Sáng kiến kinh nghiệm Khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp – Xác suất cho học sinh Trung học phổ thông

 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Trong chương trình Toán ở THPT, chủ đề Tổ hợp – xác suất là một chủ đề mới 
được đưa vào trong những năm gần đây, trong đó xuất hiện nhiều thuật ngữ, ký 
hiệu, khái niệm mới. Vì thế đa số GV chưa có nhiều kinh nghiệm giảng dạy nội 
dung này. Đồng thời chưa có nhiều công trình nghiên cứu về những khó khăn và 
sai lầm mà học sinh THPT thường gặp. Thực tế cho thấy, đây là một chủ đề khó 
đối với HS và những bài toán thuộc chủ đề này cũng là những bài toán khó. Ngoài 
ra, GV chưa chú ý một cách đúng mức đến việc phát hiện, uốn nắn và sửa chữa sai 
lầm cho HS ngay trong giờ học Toán. Từ những lý do trên, tôi chọn nghiên cứu đề 
tài “Khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp trong giải toán Tổ hợp – Xác 
suất cho học sinh Trung học phổ thông" đã được vận dụng trong thực tế giảng 
dạy những năm qua và đem lại niềm yêu thích học tập bộ môn Toán cho học sinh. 
1.2. Mục đích nghiên cứu: 
 Nghiên cứu một số khó khăn, sai lầm thường gặp ở học sinh THPT trong giải 
toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất và đề xuất một số biện pháp khắc phục góp phần 
nâng cao chất lượng, hiệu quả dạy học chủ đề Tổ hợp – Xác suất, đặc biệt đối với 
những học sinh yếu kém.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
 Trong khuôn khổ đề tài này tôi chỉ chọn nghiên cứu những khó khăn, sai lầm 
thường gặp ở học sinh THPT trong giải toán chủ đề Tổ hợp – Xác suất và biện 
pháp khắc phục.
 1.4. Phương pháp nghiên cứu
 1.4.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu về các vấn 
đề liên quan đến đề tài.
 1.4.2 Phương pháp điều tra – quan sát: Quan sát, thăm dò thực trạng và điều tra 
theo các hình thức: Trực tiếp giảng dạy, dự giờ, phỏng vấn và các biện pháp khác.
 1.4.3 Phương pháp thống kê toán học: Xử lí số liệu thu được sau quá trình 
giảng dạy.
 - Làm sáng tỏ một số khó khăn và sai lầm thường gặp ở HS trong giải toán Tổ 
hợp – Xác suất. Đồng thời phân tích được những nguyên nhân dẫn đến những sai 
lầm đó và đề ra biện pháp khắc phục.
 1 2. NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lý luận
 Gần đây, vấn đề đổi mới phương pháp dạy học nói chung đang được bàn đến 
trên nhiều diễn đàn khác nhau. Người ta đã đề xuất, thử nghiệm nhiều phương pháp 
dạy học để nâng cao hiệu quả giờ dạy Toán. Nhìn chung, mối quan tâm của các nhà 
giáo dục đồng thời cũng là mối quan tâm của người thầy dạy Toán là làm thế nào 
để phát huy được tính chủ động sáng tạo của học sinh, gợi được niềm say mê học 
Toán của các em học sinh trong nhà trường hiện nay?! Đối tượng học sinh Trung 
học phổ thông của chúng ta có đặc điểm tâm sinh lý lứa tuổi là thích tìm hiểu, sáng 
tạo. Do đó, người thầy phải đóng vai trò là người dẫn đường tài ba để các em khám 
phá, sáng tạo. Bên cạnh đó, một trong những mục đích lớn nhất của giờ dạy và học 
Toán là làm sao tạo được sự hứng thú cho học sinh để giờ học Toán được nhẹ 
nhàng, thoải mái, sinh động chứ không cứng nhắc, không gượng ép đối với học 
sinh. Làm được những điều đó là người thầy đã đi đúng định hướng mà điều 24 
Luật giáo dục do Quốc hội khóa X thông qua đã chỉ rõ: “phương pháp giáo dục 
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; phù 
hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện 
kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm,đem lại niềm vui, 
hứng thú học tập cho học sinh".
 "Thống kê toán và Lý thuyết xác suất, chúng xâm nhập vào hầu hêt các ngành 
khoa học tự nhiên và xã hội, các ngành kỳ thuật, vào quản lí kinh tế và tổ chức nền 
sản xuất, chúng có mặt trong công việc của mọi lớp người lao động : kĩ sư, bác sĩ, 
GV, công nhân, nông dân," [8]. V.I. Lenin đã đánh giá cao giá trị của thống kê: 
"Thống kê kinh tế - xã hội là một trong những vũ khí hùng mạnh nhất để nhận thức 
xã hội".
 Theo Nguyễn Bá Kim [11] thì "Thống kê Toán và Lí thuyết xác suất lại có 
nhiều khả năng trong việc góp phần giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh” 
và “.một số tri thức cơ bản của Thống kê toán và Lí thuyết xác suất phải thuộc vào 
học vấn phổ thông..." 
2.2. Thực trạng của vấn đề
2.2.1 Thuận lợi, khó khăn
2.2.1.1 Thuận lợi
 - Đối với GV : Có nhận thức đúng đắn về tầm quan trọng của nội dung Tổ hợp - 
Xác suất trong chương trình Toán THPT. Kiến thức của nội dung này được trình 
bày trong SGK đảm bảo tính logic,...
 3 HS vẫn hay nhầm giữa kí hiệu với khái niệm được định nghĩa. Theo Nguyễn Bá 
Kim: “Trong Toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu 
diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái 
biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến 
đổi chúng, thì đó là phương diện cú pháp. Nếu xem xét những cái được kí hiệu, 
những cái được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái kí hiệu, 
những cái biễu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa” [10].
 Ví dụ 1.2: Do sự lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và kí hiệu dùng để chỉ 
 k
số đối tượng ấy nên HS thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là Cn ”, hoặc “Chỉnh 
 k
hợp chập k của n là An ”, trong khi đó nói đúng phải là “ Số Tổ hợp chập k của n 
 k k
là Cn ”, hoặc “Số Chỉnh hợp chập k của n là An ”.
2.3.1.3 Khó khăn trong việc nhận thức các suy luận có lý trong sự phân biệt với 
suy luận diễn dịch
 Trong mối liên hệ logic của Toán học ứng dụng, khi học Lí thuyết xác suất HS 
buộc phải làm việc với cả suy luận diễn dịch lẫn suy luận hợp lí; thêm vào đó cũng 
tại thời điểm này, các em đã và đang phải rèn luyện sử dụng các suy luận diễn dịch. 
Do đó làm thế nào để HS nhận thức được các suy luận hợp lí trong sự phân biệt với 
các suy luận diễn dịch? Đồng thời làm thế nào để giúp các em sử dụng kết hợp hai 
suy luận này trong quá trình học Xác suất?
 Ví dụ 1.3: Chính vì chưa nắm được sự suy luận hợp lí trong suy luận diễn 
dịch nên có HS giải thích như sau: Khi biết rằng “Xác suất để bạn H bắn trúng bia 
(khi bạn đó bắn vào bia một viên đạn) bằng 0,8” có nghĩa là cứ 10 lần cho bạn H 
bắn vào bia một viên đạn trong những điều kiện cơ bản không đổi của trường bắn 
thì có đúng 8 lần bạn H bắn trúng bia.
 Cách giải thích trên là hoàn toàn sai, để khắc phục sự những khó khăn đó tôi 
sẽ giải quyết ở phần sau của đề tài.
2.3.1.4. Khó khăn do khả năng dự đoán và liên tưởng
 Thực tế dạy học hiện nay cho thấy rằng, không ít các GV đã tiến hành giảng 
dạy mà không đặt ra những tình huống để HS dự đoán lí, do là nếu để cho HS dự 
đoán sẽ tốn nhiều thời gian. Thực ra, cho HS dự đoán, tự tìm tòi, mò mẫm khám 
phá tri thức có thể mất nhiều thời gian nhưng sẽ rất có ích cho việc phát triển tư 
 5 k
thấy được (2) một cách trực giác và chứng minh (2) bằng định nghĩa của Cn , HS 
không hiểu bản chất là, một tập X (gồm n phần tử) có bao nhiêu tập con gồm k (
 k n ) phần tử thì cũng sẽ có bấy nhiêu tập con gồm n k phần tử.
 * Lẫn lộn giữa đối tượng được định nghĩa và đối tượng dùng để chỉ đối tượng 
ấy. Theo A. A. Stôliar, không ít HS còn yếu trong việc nắm cú pháp của ngôn ngữ 
 k
Toán học. VD như HS thường hay nói “Tổ hợp chập k của n là Cn ”,... 
2.3.2.4. Sai lầm liên quan đến suy luận, phân chia bài toán thành các trường 
hợp riêng.
 HS thường gặp những khó khăn và sai lầm khi giải những bài toán có liên quan 
đến việc phân chia trường hợp. Nhìn từ góc độ tổng quát thì việc phân chia trường 
hợp trong quá trình giải Toán vô cùng phong phú và đa dạng, nó không theo một 
khuôn mẫu cố định nào. Do đó, khi thực hiện HS gặp rất nhiều khó khăn, mắc phải 
rất nhiều sai lầm, thậm chí không tìm ra được cơ sở để phân chia trường hợp. 
2.3.2.5. Sai lầm khi thực hiện các phép biến đổi tương đương
 HS thường mắc phải sai lầm khi thực hiện chuyển đổi bài toán bằng các phép 
biến đổi tương đương.
 7
 Ví dụ 1.7: Giải phương trình: C1 C 2 C3 x
 x x x 2
 Lời giải sai: Ta có phương trình tương đương với
 x(x 1) x(x 1)(x 1) 7
 x x 
 2! 3! 2
 6x 3x(x 1) x(x 1)(x 2) 21x
 x3 16x 0 x(x2 16) 0 x 4; x 4; x 0 . Vậy phương trình có 3 nghiệm.
 Sai lầm: Lời giải trên còn thiếu điều kiện x N và x 3 nên phương trình trên 
chỉ có 1 nghiệm là x = 4.
2.3.2.6. Sai lầm liên quan đến trực giác
 Trực giác là năng lực nhận thức được chân lí bằng cách xét đoán trực tiếp 
không có sự biện giải bằng chứng minh. Trực giác toán học được hiểu với nhiều ý 
nghĩa khác nhau và trên thực tế tồn tại nhiều dạng khác nhau. 
2.4. Một số biện pháp khắc phục khó khăn và sai lầm thường gặp 
 7 cơ bản và thật sự cơ bản giảng cho hiểu sau đó nâng nó lên và dần đến tổng quát 
hoá và cố gắng chọn bài nào cho có nhiều mối liên hệ với nhiều bài khác để các em 
cùng xây dựng. Trong chừng mực nào đó phương pháp nói sao cho truyền cảm 
đúng chỗ; nhấn mạnh đúng lúc; chỉ cho các em chỗ hay, chỗ thiếu tự nhiên trong 
giải bài toán trên; nó sai ở đâu và vì đâu mà sai? Thường xuyên tìm hiểu rộng cách 
giải của HS và khai thác chúng; nếu thấy nó khá hiệu quả nên khen với tình cảm 
thân mật. VD: Các em xem lại cách giải của bạn thấy thế nào? bạn đã khai thác ra 
sao? Các em có hứng thú với cách giải đó không?. . . Cuối cùng là khích lệ HS. 
Làm như thế chúng ta đã phát huy được tính tích cực hoạt động học tập của HS.
 Ví dụ 1.8: Sau khi đã biết khi gieo một con xúc xắc đối xứng một lần thì xác 
suất xuất hiện của mỗi mặt là 1 . Yêu cầu HS làm bài tập sau: 
 6
 Tính xác suất để khi gieo con xúc xắc 6 lần độc lập không có lần nào xuất 
hiện mặt có số chấm chẵn.
 Để giải bài này, GV hướng dẫn HS bằng những câu hỏi:
 Hãy tính xác suất để khi gieo con xúc xác một lần không xuất hiện mặt có số 
 3 1
chấm chẵn? ( bằng )
 6 2
 Yêu cầu của bài là gieo 6 lần độc lập, hãy liên tưởng đến quy tắc nhân xác 
 6
 1 
suất? Từ đó HS sẽ tính được xác suất là P 
 2 
 Yêu cầu cao hơn với bài toán: 
 Gieo đồng thời hai con xúc xắc 24 lần độc lập. Tính xác suất để ít nhất có 
một lần cả hai con đều ra “lục”.
 Trước hết ta xét khi gieo đồng thời hai con xúc xắc 1 lần:
 Tính số phần tử của không gian mẫu? ( bằng 72 = 36)
 2
 Xác suất để khi gieo đồng thời hai con xúc xắc 1 lần mà không có con nào ra 
“lục” là 35
 36
 Gọi A là biến cố: “ít nhất một lần cả hai con đều ra “lục””, khi gieo đồng 
thời hai con xúc xắc 24 lần
 Khi đó yêu cầu HS phân tích các trường hợp xảy ra của bến cố A và nhận 
xét, HS sẽ thấy rằng nếu tính trực tiếp xác suất của biến cố A thì rất phức tạp, 
 9 Chú ý: A và B độc lập thì A & B ; A & B ; A & B cũng độc lập và A và B độc lập 
 P A B P A P B .
 * Hướng dẫn học sinh kỹ năng giải bài toán Tổ hợp – xác suất theo quy 
trình của G. Polya:
 G. Polya đã từng viết: “Tìm được cách giải một bài toán là một điều phát 
minh”. Quy trình 4 bước của G. Polya như sau: [33]
 - Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán.
 - Bước 2: Xây dựng chương trình giải cho bài toán.
 - Bước 3: Thực hiện chương trình giải đã xây dựng ở bước 2.
 - Bước 4: Nghiên cứu sâu về lời giải. 
 Đối với quy trình này, khi áp dụng vào mỗi dạng toán cụ thể sẽ góp phần tập 
cho HS xây dựng được một phương pháp chung để giải bài toán đó. Bản chất của 
việc này là làm cho HS chủ động tiếp thu, dễ hiểu, dễ nhớ kiến thức.
2.4.2.4. Biện pháp 4: Quan tâm phát triển khả năng trực giác xác suất cho học 
sinh
 - Giai đoạn trước khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề hay 
giải một bài toán: GV hướng dẫn HS phân tích, đánh giá tình huống xác suất cụ thể 
và các khái niệm, mệnh đề bằng các phương pháp trực quan trước khi định nghĩa 
khái niệm, chứng minh mệnh đề đó.
 - Giai đoạn trong quá trình định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh 
đề, giải một bài toán: Trong giai đoạn này GV giúp HS củng cố mối liên hệ giữa 
nội dung của cách giải quyết vấn đề với những điều mà các em đã thấy trước bằng 
trực giác để xác nhận.
 - Giai đoạn sau khi định nghĩa một khái niệm, chứng minh một mệnh đề, giải 
một bài toán: GV hướng dẫn HS cách phân tích, đánh giá kết quả vừa thu được; 
liên hệ với các tình huống thực tế khác nhau.
 - Giai đoạn trước khi chứng minh: Trước khi thực hiện chứng minh cần cho HS 
tập phân tích và đánh giá các tình huống được bao hàm trong tính chất cần chứng 
minh. 
 - Giai đoạn chứng minh: Từ những điều trên HS có thể phác hoạ được các bước 
chứng minh và từ đó “thấy trực tiếp” đường lối chứng minh. Do đó trực giác xác 
suất của HS được hình thành.
 11