Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm giúp học sinh yếu kém giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG III
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN ĐỀ TÀI
KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH HỌC LỰC YẾU KÉM, GIẢI 
 PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Sen
 Chức vụ: Giáo viên Toán
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2016 PHẦN 1: MỞ ĐẦU
 1. Lý do chọn đề tài.
 Trong quá trình giảng dạy năm học 2015-2016 và những năm học trước 
đây tại trường THPT Quảng Xương 3, tôi được phân công dạy các lớp mà mỗi 
lớp có từ 15-20% có đối tượng là học sinh yếu kém. Chính vì vậy ngoài việc 
giúp các em nắm bắt được kiến thức cơ bản của môn toán, tôi cần phải nắm bắt 
được sự khó khăn của các em khi giải một bài toán đơn giản trong sách giáo 
khoa, từ đó có cách giảng đơn giản nhất. 
 Trong nội dung đề thi THPT Quốc gia, môn Toán là môn bắt buộc tất cả 
các thí sinh tham gia. Trong cấu trúc đề thi môn Toán, phần phương, bất phương 
trình trình mũ và logarit đóng vai trò rất quan trọng. Trong các đề thi đại học từ 
năm 2014 trở về trước câu phương trình, bất phương trình mũ và logarit thường 
là những câu hỏi khó mà học sinh yếu kém không làm được. Nhưng trong đề thi 
THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 và đề thi thử của các Sở Giáo dục và đào 
tạo các tỉnh thì câu hỏi về phần này thường đơn giản mà học sinh yếu kém có 
thể làm được.
 Đôi tượng học sinh là học sinh yếu kém thường các em không chịu khó 
học, thường xuyên bỏ học dẫn đến việc kết quả học tập không tốt và trượt tốt 
nghiệp. Lý do vì các em bị hổng kiến thức, mất gốc kiến thức nên đến lớp không 
theo được các bạn dẫn đến việc chán nản học tập. Do đó bản thân tôi phải quan 
tâm và tác động đến đối tượng học sinh này để trước hết các em có hứng thú với 
môn Toán rồi từ đó các em làm được bài và thích học môn Toán. Mục tiêu là để 
các em vượt qua kỳ thi THPT Quốc gia.
 Tôi đã trao đổi kinh nghiệm này với các giáo viên đứng ở các lớp cũng có 
đối tượng là học sinh yếu kém và đã thấy có hiệu quả. Vì vậy tôi tổng hợp và 
chon đề tài: "kinh nghiệm giúp học sinh yếu kém giải phương trình, bất phương 
trình mũ và logarit".
 2. Mục đích nghiên cứu.
 Với đề tài này tôi mong muốn những học sinh yếu kém có thể giải được 
những phương trình mũ, bất phương trình mũ và phương trình, bất phương trình 
logarit trong các đề thi Quốc gia.
 - Hiện nay những bài toán giải phương trình mũ và logarit trong các đề thi 
quốc gia đa số là đơn giản. Đối với những học sinh khá, giỏi các em làm rất tốt. 
Tuy nhiên đối với học sinh yếu kém vẫn gặp rất nhiều khó khăn đặc biệt là việc 
nhớ công thức để áp dụng.
 Khi gặp những dạng phương trình logarit thường thì những học sinh yếu 
kém không đặt điều kiện hoặc đặt sai, không nhớ công thức, áp dụng sai công 
thức dẫn đến việc kết luận sai hoặc làm sai.
 3. Đối tượng nghiên cứu. Bước 1: Tổ chức cho học sinh nắm được công thức về luỹ thừa và công 
thức logarit theo chiều xuôi, chiều ngược có sự hướng dẫn của giáo viên.
 Bước 2: Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh, 
trong đó yêu cầu khả năng học sinh áp dụng đúng công thức và có lời giải chính 
xác.
 Bước 3: Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững 
kiến thức của học sinh.
 Bước 4: Trong mỗi bài toán về phương trình, bất phương trình mũ và 
logarit cần yêu cầu học sinh biết vận dụng công thức nào để từ đó có thể áp 
dụng vào các bài tập phức tạp hơn.
 Bước 5: Cung cấp cho học sinh hệ thống bài tập tổng hợp để học sinh biết 
cách áp dụng vào dạng toán nào. 
 4. Nội dung đề tài.
 Trước khi cho học sinh giải phương trình mũ và phương trình logarit, giáo 
viên dành một buổi để ôn lại cho học sinh công thức về lũy thừa và công thức về 
logarit. Giáo viên chú ý cho các em ghi công thức theo chiều ngược lại vì các 
em nhiều khi không biết áp dụng theo chiều ngược lại.
 * Công thức lũy thừa
 Đk xác định a x xác định khi: 0 a 1 
 x R
1.am.an am.m 1.am.n am.an
 2.am.bm a.b m 2. a.b m am.bm
 am am
 3. am n 3.am n 
 an a n
 m m
 am a a am
 4. m 4. m
 b b b b
 n m n m
 5. am an 5.am.n am an 
 1 1
 6.a n 6. an
 an a n
 m m
 7.a n n am 7.n am a n
 trong các công thức trên học sinh hay lúng túng trong việc sử dụng công 
thức (5) và (7).
 2
 Ví dụ: Khi biến đổi 3x 
 2
 Sai lầm học sinh thường mắc 32x 3x vì các em không biết vận dụng 
 n m
công thức am.n am an 
 2 2
 Lời giải đúng: 3x 3x 32x Cần lưu ý cho học sinh là: đối với phương trình mũ thì khi ở phần luỹ 
 A
thừa xuất hiện dạng n A với n chẵn (điều kiện A 0 ) hoặc ( điều kiện B 0 ) 
 B
thì phải tìm điều kiện xác định, nếu không xuất hiện những dạng này thì không 
cần tìm điều kiện xác định. Bài tập tương tự:
 Bài 2: Giải phương trình 5x x 25
 Với bài toán này sau khi làm bài tập 1 học sinh thường làm:
 5x x 52
 x x 2
 x 2 x
 (x 2)2 x
 x2 5x 4 0
 x 1
 x 4
 x 1
 Vậy phương trình có hai nghiệm 
 x 4
 * một số sai lầm học sinh hay mắc phải:
 - Vì 5x x chỉ xác định khi x có nghĩa tức là x 0 , vì vậy các em phải 
tìm đk xác định của bài toán. 
 - Phương trình x 2 x khi muốn bình phương hai vế thì phải điều kiện 
 x 2 0
cho hai vế không âm, nghĩa là: x 2 x 2
 x 2 x
 Với 2 sai lầm này sẽ dẫn đến kết quả bài toán của học sinh làm sẽ sai. 
 * Lời giải đúng: 
 Đk xác định: x 0
 Phương trình trở thành:
 5x x 52
 x x 2
 x 2 x(1)
 x 2
 2
 (x 2) x
 x2 5x 4 0
 x 2
 x 1(l)
 x 4
 Vậy phương trình có một nghiệm x = 4 t 1(loai)
 3
 t 
 4
 x
 3 3 3
Với t x 1
 4 4 4
Vậy phương trình có nghiệm: x 1.
Cách 2:
 2
Chia cả 2 vế cho 9x 3x ta được:
 x 2 x 2
 3 3x.4x 4 
 4. 2 2 3 2 0
 3x 3x 3x 
 x x 2
 4 4 
 4 3 0
 3 3 
 x
 4 
 Đặt: t t 0 
 3 
 Pt trở thành: 3t 2 t 4 0
 t 1(loai)
 4
 t 
 3
 x
 4 4 4
 Với t x 1
 3 3 3
Vậy phương trình có nghiệm: x 1.
Cách 3:
Chia cả 2 vế cho 12x .
Khi làm bài tập theo cách 3 sau khi chia pt sẽ xuất hiện dạng:
 x x
 2 3 
 4. 1 3 0
 3 2 
 x x x
 2 3 2 3 
Ta có: . . 1
 3 2 3 2 
 x x
 2 3 1
Đặt: t t 0 
 3 2 t
 3
Pt trở thành: 4t t 0
 t
Quy đồng bỏ mẫu ta được pt bậc 2: 4t 2 t 3 0 
 t 1(loai)
 3
 t 
 4 1
 t 
 3
 (thoả mãn)
 t 3
 1 2 1
 Với t 3x x 3 1 x2 x 1 x2 x 1 0 (vô nghiệm)
 3 3
 2 1 5
 Với t 3 3x x 3 x2 x 1 x2 x 1 0 x 
 1,2 2
 1 5
 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x 
 2
 * Phương trình logarit.
 Khi dạy phần này giáo viên cần nhắc lại công thức:
 loga f x đk: 0 a 1
 f x 0 
 b
 loga f x b f x a
 loga f x loga g x f x g x 
 2
 Bài 1: Giải phương trình: log2 (3x 1)(x 1) log4 (x 1) 1
 Học sinh thường giải:
 2
 Đk: 3x 2 (x 1) 0 x , 1  ( , )
 3
 pt log2 (3x 2)(x 1) log2 (x 1) 1
 log2 (3x 2) 1
 3x 2 2
 x 0 t / m 
 Vậy phương trình có 1 nghiệm x 0
 Một số sai lầm học sinh thường mắc phải
 : Với điều kiện xác định của bài toán thì chưa xác định được dấu của x 1 
 2
nên log4 x 1 log2 x 1 .
 Với x ; 1 x 1 0
 2 
 Với x , x 1 0
 3 
 2
 Vì vậy khi khai triển: log4 (x 1) log2 (x 1) là không đúng. Do đó đã làm 
 4
thiếu 1 nghiệm x của phương trình.
 3
 2
 log4 x 1 có đk xác định là x 1 0 x 1
 * Lời giải:
 2
 Đk: 3x 2 (x 1) 0 x ; 1  ( ; )
 3
 2
 log3 (4x 3) log(2x 3) 2
 (4x 3)2
 log 2
 3 2x 3
 (4x 3)2
 32
 2x 3
 : (4x 3)2 9(2x 3)
 16x2 24x 9 18x 27
 16x2 42x 18 0
 x 3
 3 (loai)
 x 
 8
Vậy phương trình có 1 nghiệm x 3
Với dạng bài tập này giáo viên lưu ý học sinh các công thức sau:
 n
nloga f x loga f x 
log 1 f x loga f x 
 a
* Bất phương trình mũ.
 2
Bài 1: Giải bất pt: 2x 3x 2 4x 1
 x 1
Phân tích: 4x 1 22 22x 2
 2
* Lời giải: Bất pt 2x 3x 2 4x 1
 x2 3x 2 2 x 1 
 2 2
 2
 2x 3x 2 22x 2
 x2 3x 2 2x 2
 x2 5x 4 0
 x ( ;1)  (4; )
Vậy nghiệm của bất pt là: x ( ;1)  (4; )
Sau khi làm ví dụ này giáo viên nhắc học sinh ghi nhớ công thức:
 a f (x) a g (x) với a > 1
 f (x) g(x)
Bài 2: Giải bất pt:
 3x 1 1 2 x
 2 2 
 3 3 
 1
Lới giải học sinh: 3x 1 0 x 
 3
 1
 Đk xác định x 2
 3
 2 x 0 x 2
Bất pt đã cho tương đương: