Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện bằng các mô hình cơ bản

 1
 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH
 TRƯỜNG THPT C NGHĨA HƯNG
 --------------***--------------
 BÁO CÁO SÁNG KIẾN
“HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH BÁN KÍNH 
 MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH ĐA DIỆN 
 BẰNG CÁC MÔ HÌNH CƠ BẢN”
 Lĩnh vực (mã)/cấp học: Toán(02)/THPT
TÁC GIẢ: NGÔ THỊ TẤM
TRÌNH ĐỘ CHUYÊN MÔN: CỬ NHÂN 
CHỨC VỤ: GIÁO VIÊN 
 NƠI CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPTC NGHĨA HƯNG
 Nam Định, tháng 8 năm 2020 3
 BÁO CÁO SÁNG KIẾN
I. ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
 - Trong môn toán ở trường phổ thông phần hình học không gian giữ một 
vai trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ 
năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm 
chất của con người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê 
phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh. 
 - Hình học không gian nói chung và phần mặt cầu nói riêng từ trước tới 
nay là một phần kiến thức khó, đặt trong bối cảnh thi trắc nghiệm như hiện nay 
thì lại xác đinh là một dạng toán mất nhiều thời gian để đưa ra đáp án chính xác.
 Trong chương trình hình học lớp 12; bài toán tính bán kính mặt cầu ngoại 
tiếp đa diện xuất hiện hầu hết trong các kì thi cuối kì, cuối năm và thi THPT 
quốc gia. Mặc dù vậy, đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư duy sâu 
sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà 
đây là mảng kiến thức rất khó và thường để mất điểm trong các kì thi
 Thực tế giảng dạy cho thấy, rất nhiều học sinh chỉ hiểu những gì thầy cô 
làm nhưng không hiểu tại sao lại làm như vậy, không thể làm lại được và đối với 
bài tập khác thì không biết bắt đầu từ đâu.Trước khi đưa ra sáng kiến này, trong 
quá trình dạy học sinh , nhất là trước kia khi dạy học sinh làm bài bằng hình 
thức thi tự luận, tôi cũng như nhiều giáo viên khác đều xây dựng cho học sinh 
một quy trình xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nói 
chung, hình chóp nói riêng . Tuy nhiên nhiều bài xác định tâm mặt cầu để từ đó 
tính bán kính khá rắc rối về mặt dựng hình, nhất là với đối tượng học sinh từ 
TB-Khá. Trong quá trình giảng dạy các lớp 12 ôn thi THPT quốc gia tôi thấy 
với đối tượng học sinh các lớp mà các em học xã hội nói chung và lớp tôi được 
phân công giảng dạy nói riêng, các em rất ngại học hình. Kể cả với đối tượng 
học sinh khá hơn thì việc dựng hình nhiều khi cũng gặp rất nhiều khó khăn. 5
 + Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn 
thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.
 Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực của đoạn thẳng thì cách đều hai 
đầu mút của đoạn thẳng ấy.
 + Mặt cầu ngoại tiếp đa diện: Là mặt cầu đi qua tất cả các đỉnh của đa diện.
 - Tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện: là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình 
đa diện đó. Hay nói cách khác, nó chính là giao điểm I của trục đường tròn 
ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình chóp 
hoặc hình lăng trụ.
 - Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình đa diện.
*) Một số công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy:
 1) Bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với BC = a, AC = b, 
 AB = c
 1
 +) Tam giác ABC vuông tại A: R a .
 2
 a 3
 +) Tam giác đều cạnh a: R .
 3
 abc
 +) Tam giác thường: R , S: diện tích tam giác ABC
 4S
 a b c
 Hoặc R .
 2sin A 2sin B 2sin C
 a 2
 2) Bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a: R .
 2
 1
 3) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD : R AB2 AD2 .
 2
1.1.2. Điều kiện cần, điều kiện đủ để một đa diện có mặt cầu ngoại tiếp
 Nếu một đa diện có mặt cầu ngoại tiếp thì các mặt của nó phải là những đa giác 
nội tiếp (vì mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn).
* Với một số hình thường gặp:
 - Tồn tại một và chỉ một mặt cầu ngoại tiếp một tứ diện bất kỳ. 7
Thuật toán 2: Dựng trục của một mặt đáy và trục của một mặt bên
Điều kiện: Mặt bên vuông góc với mặt đáy
Bước 1: Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Bước 2: Dựng trục Δ của đường tròn ngoại tiếp mặt bên vuông góc.
Khi đó, tâm I của mặt cầu là giao điểm của Δ và d
* Minh họa: 
 S
 d
 O' I
 Δ
 D C
 O
 A B
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Mô hình 1: Hình hộp chữ nhật, hình lập phương 
 NỘI DUNG HÌNH VẼ
 A
 Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật B
 (hình lập phương) Tâm là I, là trung điểm của AC ' .
 D
 Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ C
 I
 nhật (hình lập phương).
 A' B'
 AC '
 Bán kính: R .
 2
 D' C'
 1
 R a2 b2 c2 
 2
Chú ý : mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật cũng 
chính là mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện có 4 trong các 
đỉnh của 8 đỉnh hình hộp chữ nhật đó. 9
 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A'BCD cũng chính là mặt cầu ngoại tiếp 
 hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C 'D ', do đó bán kính 
 1 1 3
 R AB2 AD2 BB '2 a2 (2a)2 (2a)2 a .
 2 2 2
 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là:
 2
 2 3a 2
 S 4 R 4 9 a .
 2 
Câu 2: (THPT CHUYÊN THÁI NGUYÊN LẦN 01 NĂM 2018-2019) Trong 
không gian, cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau và 
 SA a, AB b, BC c. Mặt cầu đi qua S, A, B,C có bán kính bằng
 2(a b c) 1
A. . B. a2 b2 c2 . C. 2 a2 b2 c2 . D. a2 b2 c2 .
 3 2
 Hướng dẫn
 1
 Do tam diện vuông, nên bán kính R a2 b2 c2 .
 2
Câu 3 : (CHUYÊN NGUYỄN TẤT THÀNH YÊN BÁI LẦN 01 NĂM 2018 
– 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Cạnh bên 
 SA a 6 và vuông góc với đáy ABCD . Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại 
tiếp khối chóp S.ABCD .
 A. 8 a2 . B. a2 2 . C. 2 a2 . D. 2a2 .
 Hướng dẫn
 S
 A
 D
 B C 11
Câu 6: (TRƯỜNG THPT HOÀNG HOA THÁM HƯNG YÊN NĂM 2018-
2019)Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh 3 cm là
 27 3 9 3 27 3
 A. cm3. B. cm3. C. 9 3 cm3. D. cm3.
 2 2 8
Câu 7: (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI HẢI DƯƠNG NĂM 2018-2019 LẦN 
01) Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối hộp chữ nhật có kích thước a , a 3 , 2a là
 A. 8a 2 . B. 4 a2 . C. 16 a2 . D. 8 a2 .
Câu 8: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB=a, AD=2a, AA’=2a. 
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABB’C’
 3a 3a
 A. 3a B. C. D. 2a 
 2 4
Câu 9: (MÃ ĐỀ 123 BGD&ĐT NĂM 2017) Tìm bán kính R mặt cầu ngoại 
tiếp một hình lập phương có cạnh bằng 2a.
 A. R 3a B. R a C. 100 D. R 2 3a 13
 SA2 h2
 Vậy R R 2 R 2 
 d 4 d 4
 Như vậy với hình chóp hoặc hình lăng trụ có 1 
 cạnh bên vuông góc với đáy mà có mặt cầu 
 ngoại tiếp, bán kính mặt cầu ngoại tiếp được 
 h2
 tính chung bằng công thức R R 2 
 d 4
Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1. (SỞ GD & ĐT BẮC NINH NĂM 2018 – 2019 LẦN 01) Cho hình 
lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC là tam giác vuông tại A , AB a 3 , 
 BC 2a , đường thẳng AC tạo với mặt phẳng BCC B một góc 30 . Diện tích 
của mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ đã cho bằng:
 A. 3 a2 . B. 6 a2 . C. 4 a2 . D. 24 a2 .
 Lờigiải
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên BC AH  BCC B .
 ·AC , BCC B H· C A 30 .
 ABC là tam giác vuông tại A , AB a 3 , BC 2a suy ra AC a và 
 Rd=a
 AB.AC a 3
 Ta có: AH AC 2AH a 3 AA AC 2 AC2 a 2 .
 BC 2 15
 Hướng dẫn: Chọn C
 A
 B
 S
 C
 Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy góc (SA vuông góc với 
 (SBC))
 SA2 a2 a 3 a 21
 Vậy R R 2 ( )2 .Vậy 
 4 d 4 3 6
 21a2 7 a2
 S 4 R2 4 . 
 mc 36 3
 Rõ ràng việc quy về mô hình quen thuộc trên đã tiết kiệm được rất 
 nhiều thời gian dựng hình và tính toán.
Một số bài tập cùng dạng:
Câu 1. Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = 3, 
BC = 5, hình chiếu vuông góc của B’ trên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn 
ngoại tiếp tam giác đó. Biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ABA’B’) bằng 
 600 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B’ABC.
 73 3
 A. 73 3 . B. . C. 73 6 . D. 73 3 .
 48 24 48 12
Câu 2. (MÃ ĐỀ 105 BGD&ĐT NĂM 2017) Cho tứ diện ABCD có tam giác 
 BCD vuông tại C , AB vuông góc với mặt phẳng BCD , 
 AB 5a, BC 3a, CD=4a . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD .
 5a 2 5a 3 5a 2 5a 3
 A. R B. R C. R D. R 
 3 3 2 2 17
Câu 9. (SỞ GD & ĐT BẮC NINH NĂM 2018 - 2019 LẦN 01) Cho hình chóp 
 S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , SA vuông góc với mặt phẳng ABC 
và AB 2, AC 4, SA 5 . Mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC có bán 
kính là:
 25 5 10
 A. R . B. R . C. R 5. D. R .
 2 2 3
Câu 10. Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, góc 
BAD bằng 600 . Biết hai mặt phẳng (SDC) và (SAD) cùng vuông góc với mặt 
phẳng đáy, góc giữa SC và đáy bằng 450 . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ 
diện S.BCD.
 7 7 7 
 A. 7 B. C. D. 
 2 3 4