Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm dạy Chuyên đề Hình học giải tích phẳng – Phát triển năng lực tư duy học sinh

 Đề tài “Kinh nghiệm dạy chuyên đề Hình học giải tích phẳng – Phát triển năng 
lực tư duy học sinh”. 
 PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 “Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào 
tạo ” đã khẳng định nhiệm vụ của ngành giáo dục là nâng cao dân trí, phổ cập giáo 
dục phổ thông cho toàn dân, song song nhiệm vụ đó cần phải bồi dưỡng nhân tài, 
phát hiện các học sinh có năng khiếu ở trường phổ thông và có kế hoạch đào tạo 
riêng để họ thành những cán bộ khoa học kĩ thuật nòng cốt. 
“Bồi dưỡng nhân tài” nói chung và bồi dưỡng HSG Toán nói riêng là nhiệm vụ tất 
yếu trong công cuộc đổi mới đất nước hiện nay. Đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi 
nhằm phát triển năng lực tư duy học sinh theo định hướng đổi mới của Bộ giáo Dục 
và Đào tạo.
 Ở trường phổ thông, đối với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ 
yếu của hoạt động toán học. Vì vậy dạy giải toán cũng là nhiệm vụ chủ yếu của người 
thầy giáo.
Để giải một bài toán học sinh phải thực hiện 4 bước sau đây:
 - Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
 - Bước 2: Suy nghĩ tìm tòi lời giải của bài toán
 - Bước 3: Trình bày lời giải
 - Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
 Mặc dù 4 nội dung trên luôn gắn kết với nhau( có khi cùng tién hành song song, có 
khi tách thành các quá trình tương đối riêng rẽ) và bài toàn coi như được giải quyết 
khi đã có lời giải. Song việc dạy cho học sinh biết vận dụng các phương pháp tìm 
tòi lời giải bài toán mới chính là cơ sở quan trọng có ý nghĩa quyết định cho việc 
rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh thông qua việc giải toán.
 Nhiều năm qua, trong các kỳ thi tuyển sinh Đại học, hay kỳ thi THPT Quốc gia 
và đặc biệt kỳ thi HSG, bài toán Hình học giải tích phẳng luôn được chú trọng và 
 1 Nhận thức là một trong ba mặt cơ bản của đời sống tâm lý của con người. Nó là tiền 
đề của hai mặt kia và đồng thời có quan hệ chặt chẽ với chúng và với các hiện tượng 
tâm lý khác 
Những phẩm chất của tư duy bao gồm: 
Tính định hướng, bề rộng, độ sâu, tính linh hoạt, tính mềm dẻo, tính độc lập và tính 
khái quát. Để đạt được những phẩm chất tư duy trên, trong quá trình dạy học, chúng 
ta cần chú ý rèn cho học sinh bằng cách nào ?
2.1.1.2. Rèn luyện các thao tác tư duy trong dạy học môn Toán học ở trường 
trung học phổ thông. 
Trong logic học, người ta thường biết có ba phương pháp hình thành những phán 
đoán mới: Quy nạp, suy diễn và loại suy.Ba phương pháp này có quan hệ chặt chẽ với 
những thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng ,khái quát hoá .
 Phân tích : 
"Là quá trình tách các bộ phận của sự vật hoặc hiện tượng tự nhiên của hiện thực với 
các dấu hiệu và thuộc tính của chúng theo một hướng xác định". Như vậy, từ một số yếu 
tố, một vài bộ phận của sự vật hiện tượng tiến đến nhận thức trọn vẹn các sự vật hiện 
tượng. Vì lẽ đó, môn khoa học nào trong trường phổ thông cũng thông qua phân tích của 
cả giáo viên cũng như học sinh để bảo đảm truyền thụ và lĩnh hội.
Tổng hợp :
"Là hoạt động nhận thức phản ánh của tư duy biểu hiện trong việc xác lập tính chất 
thống nhất của các yếu tố trong một sự vật nguyên vẹn có thể có được trong việc xác 
định phương hướng thống nhất và xác định các mối liên hệ, các mối quan hệ giữa các 
yếu tố của sự vật nguyên vẹn đó, liên kết giữa chúng được một sự vật và hiện tượng 
nguyên vẹn mới" Phân tích và tổng hợp là hai quá trình có liên hệ biện chứng. 
So sánh : 
 "Là xác định sự giống nhau và khác nhau giữa các sự vật hiện tượng của hiện 
thực". Trong hoạt động tư duy của học sinh thì so sánh giữ vai trò tích cực quan trọng 
Khái quát hoá : 
 Khái quát hoá là hoạt động tư duy tách những thuộc tính chung và các mối liên 
hệ chung, bản chất của sự vật và hiện tượng tạo nên nhận thức mới dưới hình thức 
khái niệm, định luật, quy tắc.
 3 Đường thẳng: Phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa các đường thẳng, góc 
giữa hai đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng
 Đường tròn: Các dạng phương trình đường tròn, vị trí tương đối giữa các đường 
tròn, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, phương tích của một điểm đối với đường 
tròn...
 Đường elip, đường Parabol, đường Hypebol: Phương trình chính tắc, các bán kính 
qua tiêu của elip và hypebol, đường chuẩn,....
2.3.2. Các bài toán gốc
Bài toán 1. Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau 
Bài toán 2. Tìm điểm đối xứng của một điểm qua một đường thẳng 
Bài toán 3. Kiểm tra tính cùng phía, khác phía với một đường thẳng 
Bài toán 4. Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt 
nhau 
Bài toán 5. Viết phương trình đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc trong 
tam giác 
Bài toán 6. Tìm chân đường phân giác trong, ngoài của góc trong tam giác 
Bài toán 7. Tìm trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác 
2.3.3. Các bài toán cơ bản
Nhận thức là quá trình phản ứng hiện thực khách quan gắn liền với hoạt động thực 
tiễn. VI Lênin đã khái quát quá trình đó như sau: “Từ trực quan sinh động đến tư duy 
trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn – đó là con đường biện chứng của sự 
nhận thức chân lý, của sự nhận thức hiện thực khách quan. Vì vậy để phát triển năng 
lực tư duy học sinh, tạo điểm tựa cho quá trình tư duy, tôi cho các em rèn luyện các 
bài toán cơ bản sau đây một cách thuần thục.
 5 Bài toán 6.4 Viết phương trình đường thẳng d biết phương của đường thẳng và thoả 
mãn điều kiện cho trước 
Bài toán 7. Tìm điểm dựa vào trung tuyến, đường cao, trung trực trong tam giác. 
Bài toán 8. Tìm điểm dựa vào phân giác trong (ngoài) của tam giác
Bài toán 9. Tìm điểm thuộc (E) thoả điều kiện cho trước; Viết phương trình chính tắc 
của (E) 
Bài toán 10. Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cắt nhau tại hai điểm A, B. Viết 
phương trình đường thẳng AB.
2.3.4. Các tính chất cơ bản của hình học phẳng
Chuyên đề hình học phẳng mà các em đã được học ở cấp THCS có nhiều tính chất 
hay và khó, sau khi làm quyen với chuyên đề hình học giải tích thì đa số các em 
quyên mất các tính chất của hình học phẳng, mặt khác chương trình hình học giải tích 
được trình bày khá cơ bản, không đi sâu khai thác các tính chất hay và khó của hình 
học, tuy nhiên trong nhiều năm trở lại đây thì tính chất của hình học được khai thác ở 
mức độ khá khó. Vì vậy khi dạy chuyên đề này tôi yêu cầu các em tìm hiểu thêm các 
tính chất của hình học và cho các em tìm hiểu lại các tính chất sau, bấy nhiêu thôi còn 
là quá ít nhưng dẫu sao cùng với hệ thống ví dụ sẽ tạo cho các em quen với việc phân 
tích tìm tòi các tính chất “đặc thù” của mỗi hình từ đó có phương án giải quyết tốt 
nhất cho mỗi bài toán.
Tính chất 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm. Họi H’ là giao điểm 
của AH với đường tròn (O) ⇒ H' đối xứng với H qua BC.
Tính chất 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm, kẻ đường kính AA’, 
M là trung điểm BC ⇒ AH 2.OM .
 7 Tính chất 11: Cho tam giác ABC, gọi I là trung điểm cạnh BC. Dựng phía bên ngoài 
tam giác ABC các tam giác ABD, ACE vuông cân tại A. Khi đó AI và DE vuông góc 
với nhau.
Tính chất 12: Trong 1 hình thang cân có 2 đường chéo vuông góc, độ dài đường cao 
bằng độ dài đường trung bình. 
Tính chất 13: Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của cạnh AB, BC của hình vuông 
ABCD ⇒ AN ⊥ DM.
Tính chất 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2.AD, M là một điểm trên AB sao 
cho AB = 4.AM ⇒ DM ⊥ AC
Tính chất 15: Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là trung 
điểm của các đoạn thẳng BH, AH ⇒AP ⊥ CQ.
2.3.5. Các ví dụ
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H(2; 1), tâm đường 
tròn ngoại tiếp I(1; 0). Trung điểm của cạnh BC nằm trên đường thẳng d: x – 2y – 1 = 
0. Tìm tọa độ các điểm B và C biết đường tròn ngoại tiếp HBC đi qua điểm E(6; -1) 
và điểm B có hoành độ nhỏ hơn 4.
HD: Dễ thấy I thuộc d nên d là đường thẳng trung trục 
cạnh BC
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC
Do K d K(2 t 1;t) vì KH = KE nên K(5;2) KH 10 
Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HBC là: 
 (x 5)2 (y 2)2 10 
Gọi D là giao điểm của AH với đường tròn ngoại tiếp tam 
giác ABC
 9 Vậy phương trình đường thẳng BC : 3x 4y 17 0 .
Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm 
 11 1 
cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho CN = 2ND. Giả sử M ; và đường 
 2 2 
thẳng AN có phương trình: 2x y 3 0 . Tìm tọa độ điểm A biết tung độ của A 
dương.
 3 5
Ta có: d(M , AN) . Ta sẽ tính diện tích theo hai cách. Đặt AB= 6x, x >0 ta có
 2
 1
 S AD.DN 6x 2
 ADN 2
 1 2 2
 S ABM AB.BM 9x => S AMN S ABCD S ABM SCMN 15x
 2
 1 2
 SCMN CM.CN 6x
 2
 Theo định lý pitago AN AD 2 DN 2 36x 2 4x 2 2 10x
 2S 15x 15x 3 5 1
=> d M ; AN AMN . Do ddos x .
 AN 10 10 2 2
 45
Theo định lý Pitago: AM AB 2 BM 2 
 2
 45 a 1 A(1; 1)(LOAI) _
 A AN A(a;2a 3) . AM 
 2 a 4 A(4;5)
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N 
lần lượt là trung điểm đoạn AB và BC. Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống CM. 
 5
Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết: N( 1; ), H ( 1;0) và điểm D nằm 
 2
trên đường thẳng (d) : y x 4 .
 11 2 2 b 4
 AB 10 b 3 3b 9 10 
 a 2
Với b = 4 thì B(4;8), C(4;-4), loại do góc B· AC tù.
Với b = 2 thì B(2;2), C(6;2) thỏa mãn. 
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông tại A và D có AD 
= AB = CD . Gọi E(2 ; 4) là điểm thuộc đoạn AB thỏa mãn 3AE = AB. Điểm F thuộc 
 2
BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Phương trình đường thẳng EF là: 2x y 8 0 . 
Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang biết D thuộc đường thẳng d: x y và0 A có 
hoành độ nguyên thuộc đường thẳng d ': 3x y 8 0
 CD
HD: Vì AD = AB = DBC vuông tại B P
 2
Gọi P AD  BC
 E B
 A là trung điểm của PD A
 F
 AB là trung trực của DP
 M
 EP = ED = EF D C
 E là tâm đường tròn ngoại tiếp 
 1
tam giác DFP D· FP D· EA D· EP . Mà D· EA D· EB 1800 D· FB D· EB 1800
 2
 Tứ giác DEBF nội tiếp đường tròn
Mặt khác DB  BF DE  EF
Đường thẳng DE qua E(2 ; 4) vuông góc với EF có PT: x – 2y + 6 = 0
 x y 0
 D DE  d Tọa độ D là nghiệm của hệ PT D 2 ; 2 
 x 2y 6 0
 AB AD
Ta có: AE DE 2 AD2 AE2 10AE2
 3 3
Mà: A d ': 3x y 8 0 A a ; 8 3a 
 DE 2 10AE2 20 10 a 2 2 4 3a 2 5a2 14a 9 0
 a 1
 9 A 1; 5 
 a (loai)
 5
   
Ta có: EB 2AE 2 ; 2 B 4; 2 
  
Đường thẳng CD qua D nhận DA 3;3 làm VTPT nên có PT: x + y = 0
  
Đường thẳng BC qua B nhận DB 6;0 làm VTPT nên có PT: x – 4 = 0
 C=BC  DC Tọa độ C(4 ; -4). Vậy: A(1 ; 5), B(4 ; 2), C(4 ; -4), D(-2 ; 2)
 13