Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT YÊN 
ĐỊNH 3 GIẢI NHANH BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM CỰC 
 TRỊ CỦA HÀM SỐ
 Người thực hiện : Phạm Thị Trang
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn : Toán
 THANH HÓA NĂM 2017 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài:
 Kì thi THPT quốc gia 2017 có một số điểm mới so với những năm học 
trước đó là thí sinh phải làm 4 bài thi tối thiểu, trong đó có 3 bài thi bắt buộc là 
Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và bài thi tự chọn là KHTN (gồm các môn Vật lí, 
Hoá học, Sinh học) hoặc bài thi KHXH (gồm các môn Lịch sử, Địa lí, Giáo dục 
công dân). Trong đó, môn toán chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức 
thi trắc nghiệm. Thời gian làm bài của môn toán là 90 phút với 50 câu hỏi trắc 
nghiệm, tức là trung bình mỗi câu làm trong 1,8 phút. Với hình thức thi và thời 
gian thi như vậy là một áp lực không hề nhỏ đối với các thí sinh, đòi hỏi các thí 
sinh phải chuẩn bị cho bản thân lượng kiến thức, kĩ năng nhất định và chiến 
thuật làm bài phù hợp mới có thể có được kết quả cao. 
 Trong chủ đề ‘‘Cực trị của hàm số’’ các bài toán tuy không khó, nhưng nếu 
học sinh vẫn làm theo phương pháp thông thường lâu nay thì mất rất nhiều thời 
gian, kể cả những học sinh khá giỏi. Thực tế giảng dạy cho thấy kĩ năng tính 
toán của các em học sinh trường THPT Yên Định 3 còn hạn chế, thiếu kinh 
nghiệm trong quá trình làm bài trắc nghiệm nên thường dẫn tới những sai sót khi 
làm bài. Để giúp các em có một số kinh nghiệm và kỹ năng làm bài trắc nghiệm 
môn toán trong kỳ thi THPT quốc gia sắp tới đạt hiệu quả hơn, tôi đã tìm hiểu 
và nghiên cứu “Một số kinh nghiệm làm bài thi trắc nghiệm môn toán trong kỳ 
thi THPT quốc gia” (Dành cho ban cơ bản).
 Môn Toán học trong trường phổ thông là một môn học khó, học sinh thường 
không học tốt môn này. Nếu thi theo hình thức trắc nghiệm thì học sinh gặp 
nhiều khó khăn về nội dung kiến thức và thời gian làm bài. Để giải quyết được 
trọn một đề 50 câu trong thời gian 90 phút nếu giải theo quy trình tự luận thì rất 
mất thời gian và có thể học sinh không làm hết được các câu hỏi .
 Với mong muốn cho học sinh trường THPT Yên Định 3 làm quen và nhanh 
với dạng toán trắc nghiệm tôi đã chọn nghiên cứu đề tài “Hướng dẫn học sinh 
lớp 12 trường THPT Yên Định 3 giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của 
hàm số’’
1.2. Mục đích nghiên cứu:
 Giúp học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3 có thêm được các kiến thức 
và kĩ năng cơ bản trong việc giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số.
 Đề xuất một số cách giải nhanh bài toán trắc nghiệm cực trị của hàm số để 
giúp học sinh hình thành được tư duy giải các bài toán trắc nghiệm, từ đó giải 
bài toán trắc nghiệm cũng dễ dàng hơn. Giúp nâng cao chất lượng dạy học phần 
cực trị của hàm số và giúp học sinh trường THPT Yên Định 3 yêu thích môn 
Toán hơn.
 Nâng cao chất lượng dạy học bộ môn.
 1.3. Đối tượng nghiên cứu: 
 Đề tài đi vào nghiên cứu cách giải nhanh một số bài toán trắc nghiệm phần 
cực trị của hàm số (Giải tích 12 cơ bản).
 Đối tượng áp dụng: Học sinh lớp 12 trường THPT Yên Định 3, Thanh Hóa.
1.4. Phương pháp nghiên cứu:
 1 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
Học sinh phải nắm được:
- Về kiến thức: 
 + Khái niệm điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của 
hàm số, giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số, 
điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị của đồ thị hàm số. 
 + Điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị.
- Về kĩ năng:
 + Học sinh biết vận dụng kiến thức đã học để tìm điểm cực trị của hàm số, cực 
trị của hàm số, điểm cực trị của đồ thị hàm số.
 + Vận dụng kiến thức đã học để giải nhanh các bài toán cực trị của hàm số.
2.1.1. Khái niệm cực đại, cực tiểu:
Định nghĩa:
 Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên khoảng (a ; b) (có thể a là ; 
b là ) và điểm x0 a;b .
 a) Nếu tồn tại h sao cho f x f x0 với mọi x xo h; xo h và x xo thì 
 hàm số f x đạt cực đại tại xo .
 b) Nếu tồn tại h sao cho f x f x0 với mọi x xo h; xo h và x xo thì 
 hàm số f x đạt cực tiểu tại xo .
Chú ý: 
 - Nếu f x đạt cực đại (cực tiểu) tại xo thì xo được gọi là điểm cực đại 
 (điểm cực tiểu) của hàm số ; f xo được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực 
 tiểu) của hàm số, kí hiệu fCD fCT , còn điểm M xo ; f xo được gọi là 
 điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
 - Các điểm cực đại (điểm cực tiểu) được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị 
 cực đại (giá trị cực tiểu) còn được gọi là cực đại (cực tiểu) và gọi chung 
 là cực trị của hàm số.
2.1.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:
Định lí 1:
 Giả sử hàm số f đạt cực trị tại điểm x 0. Khi đó, nếu f có đạo hàm tại x 0 thì 
 '
 f xo 0
2.1.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị:
Định lí 2: 
 Giả sử hàm số y f x liên tục trên khoảng K xo h; xo h và có đạo 
hàm trên K hoặc trên K / xo , với h > 0.
 a) Nếu f x 0 trên khoảng (x0 h; x0 ) và f (x) < 0 trên (x0 ; x0 h) thì x0 là 
 một điểm cực đại của hàm số f(x). 
 b) Nếu f (x) 0 trên (x0 ; x0 h) thì x0 là 
 một điểm cực tiểu của f(x).
Định lí 3:
 3 x 0
 3 2 2
Ta có: y 4x 3x y 0 x 4x 3 3
 x 
 4
Ta thấy y’ không đổi dấu qua x = 0 do vậy x = 0 không phải là một điểm cực trị 
 3 3
của hàm số. Và y’ đổi dấu khi đi qua x do vậy x là một điểm cực trị của 
 4 4
hàm số. Ta chọn đáp án C
Nhận xét:
 - Nhiều học sinh không nắm vững lí thuyết sẽ chọn ngay đáp án A vì cứ nghĩ 
 nghiệm của phương trình y’ = 0 là điểm cực trị của hàm số.
 - Ngoài ra học sinh cũng hay mắc phải sai lầm đó là chọn đáp án D điểm 
 cực trị của đồ thị hàm số.
Qua đó ta rút ra nhận xét:
 - Nếu x = x0 là điểm cực trị của hàm số y = f(x) thì f’(x0) = 0 hoặc f’(x0) không 
xác định, nhưng nếu f’(x0) = 0 thì chưa hẳn x = x0 là điểm cực trị của hàm số.
 - Trong các bài toán trắc nghiệm thường có các câu hỏi đánh lừa học sinh bởi 
các cụm từ “điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị của đồ thị hàm số”. Vì 
vậy học sinh cần nắm vững lí thuyết để phân biệt được các khái niệm.
Bài tập 2: Hàm số nào sau đây không có cực trị 
 A. y x3 3x 1 B. y x4 4x3 3x 1
 2 x 2n *
 C. y D. y x 2017x 1 n N 
 x 3
 Giải
Cách giải thông thường:
Với A: Ta thấy đây là hàm bậc ba có y’ = 3x2 – 3 , phương trình y’ = 0 luôn có 
hai nghiệm phân biệt nên hàm số có hai điểm cực trị (loại)
Với B: Đây là hàm bậc bốn có y’ = 4x 3 – 12x2 + 3, phương trình bậc ba luôn có 
ít nhất một nghiệm nên hàm số có ít nhất một điểm cực trị (loại) 
Với C: Đây là hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất nên hàm số không có cực 
trị. Do đó ta chọn đáp án C
Nhận xét: Với một bài toán yêu cầu tìm hàm số không có cực trị nếu ta xét từng 
đáp án thì mất rất nhiều thời gian. Đôi khi ta phải nhớ được một số kết quả đã 
biết. Ví dụ như trong bài tập 2 này nhìn vào bốn đáp án ta có thể chọn ngay đáp 
án C. Giáo viên có thể nhấn mạnh lại kiến thức cho học sinh ghi nhớ đó là:
 “Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất không có cực trị”
Bài tập 3: Cho hàm số y x4 2x2 1. Mệnh đề nào sau đây đúng?
 A. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu
 B. Hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu
 C. Hàm số có một điểm cực đại và không có điểm cực tiểu
 D. Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu
 Giải
Cách giải thông thường:
 5 Bài tập 5: Cho hàm số y f (x) có đạo hàm f (x) 1 x 2 x 2 . Phát biểu nào 
sau đây là đúng.
 A. Hàm số có một điểm cực đại B. Hàm số có hai điểm cực trị
 C. Hàm số có đúng một điểm cực trị D. Hàm số không có điểm cực trị
 Giải
 2 x 1
Ta thấy f (x) 1 x x 2 0 
 x 2
Đến đây nhiều học sinh kết luận hàm số có hai điểm cực trị và chọn ngay đáp án 
B. Tuy nhiên đó là kết luận sai lầm, bởi khi đi qua x = 1 thì f’(x) không đổi dấu, 
bởi vì 1 x 2 0 với mọi x. Do vậy hàm số chỉ có đúng 1 điểm cực trị x = 3. 
Vậy ta chọn đáp án C
Nhận xét: Trong đa thức, đa thức chỉ đổi dấu khi qua nghiệm đơn và nghiệm 
bội lẻ, còn nghiệm bội chẵn không khiến đa thức đổi dấu. 
Qua nhận xét này ta có thể chọn ngay đáp án C
Bài tập 6: Cho hàm số y x . Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau
 A. Hàm số có một điểm cực đại 
 B. Hàm số không có cực trị
 C. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nên không đạt cực 
 trị tại x = 0
 D. Hàm số đã cho có đạo hàm không xác định tại x = 0 nhưng đạt cực trị 
 tại x = 0
 Giải
 x
Ta có: y ' . Hàm số có đạo hàm không xác định tại x = 0 và ta thấy đáp án 
 x2
C và D ngược nhau, nên ta loại trừ ngay được đáp án A và B. 
Ta thấy y’ đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x = 0 , vậy theo định nghĩa x = 0 
là một điểm cực trị của hàm số. Ta chọn đáp án D
Nhận xét: 
 - Với hàm liên tục thì hàm số sẽ đạt cực trị tại điểm làm cho y’ = 0 hoặc 
 không xác định
 - Nếu hàm số đạt cực trị tại x = x0 thì x = x0 sẽ làm cho y’ bằng 0 hoặc 
 không xác định.
2.3.2. Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số có điểm cực trị và điểm cực trị thỏa 
mãn điều kiện cho trước
Phương pháp chung:
Với kinh nghiệm giảng dạy của bản thân tôi rút ra được một số nhận xét sau đây: 
 ax b
*) Đối với hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất y c 0;ad bc 0 : 
 cx d
Không có cực trị
*) Đối với hàm đa thức bậc ba y f (x) ax3 bx2 cx d a 0 
Ta có: y 3ax2 2bx c , b2 3ac
 - Để hàm số có hai điểm cực trị thì phương trình y’=0 có hai nghiệm phân 
 biệt b2 3ac 0
 7 1
Bài tập 4: Tìm m để hàm số y x3 mx2 m2 m 1 x 1đạt cực trị tại hai điểm 
 3
x1, x2 thỏa mãn x1 x2 4
 A. m 2 B. m 2
 C. m 1 D m 2
 Giải
Tập xác định D ¡ 
Đạo hàm y x2 2mx m2 m 1 . 
Để hàm số có hai điểm cực trị thì 0 m 1 (1)
Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x 1, x2 suy ra x1, x2 là hai nghiệm của phương 
trình y’ = 0, theo Vi-ét ta có
 x1 x2 2m
 2
 x1.x2 m m 1
 m 2
Theo giả thiết ta có x1 x2 4 2m 4 . Kết hợp với (1) ta có giá trị 
 m 2
cần tìm là m 2 . Ta chọn đáp án B
Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc sai lầm đó là chọn đáp án C hoặc A
+) Học sinh ngay sau khi giải điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị thì chọn 
ngay C
+) Hoặc học sinh không tìm điều kiện để hàm số có hai điểm cực trị mà bắt tay 
 m 2
vào giải x1 x2 4 2m 4 nên chọn đáp án A
 m 2
Bài tập 5: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số 
 y x3 2x2 3x 1 là
 A. 26x 9y 15 0 B. 25x 9y 15 0
 C. 26x 9y 15 0 D. 25x 9y 15 0
 Giải:
Thông thường bài toán này học sinh sẽ tìm hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và 
lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị như sau:
 2 13 14 3 13
 x1 y1 
 2 8
Ta có y’ = 3x2 + 4x – 3 , y 0 
 2 13 14 3 13
 x y 
 2 2 2 8
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là 26x + 9y – 15 = 0. Và chọn 
đáp án A
Nhận xét: Đối với bài toán không chứa tham số thì học sinh có thể làm như 
vậy, nhưng đối với bài toán chứa tham số thì cách làm như vậy không hiệu quả 
mà đôi khi rất khó khăn trong việc tính toán. Ta có thể làm như sau:
 3 2
Giả sử hàm bậc ba y f (x) ax bx cx d a 0 có hai điểm cực trị là x1 và x2.. 
Khi đó thực hiện phép chia f(x) cho f’(x) ta được:
 f (x) Q x . f x Ax B
 9