Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lựa chọn hệ số thích hợp khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT HÀ VĂN MAO
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH 12 LỰA CHỌN HỆ SỐ THÍCH HỢP 
 KHI SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
 Người thực hiện: Nguyễn Thị Linh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
 THANH HOÁ NĂM 2016
 0 A-MỞ ĐẦU
 1. Lý do chọn đề tài:
 Trong cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN 
của các năm gần đây và đặc biệt như năm học 2014-2015 bài toán tích phân 
hầu như không thể thiếu. Nhưng đối với học sinh THPT bài toán tích phân là 
một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định 
nghĩa, các tính chất, các phương pháp tính của tích phân. Đặc biệt với một 
trường miền núi điều kiện khó khăn như Hà văn Mao việc tiếp thu kiến thức 
của các em học sinh đôi khi còn thụ động và áp dụng một cách máy móc 
không hiểu rõ bản chất của vấn đề.
 Khi học sinh sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần các em 
thường gặp nhiều khó khăn: 
 Thứ nhất trong khâu đặt:
 '
 u f x du f x dx
 dv g x dx
 v g x dx G x C
 nhận ra được nên chọn u,dv thế nào cho phù hợp? 
 Thứ hai sau khi được dv rồi với C là một hằng số bất kỳ tức là chọn số 
nào cũng được thì nên chọn số nào để nhanh đến kết quả nhất? Nhằm giúp 
học sinh khắc phục được những yếu điểm nêu trên từ đó đạt được kết quả cao 
khi giải bài toán tích phân nói riêng và đạt kết quả cao trong quá trình học tập 
nói chung. Cùng với sự tích luỹ kinh nghiệm có được của bản thân qua một số 
năm giảng dạy kết hợp với những kiến thức mà tôi đã lĩnh hội được trong 
chương trình Đại học Toán mà đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của các thầy 
cô giáo. Tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh lựa chọn hệ số 
thích hợp khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần”.
2. Mục đích nghiên cứu
 Nâng cao hiệu quả dạy học của giáo viên và tiếp thu kiến thức trong 
quá trình học tập của học sinh đối với môn học đòi hỏi tư duy sáng tạo.
 2 B- NỘI DUNG
 1. Cở sở lí luận:
 Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng rộng rãi trong chương 
trình phổ thông và tỏ ra rất hiệu quả khi giải một số tích phân mà hàm số 
trong dấu tích phân là tích của hai hàm có loại khác nhau. Công thức tích 
phân từng phần là:
 b b a
 b
 f x dx udv uv a vdu
 a a b
Ta có nhận xét với u x ,v x là các hàm số xác định thì u f x du xác 
định duy nhất theo công thức tính đạo hàm còn 
 dv g x dx v x g x dx . Vậy v x có thể xác định không duy nhất và 
các hàm số v x có thể sai khác nhau một hằng số. Phải căn cứ vào bài toán 
 a
cụ thể mà ta có thể chọn hằng số sao cho tích phân vdu có thể tính một cách 
 b
đơn giản.
 2. Thực trạng của vấn đề:
 Theo cấu trúc thi THPT QG của bộ thì câu tính tích phân chiếm 10 % 
trong tổng số điểm. Đó là số điểm không hề nhỏ trong khi có rất nhiều chủ đề. 
Trong đó phương pháp lấy tích phân từng phần là một trong những phương 
pháp mà học sinh rất hay gặp. Cũng là một câu mà phần lớn học sinh có 
nguyện vọng thi vào các trường chuyên nghiệp cần phải dành trọn vẹn điểm. 
Nhưng khi thực hành các em lại rất lúng túng khi sử dụng phương pháp tích 
phân từng phần.
 Khi giảng dạy ở các lớp 12 tôi thấy phần lớn học sinh khi sử dụng phương 
pháp tích phân từng phần không hiểu bản chất vấn đề. Ngay cả giáo viên khi 
giảng dạy và lấy ví dụ cho phương pháp này hầu như khi đặt 
 '
 u f x du f x dx
 dv g x dx
 v g x dx G x C
 4 2x
 2 du dx
 u ln x 2 2 x2
 x2
 dv xdx v 
 2
Khi đó
 x2 1 x3 1
 I ln x2 2 1 dx ln 3 I
 0 2 1
 2 0 2 x 2
Tính
 1 x3
 I dx
 1 2
 0 2 x
 đặt t 2 x2 dt 2xdx
Đổi cận 
 x 0 t 2
 x 1 t 3
 1 x3 3 t 2 1 3 2 1
 I dx dt 1 dt t 2ln t 3
 1 2 2
 0 2 x 2 2t 2 2 t 2
 1 3
 ln
 2 2
 3 1
 I ln 3 ln 2 
 2 2
Cách làm trên khi
 x2
 v xdx C 
 2
ta đã chọn hệ số C=0, ta tham khảo cách giải thứ 2 sau đây:
Cách 2: Đặt: 
 2x
 2 du dx
 u ln x 2 2 x2
 x2 2 x2
 dv xdx v 1 
 2 2
Khi đó
 6 15 3
Vậy I ln15 ln 3 4ln 2
 8 2
Cách 2:
Đặt 
 2 8 x 1 
 u ln 4x 8x 3
 du 2 dx
 3 8x 4x
 1 2
 dv dx 1 4x 8x 3
 3 v 2 
 x 1 2 2
 2 x 1 2 x 1 
 dx 1
 ( Ở đây v 3 2 C,C 2 )
 x 1 2 x 1 
Khi đó 
 2 1
 4x 8x 3 2 1 dx 
 I 2 ln 4x 8x 3 4 
 2 x 1 0 0 x 1 
 15 3
 ln15 ln3 4ln x 1 1
 8 2 0
 15 3
 ln15 ln3 4ln 2
 8 2
 Như vậy qua ví dụ 2 và ví dụ 3 ta đã thấy được phần nào tác dụng của 
việc lựa chọn hệ số phù hợp. Vấn đề là lựa chọn như thế nào là thích hợp? 
Khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần, ở khâu đặt
 '
 u f x du f x dx
 dv g x dx v g x dx G x C
 Với C là hằng số bất kỳ, tức là chọn số nào cũng được. Theo thói quen ta 
thường chọn C=0, nhưng đôi khi việc lựa chọn C=0 lại làm cho tích phân 
 b
 vdu không được “ đẹp ” cho lắm.Vì ở đây C là một hằng số bất kỳ nên ta sẽ 
 a
 b
chọn hệ số C nào làm cho tích phân vdu đơn giản nhất.
 a
Bài tập 4: Tính
 4 ln(sin x 2cosx)
 I dx
 2
 0 cos x
 8 
 7
 3ln 3 ln 2 (x 2 ln cosx 4
 2
 0
 5 
 3ln 3 ln 2 
 2 4
 Như vậy, đến ví dụ này chúng ta thấy được tầm quan trọng của việc lựa 
chọn hệ số. Nếu trong một bài toán ta chọn hệ số không phù hợp sẽ khiến một 
bài toán đơn giản trở nên phức tạp thậm chí không dễ gì ra được đáp án cuối 
cùng. Cách làm này rất hiệu quả khi ta áp dụng cho nhưng bài tính tích phân 
có dạng:
 b
 b ln( sin x cosx) ln( sin x cosx)
 I dx I dx
 2 ; 2
 a cos x a sin x
 Ta xét thêm một số ví dụ sau để thấy cái “ hay ” của phương pháp
Bài tập 5: Tính
 0 3x 1
 a.I dx
 3 2 
 1 4x 28x 65x 50
 4 1 
 b.J 1 ln x x 1 dx
 1 2 x 
Bài giải:
 0 3x 1
 a.I dx
 3 2 
 1 4x 28x 65x 50
Cách 1:
Ta phân tích:
 3x 1 3x 1 A B C
 4x3 28x2 65x 50 x 2 2x 5 2 x 2 2x 5 2x 5 2
đồng nhất hệ số ta được: A=-5, B=10, C=13
Khi đó 
 10 Đặt:
 u ln x x 1 2 x 1
 du 
 2 x x x 1
 1 dx
 dv 1 dx 
 2 x v x x 1(C 1)
Khi đó
 4 1 
 J 1 ln x x 1 dx
 1 2 x 
 4 4 2 x 1
 x x 1 ln x x 1 dx
 1 1 2 x
 4
 5ln 5 x x 5ln 4
 1
Bài tập 6:
 ( Trích đề chọn học sinh giỏi lớp 12 tỉnh Phú Thọ năm 2015-2016 )
Tính tích phân
 4
 I cos2x.ln sin x cosx dx
 0
Bài giải: Ta có
 4 4
 1 2
 I cos2x.ln sin x cosx dx cos2x.ln sin x cosx dx
 0 2 0
 1 4
 cos2x.ln sin 2x 1 dx
 2 0
Đặt
 2cos2x
 du dx
 u ln 1 sin 2x 1 sin 2x
 dv cos2xdx 1
 v 1 sin 2x 
 2
 1
Ở đây ta đã lựa chọn C để tích phân sau làm triệt tiêu mẫu 1 sin 2x
 2
Khi đó:
 12 2 ln sin x cosx 3
 8. dx 9. ln x2 x dx
 2 
 4 sin x 2
 4 ln sin x cosx 1 ln x3 3x2 3x 2 
 10. dx 11. dx
 2 4
 0 cos x 0 x 1 
4. Hiệu quả do sáng kiến kinh nghiệm mang lại:
 Ban đầu, học sinh gặp những khó khăn nhất định trong việc giải những 
dạng tích phân đã nêu. Chẳng hạn với bài tập: 
 1
 Tính tích phân I xln 2 x2 dx đa số học sinh đều sử dụng cách 1 
 0
 4 ln(sin x 2cosx)
tương đối dài hoặc bài tính: I 2 dx khi tính theo cách 1 đến 
 0 cos x
 4 cos x 2 sin x
bước tính J tan xdx đa số các em đều dừng lại. 
 0 sin x 2cosx
 Trong những năm được phân công dạy khối 12, tôi thấy học sinh rất 
“nản” khi phải học và làm bài toán tích phân đặc biệt là phương pháp tính tích 
phân từng phần. Điều đó làm tôi suy nghĩ và tôi đã tìm tòi, tham khảo đọc tài 
liệu để tìm ra một cách dạy cho riêng mình mà khuyến khích được học sinh 
học và thúc đẩy niềm say mê, tính sáng tạo và ham tìm tòi của học sinh. Tôi 
đã sử dụng sáng kiến này để dạy trên các lớp 12A2, 12A5 năm học 2012-
2013, 12A1 năm học 2015-2016 và các lớp ôn thi đại học.
 Kết quả khảo sát qua các lớp trong năm học 2012-2013 và năm học 
2015-2016 tôi dạy lớp 12 như sau:
 14