Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh tiếp cận nhóm bài toán trắc nghiệm trong trường số phức được phát triển từ một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT THỌ XUÂN 5
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHÓM BÀI TOÁN TRẮC 
NGHIỆM TRONG TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT 
 SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG
 Người thực hiện: Lê Quang Vũ
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2017
 0 1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài
Từ năm học 2016-2017, trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, đề thi môn toán 
thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều 
này đã tạo ra một sự chuyển biến lớn trong cả dạy và học ở các nhà trường. Để đạt 
được điểm số cao trong kỳ thi này, học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ 
bản, làm thuần thục các dạng toán quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp 
cận vấn đề một cách nhanh nhất, chọn được cách giải quyết nhanh nhất đến đáp án. 
Đây thực sự là một thách thức lớn. 
Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề tôi phát hiện ra rằng: rất nhiều bài toán 
khó về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình học trong 
mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy về tính toán sẽ rất 
khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn.
Chính vì những lý do trên nên tôi tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảng 
dạy của mình, sưu tầm các dạng bài điển hình hay gặp trong các đề thi để viết thành 
tài liệu: HƯỚNG DẪN HỌC SINH TIẾP CẬN NHÓM BÀI TOÁN TRẮC 
NGHIỆM TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC ĐƯỢC PHÁT TRIỄN TỪ MỘT SỐ 
BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm này trước hết nhằm mục đích tạo một tài 
liệu tham khảo nhỏ giúp các em học sinh khá giỏi trong nhà trường có thêm một 
phương pháp tiếp cận nhanh và hiệu quả khi gặp những bài toán cực trị trên tập số 
phức. Sau đó là khuyến khích các em dựa vào những tính chất cực trị hình học đã 
học để sáng tạo ra những bài tập hay trên tập số phức, qua đó giúp các em phát 
triễn tư duy logic, tổng hợp các phần, các chương đã học để chọn nhanh được 
hướng tiếp cận đối với các câu hỏi trắc nghiệm ở mức độ vận dụng trong các đề thi.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa số phức 
với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cực trị đặc 
trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức. 
1.4. Phương pháp nghiên cứu
Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán cực trị số phức, trước hết 
giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức hình học liên quan. Đặc biệt 
với riêng chuyên đề này giáo viên phải yêu cầu học sinh nắm vững mối quan hệ 
giữa số phức với hình học tọa độ, các công thức chuyển đổi từ số phức sang hình 
học. Sau đó giáo viên chọn một số bài toán điển hình, các dữ kiện, yêu cầu thường 
gặp để học sinh luyện tập nhiều, tạo ra “phản xạ” cho các em khi gặp loại toán này. 
Bước cuối cùng là yêu cầu các em sáng tạo thêm các đề toán từ bài toán điển hình 
này cũng như từ các bài toán khác mà các em đã từng gặp.
 2 - Cho hai số phức z1, z2 không đổi có điểm biểu diễn là hai điểm A, B . Một số phức 
 z thay đổi thỏa mãn z z1 z z2 a 0 . Khi đó
 + Nếu z1 z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đường E-lip nhận 
 A, B làm hai tiêu điểm và độ dài trục lớn bằng a .
 + Nếu z1 z2 a thì quỹ tích điểm biểu diễn số phức z là đoạn thẳng AB .
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Hiện nay khi gặp dạng toán cực trị trên tập số phức được phát triễn từ bài toán cực 
trị hình học thường làm các học sinh kể cả những học sinh giỏi lúng túng từ khâu 
phát hiện nút thắt mấu chốt cho đến cách xử lý. Đa số các em không nhận ra “bẫy” 
trong đề bài, sa đà vào tính toán, gây mất thời gian mà thường không thu được kết 
quả mong đợi.
Khi gặp các bài toán về vấn đề trên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để 
biến đổi bài toán. Một số học sinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách phối 
hợp giữa tư duy hình học và tính toán đại số.
Một thực tế nữa là nhiều học sinh khi làm bài toán loại này ở chương hình học thì 
làm được khá thành thạo nhưng khi ở chương số phức với ngôn từ, giả thiết khác 
thì các em lại không phát hiện ra vấn đề cốt lõi, quen thuộc mà rất lúng túng cứ như 
là gặp những bài toán mới.
Chính vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra bản chất vấn đề cũng như 
cách giải đơn giản, để thuận lợi kết thúc bài toán. 
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết 
vấn đề.
2.3.1. Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng.
Bài toán 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho điểm A và đường thẳng d . Điểm 
 M chạy trên đường thẳng d sao cho độ dài đoạn AM nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị 
trí điểm M và tính độ dài AM .
a. Hướng dẫn giải: 
 A
 d(M,d)
 (d)
 M H
Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng d . Khi đó 
 AM AH , nên độ dài đoạn AM nhỏ nhất khi và chỉ khi M là hình chiếu vuông góc 
của điểm A lên đường thẳng d và AM min AH d M ,d .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
 4 2 z 2i z
 • Gợi ý: z 4 z z 2i z 2i z 2i z z 2i . Như vậy 
 z 2i(l)
 bài toán đã trở về dạng giống Ví dụ 2.
Ví dụ 4: Cho các số phức z thỏa mãn z 2 4i z 2i . Giá trị nhỏ nhất của 
 z 7 i là
 4 10 3 10
 A. . B. 3. C. . D. 10.
 5 5
 z 2i z 2i z 2i
 • Gợi ý: . Bài toán trở thành: Cho các số phức 
 z 7 i z 7 i z 7 i
 z thỏa mãn z 2 4i z 2i . Tìm giá trị nhỏ nhất của z 7 i . Như vậy 
 bài toán đã trở về dạng giống Ví dụ 2.
Bài toán 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai điểm phân biệt A, B và đường 
thẳng d . Điểm M chạy trên đường thẳng d sao cho tổng độ dài đoạn 
 AM BM nhỏ nhất .Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính AM BM .
a. Hướng dẫn giải:
Ta xét hai trường hợp 
+) Trường hợp 1 : hai điểm A, B nằm về hai phía đối với đường thẳng d 
 A
 (d)
 D M
 B
 MA MB AB MA MB AB M AB  (d)
Ta có nên min , đạt được khi .
+) Trường hợp 2 : hai điểm A, B cùng phía đối với đường thẳng d 
 B
 A
 (d)
 D M
 A'
Gọi điểm A' là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng d . Khi đó MA MA'
 6 Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng AB .Ta xét hai 
trường hợp
 • Trường hợp 1: điểm H nằm trong đoạn AB
 I
 A M H B
Dễ dàng thấy IM min IH và IM max max IA;IB .
 • Trường hợp 2: điểm H nằm ngoài đoạn AB
 I
 A M B H
Dễ dàng thấy IM min min IA;IB và IM max max IA;IB .
b. Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên:
- Tạo giả thiết: Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một 
đoạn thẳng.
- Tạo kết luận: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của mô-đun z z0 với z0 là một số 
phức đã biết.
- Cách giải quyết: Gọi điểm biểu diễn của số phức z, z0 lần lượt là M , I . Gọi đoạn 
thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là AB . Khi đó bài toán số phức trở về bài toán 
hình học nêu ở trên.
- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra được một điều 
kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng. Điều kiện kiểu 
này chủ yếu dựa vào tính chất: điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi 
 MA MB AB . Tính chất này viết theo ngôn ngữ số phức sẽ có một số dạng sau:
 + Cho số phức z thỏa mãn z z1 z z2 a với z1, z 2 là hai số phức đã biết và 
 z1 z 2 a .(Đây chính là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ở phần cơ sở lý 
thuyết).
 + Cho số phức z thỏa mãn z z1 z z2 nhỏ nhất với z1, z 2 là hai số phức đã 
biết .
 Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn z là phần đường thẳng bị giới hạn ở 
miền trong đường tròn, elip. Chẳng hạn như: 
 8 biệt A(3;4),B(5;0) nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB . Gọi I 0;4 
 thì z 4i IM , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm I 
 lên đường thẳng d nằm ngoài đoạn AB mà IA 41, IB 3 nên 
 z 4i 3
 min .
2.3.2 Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn
Bài toán 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A và đường tròn C có tâm I 
bán kính R . Điểm M thay đổi trên đường tròn C . Xác định vị trí điểm M để độ 
dài đoạn AM đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.
a. Hướng dẫn giải:
Ta xét ba trường hợp
 • Trường hợp 1: điểm A nằm ở miền ngoài đường tròn C 
 (C)
 M
 R
 I C
 A B
 AM min AB AI R và AM max AC AI R
 • Trường hợp 2: điểm A nằm ở trên đường tròn C 
 (C)
 M
 R
 A
 B I C
 AM min 0 và AM max AC 2R
 • Trường hợp 3: điểm A nằm ở miền trong đường tròn C 
 10 • Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z . Vì z 3 4i 2 nên quỹ tích 
 1 1
 điểm M là đường tròn C tâm I 3; 4 bán kính R 2. Đặt A( ; ) thì 
 2 2
 1 i
 w 2z 1 i 2 z 2AM .Dễ thấy điểm A nằm ngoài đường tròn 
 2 2
 C nên w 2AM 2(AI R) 4 130 .
 max max
Ví dụ 12: Cho số phức z , tìm giá trị lớn nhất của | z | biết rằng z thoả mãn điều 
 2 3i
kiện z 1 1
 3 2i
 A. 3.B. 2.C. 1. D. 2.
 • Gợi ý : Gọi M là điểm biểu diễn số phức z z OM .Theo bài ra : 
 2 3i 2 3i 3 2i
 z 1 1 z 1 z i 1 nên quỹ tích điểm M là 
 3 2i 3 2i 2 3i
 đường tròn C tâm I 0; 1 bán kính R 1 . Dễ thấy điểm O nằm trên 
 đường tròn C nên z 2R 2 .
 max
 3
Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2 z và min z 2i a b 2 . 
 2
 Tính a b .
 1 4
 A. 1. B. 2 2 . C. . D. .
 2 3
 2
 • Gợi ý: Đặt z x yi với x, y ¡ . Từ z 3 2 z x 3 y2 2 x2 y2 
 x2 y2 6x 9 0 x 3 2 y2 18 z 3 3 2 . Gọi M là điểm 
 biểu diễn số phức z thì quỹ tích M là đường tròn tâm I( 3;0) , bán kính 
 3 3
 R 3 2 . Đặt A ; 2 thì z 2i AM . Dễ thấy điểm A nằm ở miền 
 2 2
 5 1
 trong đường tròn C nên AM min R AI 3 2 a b .
 2 2
Bài toán 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) và đường tròn C 
có tâm I bán kính R không có điểm chung. Điểm M thay đổi trên đường tròn C 
, điểm N thay đổi trên đường thẳng (d) . Xác định vị trí hai điểm M , N để độ dài 
đoạn MN giá trị nhỏ nhất và tính các giá trị này.
 12