Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn ôn tập phương pháp tọa độ trong không gian cho học sinh trường THPT Thạch Thành 4 thi THPT Quốc gia

 MỤC LỤC
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN ĐỀ TÀI
HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG 
KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH 
 THÀNH 4 THI THPT QUỐC GIA
 Người thực hiện: Lê Kim Hoa
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HOÁ NĂM 2017
 1 1.MỞ ĐẦU
 1.1 Lý do chọn đề tài
 Phần Tọa độ trong không gian là phần cuối cùng trong SGK Hình học 12 và là một 
phần luôn có mặt trong đề thi THPT Quốc gia, chiếm 14% số điểm trong bài thi. Tuy 
không phải là phần kiến thức khó nhằn với học sinh, nhưng với hình thức thi đổi mới 
theo hướng trắc nghiệm, học sinh không tránh khỏi lúng túng, phân chia thời gian 
không hợp lý dẫn tới việc không đủ thời gian để giải xong đề. Đánh mất điểm ở nhiều 
câu không khó. 
 Thêm nữa là tâm lý sợ Hình học khó, ngại học hình, mất căn bản hình học từ cấp 
dưới nên chỉ ôn tập qua loa và bỏ qua hoặc chỉ “ khoanh mò” nhiều câu Hệ tọa độ 
trong không gian trong đề thi trắc nghiệm. Trong khi phần kiến thức Tọa độ trong 
không gian tuy nhiều công thức, dạng bài tập phong phú nhưng các bài tập của phần 
này thường được hỏi rất trọng tâm “không mang tính đánh đố học sinh” học sinh chỉ 
cần nắm vững kiến thức cơ bản, được hệ thống hóa lại các dạng bài tập là làm tốt.
 Cái khó là thời điểm cuối năm học, thời gian ôn tập hạn chế thời điểm các em học 
hành chểnh mảng nhất. Học sinh trường THPT Thạch Thành 4 đa phần là con em 
đồng bào dân tộc Mường, gia cảnh khó khăn, nhà xa đường xấu ảnh hưởng lớn tới việc 
theo học. Nhiều em là lao động chính trong gia đình, ngày nghỉ đi làm thuê kiếm thêm 
thu nhập để trang trải cho gia đình và cho việc học của bản thân. Nên các em hầu hết 
các em không có thời gian tự học, tự kiểm tra đánh giá. 
 Quỹ thời gian ôn tập hạn hẹp, mà sức học của các em đa phần là trung bình, yếu rồi 
kém, nhiều em chưa giải nổi bài tập SGK, dẫn tới tâm lý ngại học, không hiểu bài nên 
chán học, hay khi làm bài thi các em không làm được rồi chỉ khoanh bừa đáp án nhiều 
câu trong đề thi mà phần nhiều là những câu Tọa độ trong không gian. 
 Năm nay cũng là năm đầu tiên môn Toán chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm 
nên ngay cả các đồng nghiệp giáo viên trường chúng tôi cũng chưa đưa ra được biện 
pháp học tốt nhất.
 Đó là những lý do khiến tôi trăn trở tìm hiểu nguyên nhân vì sao học sinh lại sợ Toán 
lại yếu Toán cụ thể là Tọa độ trong không gian, rồi tìm biện pháp ôn tập sao cho phù 
hợp nhất với học sinh của mình, để các em có thể làm được những bài tọa độ không 
gian cơ bản nhất, dần dần chinh phục Tọa độ không gian trong các đề thi đạt kết quả 
tốt nhất trong kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.
 Sau nhiều thời gian tìm hiểu, tham khảo rút kinh nghiệm tôi xây dựng biện 
pháp: “HƯỚNG DẪN ÔN TẬP PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 
CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 4 THI THPT QUỐC GIA” thu 
được kết quả là sự tiến bộ rõ rệt của học sinh, nên tôi xin được trình bày mong các thầy cô 
đồng nghiệp chỉnh sửa góp ý để đạt kết quả tốt nhất, và cũng để các đồng nghiệp có nhu 
cầu tham khảo thêm.
1.2 Mục đích nghiên cứu
 Hệ trục tọa độ trong không gian là gắn tọa độ vào hình học, giải quyết nhanh 
gọn nhiều bài tập Hình học không gian.
 3 Các kỹ năng giả toán Hình học ở mức độ trung bình.
 2.2 Thực trạng vấn đề
 Qua thực tế giảng dạy, ban đầu tôi cho các em viết tất cả các công thức của phần này 
vào mảnh giấy, làm bài tập cần công thức nào thì tìm ngay được. Dần dần sẽ nhớ thế 
nhưng nhiều học sinh yếu kém vẫn lúng túng không biết sử dụng công thức nào, thay 
số thế nào thì làm sao mà nhanh mà chính xác được. Thế là nhiều em nhắm mắt 
khoanh bừa một đáp án và chờ may mắn. 
 Khảo sát kết quả học tập của học sinh thông qua bài kiểm tra trắc nghiệm theo phân 
phối chương trình của chương Phương pháp tọa độ trong không gian tôi nhận được thực 
trạng sau: 
Lớp Điểm 8 trở lên Điểm từ 5 đến 7 Điểm dưới 5
12B3( 36 HS) 2 HS ( 6%) 10 HS (28%) 21 HS (58 %)
12B4( 39 HS) 2 HS ( 5%) 11 HS ( 28%) 26 HS ( 67%)
 Vậy là có hơn 50% không đạt điểm trung bình. Tôi nhận thấy vấn đề này là do các 
em không được làm quen với kiểu bài trắc nghiệm môn Toán, không được luyện làm 
bài tập trắc nghiệm nhiều, yếu kiến thức, thiếu kỹ năng làm bài dạng trắc nghiệm.
 2.3 Các giải pháp
 Dù tâm huyết, nhưng thời gian còn hạn chế, tôi chỉ đưa ra những bài tập cơ bản, đơn 
giản của phần này, những bài tập phức tạp hơn học sinh cần rèn luyện nhiều bài tập để có 
tư duy kiến thức tổng hợp mới giải quyết được.
 Trước hết tôi nhắc lại các công thức cần nhớ trong bài cho học sinh,sau đó bài tập trắc 
nghiệm được tôi phân thành các dạng cho học sinh ôn tập như sau:
- Bài tập trắc nghiệm về các phép toán vec tơ trong không gian.
- Bài tập trắc nghiệm về viết phương trình mặt cầu
- Bài tập trắc nghiệm về viết phương trình mặt phẳng, vị trí tương đối của hai mặt 
phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai mặt 
phẳng song song, các bài tập liên quan giữa mặt phẳng và mặt cầu.
- Bài tập trắc nghiệm về viết phương trình đường thẳng, vị trí tương đối giữa hai 
đường thẳng, vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng.
 5 Đây là những công thức đầu tiên, tôi chọn những bài tập ở dạng trắc nghiệm đơn 
giản quen thuộc với phần kiến thức đã học ở lớp 10, tạo cảm giác dễ hiểu dễ làm cho 
các em. 
Ví dụ 1 Trong không gian Oxyz, cho 3 vecto a 2;1;0 ; b 1;3; 2 ; c 2;4;3 . Tọa 
độ của u 2a 3b c là
A.(-3 ;7 ;9) B. (5 ;3 ;-9) C.(-3 ;-7 ;-9) D.(3 ;7 ;9)
Hướng dẫn:
 ―2 = (4; ― 2;0), 3 = (3;9; ― 6), ― = ( ― 2; ― 4; ― 3)
 = ―2 +3 ― = (5;3; ― 9). Đáp án B.
Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3; -4; 0), B(-1; 1; 3), C(3; 1; 0). Tọa 
độ điểm D trên trục Ox sao cho AD = BC là:
A. D(-2;0;0) hoặc D(-4;0;0). B. D(0;0;-3) hoặc D(0;0;3).
C. D(6;0;0) hoặc D(12;0;0). D. D(0;0;0) hoặc D(6;0;0)
Hướng dẫn:
Gọi D(x;0;0) ∈ Ox, AD= ( ― 3)2 + 16 , BC=5
AD=BC ↔ ( ― 3)2 + 16=5. Suy ra: x=6, x=0. D(6;0;0), D(0;0;0). Đáp án D
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;-1;1), B(5;5;4) và C(3;2;-1). Tọa độ 
tâm G của tam giác ABC là
 10 4 10 4 1 4 10 1 4 
 ; ;2 ;2; ; ; ;2; 
A. 3 3 B. 3 3 C. 3 3 3 D. 3 3 
Hướng dẫn: 
 x x x y y y z z z 
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: G A B C ; A B C ; A B C 
 3 3 3 .
Chọn đáp án B.
Ví dụ4 : Trong không  gian Oxyz, cho 2 điểm B(1;2;-3) và C(7;4;-2). Nếu E là điểm 
thỏa mãn đẳng thức CE 2EB thì tọa độ điểm E là 
 8 8 8 8 8 1 
 A. 3; ; B. ;3; C. 3;3; D. 1;2; 
 3 3 3 3 3 3 
Hướng dẫn: dùng công thức tính tọa độ vec tơ và tính chất hai vec tơ bằng nhau.
Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có A(1;0;1), B(2;1;2); D(1;-1;1) và C’(4;5;5). 
Tọa độ của C và A’ là: 
 A. C(2 ;0 ;2) ; A’(3 ;5 ;-6) B. C(2 ;5;-7) ; A’(3;4;-6)
 C. C(4 ;6 ;-5) ; A’(3 ;5 ;-6) D. C(2 ;0 ;2) ; A’(3 ;4 ;-6)
Hướng dẫn: cho các em vẽ hình Gắn hệ trục tọa độ vào hình hộp
Ví dụ 6 Trong không gian Oxyz cho hai điểm M(0;3;7) và I(12;5;0). Tìm tọa độ N 
sao cho I là trung điểm của MN.
A. N(2;5;-5).B. N(0;1;-1). C. N(1;2;-5).D. N(24;7;-
Hướng dẫn: sử dụng công thức tìm tọa độ trung điểm.
 7 Sai lầm2: nhớ nhầm công thức pt mặt cầu: ( + )2 + ( + )2 + ( + )2 = 푅2 .Chọn B
Sai lầm 3: nhớ nhầm công thức pt mặt cầu: ( ― )2 + ( ― )2 + ( ― )2 = 푅. Chọn C.
Cách khắc phục sai lầm. cho học sinh luyện các bài tập tương tự, giáo viên kiểm tra 
lại vào buổi kế tiếp để ghi nhớ
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm 
(1;2; ― 3) và đi qua A(1;0;4), có phương trình là:
A. ( + 1)2 + ( + 2)2 + ( ― 3)2 = 53. C. ( ― 1)2 + ( ― 2)2 + ( + 3)2 = 53.
B. ( + 1)2 + ( + 2)2 + ( ― 3)2 = 53. D. ( ― 1)2 + ( ― 2)2 + ( + 3)2 = 53.
Hướng dẫn: Bán kính : 푅 = = (1 ― 1)2 + (0 ― 2)2 + (4 ― ( ― 3))2 = 53.
Áp dụng công thức phương trình mặt cầu: ( ― )2 + ( ― )2 + ( ― )2 = 푅2
Suy ra pt mặt cầu (S): ( ― 1)2 + ( ― 2)2 + ( + 3)2 = 53. Đáp án :D.
Nguyên nhân sai lầm thường gặp.
Sai lầm 1: nhầm pt mặt cầu thành: ( + )2 + ( + )2 + ( + )2 = 푅 Chọn A
Sai lầm 2: nhầm pt mặt cầu thành: ( ― )2 + ( ― )2 + ( ― )2 = 푅 Chọn B
Sai lầm 3: nhầm pt mặt cầu thành: ( + )2 + ( + )2 + ( + )2 = 푅2 Chọn đáp án C
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu(S) có phương trình: 2 +
 2 + 2 ―4 + 2 ― 6 + 5 = 0. Hãy xác định tâm, bán kính của mặt cầu (S):
 A. ( ―2;1; ― 3), 푅 = 3. B. ( ―2;1; ― 3), 푅 = 9.
 . (2; ― 1;3), 푅 = 3. D. (2; ― 1;3), 푅 = 9.
Hướng dẫn: Pt 2 + 2 + 2 + 2 +2 + 2 + = 0, có tâm ( ― , ― , ― ), bán 
kính 푅 = 2 + 2 + 2 ― .
Pt: 2 + 2 + 2 ―4 + 2 ― 6 + 5 = 0, có:
 ℎệ 푠ố ủ 4 ℎệ 푠ố ủ 2 ℎệ 푠ố ủ 6
 , , 
 = 2 = 2 = ―2 = 2 = 2 = 1 = 2 = 2 = ―3
Suy ra (2; ― 1;3), 푅 = 22 + ( ― 1)2 + 32 ― 5 = 3. Đáp án C
 Phân tích nguyên nhân sai lầm.
Sai lầm 1: nhớ nhầm Phương trình 2 + 2 + 2 +2 + 2 + 2 + = 0,
 9 BÀI 3: MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
1 Phương trình mặt phẳng 
1. Vectơ pháp tuyến của mp : n khác 0 là véctơ pháp tuyến của MP ( ) n  ( )
2. Cặp véctơ chỉ phương của mp( ) : 
 a không cùng phương, a b là cặp vtcp của ( ),a cób giá song song với ( ) hoặc nằm 
trong ( )
 3. Quan hệ giữa vtpt 푛 và cặp vtcp ,: 푛=⌊ ; ⌋
 4. Pt mp( ) qua M(xo ; yo ; zo) 
 A(x – xo) + B(y – yo ) + C(z – zo ) = 0
 có vtpt n (A;B;C)
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng cần: 1 điểm thuộc mp và 1 véctơ pháp 
tuyến
 *) Các bước viết phương trình tổng quát của mặt phẳng:
 B1: Tìm toạ độ vectơ pháp tuyến n (A; B;C) ( là vectơ vuông góc với mặt 
 phẳng)
 B2: Tìm toạ độ điểm M0(x0; y0; z0) thuộc mặt phẳng
 B3: Thế vàp pt: A(x –x0) + B(y-y0) +C(z-z0) = 0, khai triển đưa pt về dạng: Ax 
 + By +Cz + D = 0
 *) Chú ý:
 ❖ Cho mp (P) :Ax + By +Cz + D = 0
 a. VTPT của (P) n (A; B;C)
 b. Nếu điểm M(x1; y1; z1) (P) thì Ax1+By1+Cz1+D=0
 ❖ Trong trường hợp chưa tìm được vectơ pháp tuyến thì tìm hai vectơ 
 không cùng phương a;b có giá song song hoặc nằm trong mp . Khi đó VTPT 
 của mp là: n a;b 
5. Các trường hợp đặc biệt:
- Phương trình mp tọa độ: mp(Oxy): z = 0, mp(Oyz): x = 0, mp(Oxz): y = 0
- Mp song song với các mặt tọa độ: song song với (Oxy): Cz + D = 0, song song với 
(Oyz): Ax + D = 0, song song với (Oxz): By + D = 0
-Mp song song với các trục tọa độ: song song với Ox: By + Cz + D = 0, song song 
với Oy: Ax + Cz + D = 0, song song với Oz: Ax + By + D = 0
-Mp chứa các trục tọa độ: chứa trục Ox: By + Cz = 0, chứa trục Oy: Ax + Cz = 0, 
chứa trục Oz: Ax + By = 0
- Mp chứa gốc tọa độ O(0; 0; 0): Ax + By + Cz = 0
 x y z
- Đặc biệt mp(P) qua A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) có phương trình dạng: 1
 a b c 
 5. Một số ví dụ
 11