Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm dạy một số bài toán về xác suất nhằm tạo hứng thú học tập và phát triển tư duy cho học sinh trường THPT Quảng Xương 4

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hà Thị Phúc
 MỤC LỤC
MỤC LỤC.................................................................................................................1
 A – MỞ ĐẦU.........................................................................................................2
 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI ...................................................................................2
 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU .........................................................................2
 III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU .....................................................................2
 IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ...............................................................2
 B. NỘI DUNG .......................................................................................................3
 I. CƠ SỞ LÍ LUẬN............................................................................................3
 II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI......................................................................3
 III. KINH NGHIỆM DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT..................3
 1. Kiến thức cơ bản: ...........................................................................................3
 2. Một số bài toán vận dụng:..............................................................................4
 2.1: Các bài toán tính theo định nghĩa: ........................................................4
 2.2.Các bài toán vận dụng quy tắc xác suất. ...............................................12
 3. Bài tập đề nghị : ...........................................................................................15
 IV. KẾT QUẢ ..................................................................................................16
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................18
 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hà Thị Phúc
 B. NỘI DUNG 
I. CƠ SỞ LÍ LUẬN 
 Khi giải bài tập toán, người học phải được trang bị đầy đủ các kiến thức, kỹ 
năng, biết liên hệ giữa cái cũ và cái mới. Các tiết dạy phải được thiết kế có hệ 
thống, các ví dụ từ dễ đến khó, đa dạng phù hợp với học sinh nhằm phát huy tính 
tích cực cho học sinh. Hệ thống bài tập phải giúp học sinh nắm vững kiến thức, dần 
dần phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng kiến thức linh hoạt vào bài toán. 
Từ đó học sinh có hứng thú và động cơ học tập tốt. Vì vậy tôi thấy sự cần thiết phải 
xây dựng hệ thống ví dụ hay gần gũi với học sinh, liên hệ với thực tế được phân 
loại sắp xếp từ dễ đến khó giúp học sinh lĩnh hội được kiến thức, phát triển tư duy 
suy luận, rèn luyện kỹ năng giải toán. Từ đó hứng thú với học tập hơn. 
II. THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI
 Trong quá trình giảng dạy ở trường THPT Quảng Xương 4 tôi thấy đa phần học 
sinh lúng túng khi giải bài tập về xác suất, tư duy còn kém nên hay giải sai dẫn đến 
các em ngại học. Trong khi nội dung này liên quan đến kiến thức thực tế nhiều và 
là một nội dung trong đề thi THPT Quốc gia, nó thường không phải là câu hỏi khó 
với học sinh nên học sinh có thể lấy điểm phần này được. Chính vì vậy đề tài này 
giúp học sinh hiểu sâu sắc hơn về xác suất, giải được các bài tập, ôn thi tốt phần 
xác suất. Từ đó phát triển tư duy, kỹ năng, kỹ xảo khi giải bài tập toán.
III. KINH NGHIỆM DẠY MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT
1. Kiến thức cơ bản:
- Nếu A là biến cố liên quan đến phép thử chỉ có hữu hạn các kết quả đồng khả 
 
năng xuất hiện thì xác suất của A là tỉ số P(A) A 
 
- Xác suất có các tính chất sau:
a) P(A) 0,A 
b) P() 1 
c) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến phép thử thì
 P(A B) P(A) P(B) 
 (Công thức cộng xác suất)
Hệ quả : Với mọi biến cố A ta luôn có P(A) 1 P(A) .
- Công thức nhân xác suất: A, B độc lập khi và chỉ khi
 P(AB) P(A).P(B) 
 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hà Thị Phúc
Lời giải :
Không gian mẫu  1;2;3;...17;18;19 Số phần tử của không gian mẫu là:  19 
Gọi A là biến cố: “ Chọn được số nguyên tố”.
  A 2;3;5;7;11;13;17;19  A 8 
 8
Xác suất cần tìm là : P(A) 
 19
Nhận xét : Qua hai ví dụ trên học sinh đã biết tính xác suất theo định nghĩa. Giáo 
viên giới thiệu với học sinh thực tế có rất nhiều bài toán ta không thể liệt kê hết các 
phần tử của không gian mẫu. Do đó, ta phải biết cách tính số phần tử của không 
gian mẫu. Giáo viên đưa ra các ví dụ từ dễ đến khó cho học sinh làm quen và luyện 
tập. Giáo viên nên chọn các ví dụ gần gũi với các em, liên quan đến thực tế. Vì vậy, 
tôi chọn ví dụ tiếp theo là ví dụ 3 mà học sinh không cần liệt kê các phần tử ,có thể 
tính nhẩm được số phần tử của không gian mẫu và số kết quả thuận lợi cho biến cố.
Ví dụ 3 :
Nhân dịp ngày 26/3 Đoàn trường THPT Quảng Xương 4 tổ chức cuộc thi bí thư chi 
đoàn giỏi. Trong phần thi kiến thức thí sinh phải bốc thăm một câu hỏi để trả lời. 
Mỗi cái thăm chứa một câu hỏi thuộc một môn học. Các môn toán, văn mỗi môn 
có 2 câu hỏi. Các môn lý, hóa, sinh, sử, địa mỗi môn 1 câu hỏi. Tính xác suất để thí 
sinh chọn được câu hỏi thuộc lĩnh vực khoa học tự nhiên.
* Ở ví dụ này, đầu tiên giáo viên cho học sinh nêu phép thử trong bài toán là gì. 
Rồi xác định không gian mẫu. Học sinh sẽ lúng túng vì không biết liệt kê các phần 
tử như thế nào. Giáo viên nêu cách kí hiệu cho từng câu hỏi trong các thăm. Sau đó 
cho học sinh suy ra số phần tử của không gian mẫu và chỉ cho học sinh thấy nó 
bằng số lượng các câu hỏi mà thí sinh sẽ chọn ngẫu nhiên một câu. Do đó học sinh 
có thể suy luận để tính số phẩn tử không gian mẫu mà không cần liệt kê các phần tử 
của nó. Tương tự học sinh cũng tìm được số kết quả thuận lợi cho biến cố. 
 5 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hà Thị Phúc
viên bi từ 7 viên bi trong hộp. Số khả năng xảy ra chính là số cách chọn 3 viên bi 
bất kỳ trong 7 viên bi đã cho. Theo kiến thức tổ hợp học sinh sẽ tính được số phần 
tử của không gian mẫu. Từ đó học sinh cũng tính được số kết quả thuận lợi cho 
biến cố ở câu a. Đối với câu b giáo viên đặt câu hỏi với học sinh: " Để chọn được 
kết quả thuận lợi cho biến cố ta thực hiện mấy bước( công đoạn)?" Sau khi học 
sinh trả lời được giáo viên hỏi về quy tắc vận dụng để tính.
Lời giải: 
Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách chọn 3 viên bi trong 7 viên bi ở hộp. 
 3
Ta có :  C7 35 
a) Gọi A là biến cố: “Chọn được 3 bi xanh”.
 3
  A C4 4 
 4
Xác suất cần tìm là : P(A) 
 35
b) Gọi B là biến cố: “Chọn được 1 bi xanh, 2 bi vàng ”.
 1 2
 B C4.C3 4.3 12 
 12
Xác suất cần tìm là : P(A) 
 35
*Giáo viên giao ví dụ 5 tương tự nhưng ở tình huống khác, biến cố đề bài nêu 
không cụ thể để học sinh tư duy, suy luận. Tôi chọn ví dụ liên quan đến kỳ thi 
THPT Quốc gia là kì thi mà các em sắp tới sẽ thi. Qua ví dụ cũng giúp các em hiểu 
rõ hơn về kỳ thi này.
Ví dụ 5: Trong cụm thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT thí sinh phải thi 4 môn 
trong đó có 3 môn bắt buộc là Toán, Văn, Ngoại ngữ và một môn do thí sinh tự 
chọn trong số các môn: Vật lý, Hóa, Sinh, Lịch sử, Địa lý.Trường A có 30 học sinh 
đăng ký dự thi, trong đó 10 học sinh chọn môn lịch sử. Lấy ngẫu nhiên 5 học sinh 
 7 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hà Thị Phúc
Lời giải :
Vì Hạnh và Phúc đều có 6 cách nhận mã đề thi nên ta có  6.6 36 .
Gọi A là biến cố : "Mã đề của Hạnh và Phúc nhận được giống nhau"
Với mỗi cách nhận mã đề của Hạnh thì Phúc chỉ có duy nhất một cách nhận mã đề 
giống với Hạnh nên  A 6.1 6 
 6 1
Vậy xác suất của A là P(A) = 
 36 6
Nhận xét: 1) Khi làm ví dụ này học sinh sẽ lúng túng vì chưa thấy rõ được phép 
thử. Hoặc suy luận nhầm. Giáo viên cho một vài học sinh phát biểu để biết được 
cách suy luận của nhiều học sinh khác nhau và tạo không khí học tập sôi nổi. Sau 
đó giáo viên phân tích các từ ngữ của đề bài như phát đề thi ngẫu nhiên và ta quan 
tâm đến các khả năng phát đề cho hai bạn. Để từ đó học sinh hiểu đúng phép thử là 
mà đề bài nhắc đến. Có thể học sinh chưa nghĩ đến quy tắc nhân để tính nên giáo 
viên gợi ý cho học sinh là tính các khả năng nhận đề của mỗi bạn.Qua ví dụ này 
giáo viên khắc sâu cho học sinh đối với phép thử gồm nhiều bước (hay nhiều công 
đoạn) ta sử dụng quy tắc nhân để tính số phần tử không gian mẫu và các kết quả 
thuận lợi cho biến cố.
2) Giáo viên giao tiếp một bài tập sử dụng quy tắc nhân nhưng ở tình huống khác 
để học sinh suy luận. Tôi chọn bài toán về bóng chuyền, liên quan đến cách chia 
bảng thi đấu giữa các đội. Đây môn thể thao mà nhiều học sinh yêu thích. Ở ví dụ 
này, tôi tiếp tục cho một vài học sinh phát biểu, để tạo hứng thú cho giờ học. 
 Ví dụ 7: Giải bóng chuyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, trong đó có 9 đội 
nước ngoài và 3 đội của Việt Nam. Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để chia 
thành 3 bảng A, B, C mỗi bảng 4 đội. Tính xác để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 
bảng khác nhau.
 9 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hà Thị Phúc
 720 6
 Xác suất cần tìm là : P(E) .
 840 7
Nhận xét: Đây là bài toán liên quan đến số tự nhiên mà học sinh được học nhiều ở 
phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Nhưng yêu cầu của bài toán là tìm xác xuất nên 
em có thể chưa định hướng được cách làm. Vì vậy giáo viên cho học sinh phát biểu 
các bước cần làm. Từ đó cho học sinh giải cụ thể, học sinh dễ dàng tính được.
Ví dụ 9: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau được tạo 
ra từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6. Chọn ngẫu nhiên một số từ A. Tính xác suất để số 
được chọn có các chữ số khác 0 và tổng các chữ số là 8.
Lời giải :
Ký hiệu abc là một số bất kỳ thuộc A.
 a có 6 cách chọn do a 0 , b có 6 cách chọn do b a , tương tự c có 5 cách chọn.
Vậy số phần tử của A là : 6.6.5=180.
Xét số abc có các chữ số khác 0 và tổng các chữ số bằng 8. Từ các chữ số đã cho 
ta chọn bộ số a;b;c 1;3;4 và a;b;c 1;2;5 . Từ mỗi bộ trên ta tạo được 3!=6 
nên ta có 12 số.
 12 1
Vậy xác suất cần tìm là : P = 
 180 15
Nhận xét: 1) Sau khi giải xong ví dụ 12 học sinh hoàn toàn có thể định hướng được 
cách giải cho ví dụ 13. Học sinh có thể quên cách tìm các kết quả thuận lợi cho 
biến cố. Giáo viên gợi ý cho học sinh tự nhẩm các bộ số thỏa mãn đề bài.
2) Có những bài toán tính xác suất bằng định nghĩa dài hoặc không tính được, phải 
dùng quy tắc tính xác suất.Những bài tập này là khó đối với học sinh nên giáo viên 
cho các em làm quen từ bài dễ, để học sinh hiểu cách sử dụng quy tắc xác suất, rồi 
giao thêm bài tập khó hơn và phân tích để học sinh thấy được việc dùng quy tắc về 
xác suất ở bài toán đó là cần thiết.
 11 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Hà Thị Phúc
xảy ra nhiều trường hợp ta cộng các kết quả ở các trường hợp ta được số kết quả 
thuận lợi cho biến cố.
2) Qua cách giải trên học sinh sẽ thấy nhiều trường hợp nên lời giải dài, tính toán 
nhiều, giáo viên gợi ý học sinh tính xác suất biến cố đối. Giáo viên cho học sinh 
nêu biến cố đối. Tính xác suất biến cố đối. Suy ra xác suất biến cố cần tìm. Qua đó 
giáo viên lưu ý học sinh nếu biến cố đề bài xảy ra nhiều trường hợp mà biến cố đối 
ít trường hợp và tính dễ dàng hơn thì ta nên chọn cách tính xác suất biến cố đối rồi 
suy ra xác suất cần tìm.
Lời giải: 
 5
Số cách chọn ngẫu nhiên 5 đội trong 12 đội là: C12 792 
 A là biến cố: “ Mỗi Bộ có ít nhất một đội bảo vệ ”.
 A là biến cố: “ 5 đội được chọn thuộc một Bộ”. Xảy ra 2 trường hợp:
 5
* 5 đội thuộc Bộ Công an có C5 kết quả
 5
* 5 đội thuộc Bộ Quốc phòng có C7 kết quả
 22 1
Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là : C5 C5 22 P(A) 
 5 7 792 36
 1 35
Vậy xác suất của A là : P(A) 1 .
 36 36
* Giáo viên giao tiếp một bài tập sử dụng biến cố đối nhưng ở tình huống khác. 
Ví dụ 12: Một ngân hàng đề thi gồm có 20 câu hỏi, mỗi đề thi gồm có 4 câu được 
lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi. Thí sinh A đã học được 10 câu trong ngân hàng 
đề thi. Tính xác suất thí sinh A rút ngẫu nhiên được 1 đề thi có nhiều nhất 3 câu 
học thuộc.
Lời giải:
 4
Có C20 4845 đề thi.
Số phần tử của không gian mẫu bằng số cách chọn 1 đề thi trong 4845 đề thi . 
 13