Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số theo hình thức thi trắc nghiệm

 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số 
 theo hình thức thi trắc nghiệm
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NGA SƠN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI MỘT 
 SỐ DẠNG BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM 
 SỐ THEO HÌNH THỨC THI TRẮC NGHIỆM
 Người thực hiện: Mai Phi Thường
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị công tác: THPT Nga Sơn
 SKKN thuộc lĩnh vực( môn): Toán
 THANH HÓA NĂM 2017
Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn0
 Năm học: 2011 - 2012 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số 
 theo hình thức thi trắc nghiệm
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
 Đất nước ta đang trên con đường hội nhập và phát triển, từ đó cần những con 
người phát triển toàn diện. Muốn vậy, phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục và đào 
tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục phải được đổi mới một cách căn bản và toàn diện 
để đáp ứng nhu cầu phát triển của xã hội. Để đổi mới sự nghiệp giáo dục và đào 
tạo trước hết phải đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có cả phương pháp 
dạy học môn Toán.
Từ năm học 2016 – 2017 hình thức thi THPT Quốc Gia của môn Toán đã có sự 
thay đổi ( chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm), bước 
đầu làm cho giáo viên và học sinh thấy bỡ ngỡ. Trong các đề thi minh họa của 
bộ giáo dục, câu liên quan đến tính đơn điệu của hàm số thường là những câu ở 
mức độ vận dụng thấp hoặc vận dụng cao, muốn giải quyết được những câu này 
đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về tính đơn điệu của hàm, định lí Vi-et 
trong phương trình bậc hai, ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình - bất 
phương trình, đồng thời phải biết vận dụng khéo léo và linh hoạt các mảng 
kiến thức trên vào từng bài toán cụ thể để tìm ra kết quả nhanh nhất và chính xác 
nhất.
 Trước kì thi THPT Quốc gia đến gần, với mong muốn có thể cung cấp thêm 
cho các em học sinh một số kiến thức để có thể lấy được điểm tối đa bài thi của 
mình, từ đó tôi nghiên cứu và viết đề tài “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh 
giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số theo hình thức thi 
trắc nghiệm’’. Hi vọng nó sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên và học 
sinh.
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Thứ nhất: Giúp học sinh tiếp cận và làm quen với cách học, cách làm nhanh 
bài toán trắc nghiệm, từ đó có thể phát huy tối đa hiệu quả làm bài, nhằm đạt 
được kết quả cao nhất.
 Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn2 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số 
 theo hình thức thi trắc nghiệm
Thứ hai: Ngoài việc trực tiếp giải quyết các dạng bài tập về tính đơn điệu của 
hàm số thì các bài toán này còn ứng dụng vào giải phương trình, hệ phương 
trình, bất phương trình và nhiều kiến thức có liên quan khác.
 Trong bài viết này, tôi đưa ra một số cách giải bài toán tìm tham số để hàm số 
đơn điệu trên miền cho trước ứng với từng hàm số cụ thể, thấy kết quả đạt tốt và 
phù hợp đối với các đối tượng học sinh trường tôi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1. Hệ thống kiến thức liên quan
 Định lí Vi-et :
 b
 x1 x2 
 2 a
 Nếu phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 thì 
 c
 x x 
 1 2 a
 2
 Điều kiện để phương trình ax bx c 0 a 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 
 0 0
 x1 x2 là x1 0 x1 x2 2 0 
 x 0 
 2 x1 x2 0
 Bất phương trình f x g m ,x D g m min f x ( m là tham số)
 D
 Bất phương trình f x g m ,x D g m max f x ( m là tham số)
 D
 Phương trình asinx bcos x c có nghiệm a2 b2 c2 
2.3.2. Một số bài tập vận dụng
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số không chứa tham số
Đối với dạng bài toán này, học sinh cần nắm vững các công thức tính đạo hàm 
của hàm số, quy tắc xét dấu của đa thức và mối liên hệ giữa dấu của đạo hàm và 
tính đơn điệu của hàm số. Tôi đưa ra một số bài tập ở mức độ thông hiểu và vận 
dụng để học sinh làm quen và rèn luyện kĩ năng làm bài. Cụ thể:
Bài tập 1: Khoảng đồng biến của hàm số y x 2 5 2x 1 4 là
 7 1 7 1 7 1 1 
A. 2; và ; B. ; và ; C. ; D. 2; 
 6 2 6 2 6 2 2 
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2017 , trường THPT Nga Sơn năm)
Lời giải: Ta có y ' x 2 4 2x 1 3 18x 21 
 Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn4 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số 
 theo hình thức thi trắc nghiệm
Suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng 0;1 và 1;e . 
Vậy: S a b c 1 e . Chọn A
Nhận xét: Học sinh hay mắc sai lầm khi tìm TXĐ của hàm số trên, vì vậy khi 
xác định khoảng nghịch biến của hàm số dễ dẫn tới kết quả sai
Bài tập 3: Hàm số y 3 2x 1 x 1 2 nghịch biến trên khoảng nào?
 2 2 
A. ; B. ;1 C. 1; D. ; 
 3 3 
( Trích Giải toán đạo hàm và khảo sát hàm số - TS. Nguyễn Cam) 
Lời giải: TXĐ: D ¡
 2 3x 2 2
Ta có: y ' . , y ' 0 x 
 3 3 2x 1 2 x 1 3
Dấu của y ' phụ thuộc vào dấu của 3x 2 và x 1 . 
Lập bảng biến thiên 
 1 2
x 1 
 2 3
 + 0
y’ + +
y
 2 
Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 . Chọn B
 3 
Bài 4. Cho hàm số y ln x 4 x2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số đồng biến trên ¡ 
B. Hàm số nghịch biến trên ¡
 x
C. Hàm số có đạo hàm y ' 
 4 x2
D. Hàm số có tập xác định là khoảng 0; 
( Trích Giải toán đạo hàm và khảo sát hàm số - TS. Nguyễn Cam) 
Lời giải: Ta có: x 4 x2 x x 0 nên TXĐ: D ¡ 
 1
Lại có: y ' 0,x ¡ nên hàm số đồng biến trên ¡ . Chọn A
 4 x2
 Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn6 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số 
 theo hình thức thi trắc nghiệm
 x1 ; x2 0; m m 0 1
 và x x 1 m 1 . Chọn A
 2 1 0 m 1
 x1 ; x2 m; 0 
Bài tập 4: Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y m2 1 x3 m 1 x2 x 4 
nghịch biến trên khoảng ; 
A. 2 B. 1 C. 0 D. 3
( Trích đề thi minh họa THPTQG lần III của Bộ GD&ĐT năm 2017)
Lời giải: TXĐ: D ¡
Ta có: y ' 3 m2 1 x2 2 m 1 x 1
 Nếu m 1 y ' 4x 1 không thỏa mãn hàm số nghịch biến trên khoảng 
 ; 
 Nếu m 1 y ' 1 0,x ¡ hàm số nghịch biến trên khoảng ; 
Suy ra: m 1 là một giá trị nguyên thỏa mãn
 Nếu m 1, hàm số nghịch biến trên khoảng ; y ' 0,x ¡
 2 1 m 1
 m 1 0 1
 2 1 m 1 
 ' m 1 3 m2 1 0 m 1 2
 2
Suy ra: m 0 là một giá trị nguyên trong trường hợp này
Vây: m 0 , m 1 là hai giá trị cần tìm. Chọn A
Bài tập 5: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 
 y x3 m 1 x2 2m2 3m 2 x 1 đồng biến trên khoảng 2; 
 3 3
A. m 2 B. m 5 C. m ¡ D. 2 m 
 2 2
(Trích đề thi thử THPT Quốc gia lần 3 năm 2017 , trường THPT Đống Đa – Hà 
Nội)
Lời giải: TXĐ: D ¡ 
Ta có: y ' 3x2 2 m 1 x 2m2 3m 2 
 Hàm số đồng biến trên ¡ y ' 0,x ¡ ' 0 7 m2 m 1 0 (vô lý)
 Hàm số đồng biến trên khoảng 2; 
 2 2
 y ' 0 3x 2 m 1 x 2m 3m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa 
 x1 2 x1 2 0
mãn x1 x2 2 , điều kiện là: ( vì ' 0,m )
 x2 2 x2 2 0
 x1 x2 4 x1 x2 4
 x1 2 x2 2 0 x1x2 2 x1 x2 4 0
 Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn8 Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải một số dạng bài toán về tính đơn điệu của hàm số 
 theo hình thức thi trắc nghiệm
Lời giải: TXĐ: D ¡
Ta có: y ' 4x ln 4 2x 2 ln 2 m
 1
Đặt: t 2x , t 2 .
 2
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 1;1 y ' 0,x 1;1 
 2 1 
 f t 2ln 2 t 4ln 2 t m 0,t ;2 
 2 
 2 1 
 f t 2ln 2 t 4ln 2 t m,t ;2 
 2 
 m min f t 2ln 2 
 1 
 ;2 
 2 
Vậy: giá trị lớn nhất của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m 2ln 2 . Chọn A
Bài tập 8: Biết rằng tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 
 1
 y x3 m 1 x2 m 3 x 2017m đồng biến trên các khoảng 3; 1 và 0;3 là 
 3
đoạn T a;b. Tính a2 b2 .
 A. a2 b2 13. B. a2 b2 8. C. a2 b2 10. D. a2 b2 5.
(Trích đề khảo sát môn Toán khối 12 – Sở GD&ĐT Thanh Hóa năm 2017)
Giải: TXĐ: D = ¡
 y ' x2 2 m 1 x m 3 y ' 0 có nhiều nhất 2 nghiệm trên ¡ .
 Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng 0;3 y ' 0, x 0;3 
 x2 2x 3 x2 2x 3
 m, x 0;3 . Xét hàm số g x trên khoảng 0;3 
 2x 1 2x 1
 2x2 2x 4 x 1
 g ' x 2 ; g ' x 0 
 2x 1 x 2 loai 
Từ BBT, g x m, x 0;3 m 2
 Hàm số đồng biến trên khoảng 3; 1 y ' 0, x 3; 1 
 x2 2x 3 x2 2x 3
 m, x 3; 1 . Xét hàm số g x trên khoảng 3; 1 
 2x 1 2x 1
 2x2 2x 4 x 1
 g ' x 2 ; g ' x 0 
 2x 1 x 2 loai 
 Từ BBT, g x m, x 3; 1 m 1. Do đó m [ 1;2] a2 b2 5.Chọn D
 Lưu ý: Nếu từ bất phương trình y ' 0 mà ta có thể xử lý bằng cách:
 Cô lập biến số và tham số về hai vế thì sẽ áp dụng bài toán dạng 
 f x g m ,x D g m min f x ( m là tham số)
 D
 Mai Phi Thường – THPT Nga Sơn 10