Sáng kiến kinh nghiệm Kinh nghiệm chọn hệ trục tọa độ khi giải một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG PT NGUYỄN MỘNG TUÂN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 KINH NGHIỆM CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 
KHI GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 
 BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ HÓA
 Người thực hiện: Trần Lương Hải
 Chức vụ: Giáo viên
 Đơn vị: Trường PT Nguyễn Mộng Tuân
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán 
 THANH HÓA Năm 2016 1. PHẦN MỞ ĐẦU
- Lí do chọn đề tài.
 Trong chương trình Toán học nói chung và trong hình học nói riêng, hình 
học không gian là một trong những nội dung quan trọng, và trong các đề thi tốt 
nghiệp THPT, thi tuyển sinh vào Đại học, cao đẳng trước kia và thi THPT Quốc 
gia hiện nay luôn có một bài toán hình học không gian. Mặc dù trong những năm 
gần đây, mức độ khó của nội dung này đã giảm nhiều so với trước kia nhưng nó 
vẫn là một vấn đề tương đối khó đối với đa số học sinh. Bởi hình học không gian 
yêu cầu người học phải có tư duy trừu tượng và trí tưởng tượng không gian 
phong phú cùng với khả năng vận dụng, kết hợp linh hoạt các định lí của hình 
học không gian vốn đã rất nhiều và khó tưởng tượng. Bên cạnh đó kĩ năng vẽ 
hình không gian cũng là một vấn đề gây khó khăn cho học sinh, đặc biệt là các 
bài phải vẽ thêm đường phụ.
 Trong khi đó một số bài toán hình học không gian, nếu giải theo phương 
pháp tọa độ lại trở nên đơn giản hơn. Tuy nhiên phương pháp này không được đề 
cập nhiều trong chương trình sách giáo khoa THPT nên nhiều em không có kinh 
nghiệm trong việc vận dụng phương pháp tọa độ hóa.
 Để giúp các em có thêm kinh nghiệm trong việc giải bài toán hình học 
không gian bằng phương pháp tọa độ hóa, giúp các em tự tin hơn để bước vào kì 
thi THPT quôc gia, trong phạm vi đề tài này, tôi xin trình bày một kinh nghiệm 
nhỏ trong việc sử dụng phương pháp tọa độ hóa trong giải một số bài toán hình 
học không gian, đó là “ phương pháp chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài 
toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ hóa”
 Với chút kinh nghiệm nhỏ này hi vọng các em sẽ có thêm kinh nghiệm và 
hứng thú trong việc giải một số bài toán hình học không gian trong.
- Mục đích nghiên cứu.
 Nghiên cứu một số cách chọn hệ trục tọa độ trong giải một số bài toán hình học 
không gian bằng phương pháp tọa độ hóa nhằm giúp học sinh có thêm kinh 
nghiệm trong việc giải các bài toán hình học không gian.
- Đối tượng nghiên cứu.
 Một số dạng bài toán hình học không gian có thể giải được bằng phương pháp 
tọa độ hóa.
- Phương pháp nghiên cứu.
 + Nghiên cứu lí thuyết:
 Nghiên cứu các tài liệu về phương pháp tọa độ hóa trong việc giải một số bài 
toán hình học không gian.
 Nghiên cứu một số kinh nghiệm giải bài toán hình học không gian bằng 
phương pháp tọa độ hóa thông qua một số SKKN đã đạt giải cấp tỉnh.
 Nghiên cứu các bài toán hình học không gian trong các đề thi ĐH, CĐ trước 
kia và đề thi THPT Quốc gia những năm gần đay.
 + Nghiên cứu thực nghiệm:
 Điều tra về phương pháp thường dùng trong việc giải các bài toán hình học 
không gian của một số học sinh lớp 12.
 1 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận.
 - Khách thể: Học sinh lớp 12.
 - Đối tượng nghiên cứu: Một số bài toán hình học không gian có thể giải bằng 
phương pháp tọa độ hóa.
 - Phạm vi nghiên cứu: Các bài toán sơ cấp về hình học không gian trong 
chương trình PTTH.
 - Thực hiện đề tài trong thời gian ôn thi tôt nghiệp của học sinh lớp 12 năm học 
2015 – 2016.
 2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
 Trước khi thực hiện đề tài, tôi đã khảo sát chất lượng của học sinh thông qua 
kiểm tra viết sử dụng phương pháp toạ độ trong không gian để giải quyết các bài 
toán hình học không gian. Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: 
 Tìm lời giải bằng phương pháp toạ độ: “Cho hình lập phương ABCD. 
A’B’C’D’ cạnh a . Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD)”. 
 Kết quả:
 - 30% học sinh biết dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ các 
điểm trong bài toán được thuận tiện. 
 - 10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối ưu
 Chất lượng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu
2. 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề:
Phần 1: Nhắc lại các bước trong phương pháp tọa độ hóa.
 Để giải các bài toán hình học nói chung và hình học không gian nói riêng chúng 
ta phải dựa vào các yếu tố, các quan hệ về hình học, đồng phẳng, song song, 
vuông góc, bằng nhau. . . Nếu ta chọn một hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể 
chuyển thể bài toán hình học sang bài toán đại số với những số, những chữ, vectơ 
với phép toán trên nó. Với bài toán đại số này chúng ta có sự định hướng rõ ràng 
hơn và khả năng tìm được lời giải nhanh hơn. Để thực hiện được điều đó, đòi hỏi 
học sinh phải có sự luyện tập, vận dụng các kiến thức và cần nắm được quy trình 
giải toán bằng phương pháp toạ độ thích hợp. 
 Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ.
 - Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp
 - Suy ra tọa độ của các điểm có liên quan.
 Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ.
 Bước 3: Dùng các kiến thức về toạ độ để giải toán.
 Bước 4: Phiên dịch kết quả bài toán từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình 
học.
 Trong các bước trên, bước 2 và bước 4 học sinh có thể hoàn toàn làm được 
nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bước 3 
học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để giải các 
bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phương pháp cụ thể. 
Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết dựa vào một số 
 3 A’D’. 
c) Mặt phẳng (P) qua BB’ và hợp với hai đường thẳng BC’, B’D hai góc bằng 
nhau. Tính sin các góc này. 
Hướng dẫn 
Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B Ax, D Ay và A Az , khi đó:
A 0;0;0 ;B a;0;0 ;C a;a;0 ;
 z
D 0;a;0 ; A 0;0;a ;B a;0;a ;
 A' D'
C a;a;a ;D 0;a;a .
   
a) Ta có A B a;0; a & AC a;a;a B' C' K
Gọi là góc tạo bở A’B và AC’ ta có:
   
 A B.AC A D
cos   0 . y
 A'B . AC ' 2
Gọi d là khoảng cách giữa A’B và AC’. ta có: B
 1    C
 A'B, A'C .AA' a x
 d   . 
 1 6
 A'B, A'C 
 a  a  
b) Ta có: K 0;a; ,KC a;0; & A'D 0;a; a .
 2 2 
   
 KC.A'D 1
 Gọi  là góc tạo bởi CK và A’D, ta có: cos    . 
 KC . A'D 10
 Gọi d là khoảng cách giữa CK và A’D, ta có:
 2    
 KC, A'D ,KD a
 d   
 2 3
 KC, A'D 
c) Ta có BB’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABB’A’) và (BCC’B’) nên:
 y 0 x a 0
 BB' : BB' : 
 x a y 0
 Mặt phẳng (P) qua BB’ có dạng: 
 P : x a my 0 P : x my a 0 vtpt n 1;m;0 
   
 Vì (P) hợp với BC’, B’D (có vtcp là u1 0;1;1 vàu2 1; 1;1 ) hai góc bằng nhau 
( giả sử là  ) nên:
 m 1 m
 sin 3 m 2 1 m
 2 m2 1 3 m2 1 . 
 m2 4m 2 0 m 2 6
 5     
 DM NB' DM và NB' cùng phương B’, M, D, N, cùng thuộc một mặt 
phẳng.   
b) Theo câu (a), DM NB' tứ giác B’DMN là hình bình hành.
 2 2 2
 a a 3 b 4a2 b2
 Ta có DM 
 2 2 2 2
 2 2 2
 a a 3 b a a 3 b 4a2 b2
MB' ; ; MB' 
 2 2 2 2 2 2 2
 DM = MB’ B’MND là hình thoi.
Để hình thoi B’MND là hình vuông thì DM  MB’ 
   a a a 3 a 3 b b
 DM.MB' 0 . . . 0
 2 2 2 2 2 2
 a2 3a2 b2 2a2 b2
 0 2a2 b2 b a 2
 4 4 4 4 4
Vậy để B’MND là hình vuông thì Â’ = a 2 
Dang 3. Hình chóp tứ giác đều.
 Cho hình chóp đều có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a và đường cao bằng h.
 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O(0; 0 ; 0) trùng với giao điểm của 
hai đường chéo của hình vuông ABCD. z
- Trục Oz chứa đường cao SO của hình chóp 
- Trục Ox, Oy lần lượt chứa hai đường chéo S
của đáy. 
Khi đó, nếu hình biểu diễn như hình bên thì: D
 a 2 a 2
A( - ; 0; 0), B(0; - ; 0), 
 2 2
 a 2 a 2 A C y
C( ; 0; 0), D(0; ; 0) và S( 0; 0’ h) O
 2 2
Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD B
có cạnh đáy bằng a 2 , đường cao x
SH = 2a. M là điểm bất kì thuộc đoạn AH. 
Một mặt phẳng ( ) qua M, song song với AD và SH đồng thời cắt AB, CD, SD, 
SA lần lượt tại I, J, K, L.
a) Xác định vị trí điểm M để thiết diện IJKL là tứ giác ngoại tiếp được.
b) Xác định vị trí điểm M để thể tích khối đa diện DJKLH Đạt giá trị lớn nhất.
c) Gọi N là giao điểm của BD với pm( ); E là giao điểm của MK với NL. Gọi P, 
Q lần lượt là trung điểm của AD và BC. Xác định vị trí điểm M để P· EQ = 900.
Hướng dẫn
Ta có H = AC  BD và AH = a.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H  O, trục Ox chứa A, trục Oy chứa D, trục Oz 
chứa S. Khi đó:
 7 a
 a m 2a 2m 0 m 
 3
 · 0 a 
Vậy để PEQ 90 thì M ;0;0 
 3 
Dạng 4. Hình chóp tứ giác là hình chữ nhật hoặc hình vuông và một cạnh bên 
vuông góc với đáy.
Giả sử AB = a, AD = b và chiều cao SA = h. z
 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ h S
O trùng với A, trục Ox chứa cạnh AB, trục 
Oy chứa cạnh AD, trục Oz chứa cạnh AS
 ( Như hình vẽ). Khi đó: A(0; 0; 0); B(a; 0; 0); 
C(a;b; 0); D(0;b; 0); S( 0; 0; h).
 A D
 b y
 B
 a C
 x
Ví dụ. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = a và vuông góc 
với mặt phẳng đáy. Gọi E là trung điểm của CD.
a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBE).
b) Mặt phẳng (SBE) chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần.
Hướng dẫn giải
Trong không gian, chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
A  O, AB  Ox, AS  Oy, AD  Oz
Khi đó ta có: B(a ;0 ;0) , S(0 ;a ;0) , D(0 ;0 ;a) ,C(a ;0 ;a)
 a
a) Ta có E là trung điểm của CD E( ;0;a)
 2
   a   a2 
 2 2
 SB (a; a;0); SE ( ; a;a) SB, SE a ; a ; 
 2 2 
  2   
 SB, SE 
 Chọn n 2;2;1 = 2 làm vecơ pháp tuyến của mp (SBE)
 a 
Phương trình mặt phẳng (SBE) qua B(a;0;0) và nhận n 2;2;1 làm véctơ pháp 
tuyến: (SBE) : 2 x a 2y z 0 2x 2y z 2a 0
Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBE) là:
 2a a 2a a
 d C;(SBE) 
 22 22 1 3
   a2  
 2 2
b) SB, SE a ; a ; ; SC a ; a ;a ; 
 2 
 9