ngang là trục Ox và không có tiệm cận 
đứng .
+) Đồ thị của hàm số logarit có tiệm cận đứng là trục Oy và không có tiệm cận 
ngang .
Dưới đây là các bài tập tự luận tương ứng với các loại hàm số mà tôi đã giới 
thiệu ở trên:
Bài tập 1: Tìm tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau:
 1 3x 1 2
 a) y x4 2x2 2 . g) y .
 4 x2 x
 2x 5 1 x x2 1
 b) y . h) y .
 x 3 x 1 2
 x2 3 4 x 3 1 x
 c) y . i) y .
 x2 x 6 x
 3x2 2x 1 7 x 3 8x 11
d) y . k) y .
 x2 5x 4 x2 3x 2
 x
 x2 4 
e) y 2 . . l) y .
 x 2 3 
 x 2
f) y m) y log x .
 1 x2
Đáp án:
a) Không có tiệm cận đứng. g) x 0 .
b) x 3. h) x 1.
c) x 2, x 3. i) x 0 .
d) x 4 . k) x 1.
e) x 2 . . l) Không có tiệm cận đứng.
f) x 1 m) x 0 .
Bài tập 2: Tìm tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau:
 Lê Thị Minh – THPT Nga Sơn 10