Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số

 1. Lời giới thiệu 
 Nội dung về hàm số và ứng dụng của hàm số để giải các bài toán chiếm 
một phần lớn và có một vị trí vô cùng quan trọng trong nội dung chương trình 
Toán ở trường Trung học phổ thông cũng như trong các kỳ thi Trung học Phổ 
thông Quốc gia, Học sinh giỏi cấp tỉnh. 
Bài toán về đồ thị hàm số nằm trong lớp các bài toán về hàm số. 
Bài toán về đồ thị hàm số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh 
mà còn đem lại niềm say mê và yêu thích môn Toán cho chính người học. 
 Khó khăn mà học sinh thường gặp là hệ thống bài tập liên quan đến đồ thị 
hàm số rất đa dạng và phong phú nhưng nội dung chưa đề cập một cách liên tục 
và có hệ thống trong sách giáo khoa phổ thông. Mặt khác trong kì thi trung học 
Phổ thông Quốc gia, từ năm 2017 môn Toán lại được ra dưới hình thức trắc 
nghiệm, học sinh thiếu tài liệu chuyên sâu về chủ đề này. 
 Vì vậy để giúp các em học sinh phổ thông trong quá trình học tập, hình thành 
cho học sinh những kiến thức và kỹ năng nhất định trong việc giải các bài toán 
nâng cao về đồ thị hàm số. Dưới sự góp ý của đồng nghiệp và trải qua những nhận 
xét rút được từ quá trình giảng dạy, tôi đã chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 
12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”. Với nội dung chính: 
- Phân dạng và hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về 
đồ thị hàm số. 
- Giới thiệu với học sinh một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số dưới 
hình thức trắc nghiệm. 
2. Tên sáng kiến 
“Hướng dẫn học sinh lớp 12 giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số” 
3. Tác giả sáng kiến 
- Họ và tên: Nguyễn Thị Phương Dịu 
- Chức vụ: Chủ tịch Công đoàn 
 1 7.2. Nội dung của sáng kiến 
7.2.1. Cơ sở lí luận của vấn đề nghiên cứu 
 Khi giải bài toán nâng cao về đồ thị hàm số thì vấn đề cơ bản là học sinh 
phải nắm được các dạng đồ thị của các hàm số thường gặp, các phép biến đổi đồ 
thị hàm số để từ đó có sự linh hoạt trong vận dụng giải bài tập. 
7.2.2. Thực trạng của vấn đề mà nội dung của đề tài đề cập đến 
 Trong chương trình Toán Trung học phổ thông, đồ thị hàm số được đề cập 
đến từ lớp 10 khi học sinh được học về hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Đến 
lớp 12 thì đồ thị hàm số tiếp tục được đề cập đến khi học sinh được học chương I 
- Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số, trong chương trình Giải tích. Đây là kiến thức 
cần cho thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi. 
 Trong bài viết này, Tôi xin đưa ra cách phân dạng, hướng dẫn Học sinh giải 
một số bài tập nâng cao về đồ thị hàm số cùng một số bài tập trắc nghiệm về đồ 
thị hàm số để minh hoạ cho Sáng kiến kinh nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 
giải một số bài toán nâng cao về đồ thị hàm số”. 
7.2.3. Chuẩn bị thực hiện đề tài 
 - Hướng dẫn học sinh sử dụng các tài liệu tham khảo và giới thiệu sách hay 
 có liên quan để học sinh tìm đọc. 
 - Chọn lọc, biên soạn theo hệ thống từng bài dạy. 
 - Nghiên cứu các đề thi Trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi, 
 và trao đổi kinh nghiệm cùng đồng nghiệp. 
7.2.4. Những biện pháp, giải pháp đặt ra của đề tài 
7.2.4.1. Hình thành thái độ học tập môn Toán cho học sinh 
 Học sinh cấp Trung học phổ thông đã có ý thức tương đối tốt trong việc 
học hành. Nắm bắt được sự phát triển tâm lý này, giáo viên cần khơi gợi sự say 
mê, tìm tòi; kích thích hứng thú học tập của học sinh trong quá trình học môn 
Toán. 
7.2.4.2. Phân loại và yêu cầu đối tượng 
 3 - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số 
 y f() x phía dưới trục Ox qua Ox gọi 
 phần đó là C2 . 
 Đồ thị cần vẽ là hợp của C1 và . 
y f() x - Giữ nguyên phần đồ thị hàm số 
 phía bên phải trục Oy gọi phần 
 đó là ; 
 - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số 
 phía bên phải Oy qua Oy gọi 
 phần đó là . 
 Đồ thị cần vẽ là hợp của và 
y f( x ) p với p 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo 
 vectơ u 0;p ( lên phía trên p đơn vị) 
y f( x ) p với p 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo 
 vectơ u 0; p ( xuống phía dưới p đơn 
 vị) 
y f() x q với q 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo 
 vectơ u q;0 ( sang bên trái q đơn vị) 
y f() x q với q 0 Tịnh tiến đồ thị hàm số theo 
 vectơ u q;0 ( sang bên phải q đơn vị) 
y f() px với p 1 Co đồ thị hàm số theo chiều 
 ngang hệ số p 
 với 01 p Giãn đồ thị hàm số theo chiều 
 ngang hệ số 1/p 
 5 Bài 1. Cho hàm số bậc ba y f (x) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Số nghiệm 
thực của phương trình 5fx ( ) 2 0 là 
 A. 3 . B. 2 . C. 1. D. 0 . 
 Hướng dẫn 
 2
+ Phương trình 5f ( x ) 2 0 f ( x ) . 
 5
+ Số nghiệm của phương trình 5fx ( ) 2 0 bằng số giao điểm của đồ thị hàm 
 2
số và đường thẳng y . 
 5
 2
Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng y song song với trục hoành nên có số 
 5
giao điểm là 3. 
Vậy chọn đáp án A. 
Bài 2. (Đề thi THPT QG - Mã đề 102 - 2018) 
Cho hàm số f( x ) ax42 bx c , a , b , c , a 0 có đồ thị như hình vẽ. Số 
nghiệm thực của phương trình 4fx ( ) 3 0 là 
 A. 4 . B. . C. 3 . D. . 
 7 3
Từ hình vẽ và nhận xét đường thẳng y song song với trục hoành nên có số 
 2
giao điểm là 2. 
Vậy chọn đáp án A. 
Bài 4. Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên đoạn  2;2 và có đồ thị là 
đường cong trong hình vẽ sau. 
Tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f x m có 3 nghiệm 
phân biệt trên đoạn  2;2 là 
A. m 2; . B. m  2;2. C. m 2;3 . D. m 2;2 . 
 Hướng dẫn 
Chọn D. 
Số nghiệm của phương trình f x m bằng số điểm chung của đồ thị hàm số 
 y f x (hình vẽ) và đường thẳng ym trên đoạn 
Nhìn vào đồ thị ta thấy để phương trình có 3 nghiệm phân biệt thì m 2;2 . 
Vậy chọn đáp án D. 
 9 hai nghiệm phân biệt trên 0; . Dựa vào đồ thị ta thấy điều này xảy ra khi và 
 m2 1
chỉ khi 1 1. 
 3
Mà m nguyên nên 
 m 
 m 
 m2 1 m 1;0;1. 
 11 22 m 
 3
Vậy có 3 giá trị của m thoả mãn. 
Bài 2. Cho hàm số y f x liên tục trên \1  và có đồ thị như hình vẽ dưới 
đây 
 y
 2
 O 1 x
Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình f log2 x m có 
nghiệm thuộc 4; là 
 A. 2; . B. 0;1 . C. 0;1 . D. \1 . 
 Hướng dẫn 
Chọn B 
Đặt tx log2 . Với x 4; thì t 2; . 
Do đó phương trình f log2 x m có nghiệm thuộc khi và chỉ khi 
phương trình f t m có nghiệm 
Quan sát đồ thị ta suy ra điều kiện của tham số m là m 0;1 . 
Bài 3. Cho hàm số y f() x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây: 
Số các giá trị nguyên của m lớn hơn -10 để phương trình
 f x2 2x1 m 5 0 có đúng hai nghiệm phân biệt là 
 A. 13. B. 12. C. 14. D. 0 . 
 11 
 A. 6066. B. 2025 . C. 6064 . D. 2024. 
 Hướng dẫn 
Chọn C 
Đặt t x2 6 x 13 suy ra t 4 , ta có phương trình f t f m 
Dựa vào đồ thị phương trình có nghiệm khi và chỉ khi 
 m 3
 fm 5 . 
 m 4
Suy ra a 3; b 4 2020 a b 6064. 
Vậy 2020ab 6064. 
Bài 6. Cho hàm số y f() x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Tất cả các giá trị của m để phương trình f(sin x ) m có nghiệm thuộc khoảng 
 0; là 
 A. m 1;1 . B. m 1;3. C. m 1;3 . D. m 1;1. 
 Hướng dẫn 
Chọn C 
Đặt tx sin , do x 0; t 0;1. 
Phương trình trở thành f() t m 
Phương trình có nghiệm thuộc khoảng khi và chỉ khi 
phương trình có nghiệm t 0;1. 
 13 Bài 8. Cho hàm số y f x liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ dưới đây. 
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình 
 f x3 3 x 2 2 m 2 3 m có nghiệm thuộc nửa khoảng 1;3 ? 
 A. 4 . B. 6 . C. 3 . D. Vô số. 
 Hướng dẫn 
Chọn A 
Đặt t x32 32 x . 
Vì 1 xt 3 2 2. 
Phương trình f x3 3 x 2 2 m 2 3 m f t m 2 3 m với t  2;2 . 
Phương trình có nghiệm 
 m2 3 m 2 0 1 m 1
 2 mm2 3 4 . 
 2 
 mm 3 4 0 24 m
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên của tham số m thoả mãn. 
Bài 9. Cho hàm số y f x có đồ thị như hình vẽ. 
Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình f cos x m 
có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ; ? 
 22
 A. 18. B. 6 . C. 5 . D. 4 . 
 Hướng dẫn 
Chọn D 
 15 y f (x)
Lại dựa vào đồ thị thì đường thẳng y 3 cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm 
phân biệt, đường thẳng y 1 cũng cắt đồ thị hàm số đã cho tại hai điểm phân 
biệt, 4 điểm này có 2 điểm có hoành độ âm khác nhau nên hệ (2) có 2 giá trị x âm 
thỏa mãn. Vậy có 2 giá trị của tham số m thỏa mãn bài toán. 
 7.2.4.3.2.1.3–Bài toán 3 : 
 Bài toán : Biết đồ thị của hàm số . Tìm số nghiệm của phương trình 
 af( x ) b c , a , b , c , a 0, c 0 
 Cách giải 1: 
 b c
 + Đưa phương trình af( x ) b c về dạng fx() . 
 aa
 b
 + Từ đồ thị hàm số suy ra đồ thị hàm số y f() x 
 a
 + Từ đó tìm được số nghiệm của phương trình theo bài toán 
 1. 
 17 
Từ hình vẽ suy ra tập các giá trị nguyên của tham số m: m 5để phương trình 
 f x m có hai nghiệm phân biệt là m 0;2;3;4;5. 
Vậy có tổng các giá trị của m thoả mãn là 14. 
Bài 2. Cho đồ thị của hàm số y f x như hình vẽ: 
 3
Tìm số nghiệm phương trình fx . 
 2
 A. 3. B. 4. C. 5. D. 6. 
 Hướng dẫn 
Chọn D 
Cách 1: 
 Đồ thị hàm y f x gồm 2 phần: 
 + Phần đồ thị y f x nằm trên Ox (Kể cả giao điểm trên trục Ox ) 
 + Phần đồ thị lấy đối xứng qua Ox của đồ thị y f x nằm dưới Ox 
 Từ đó ta có đồ thị của của hàm số y f x . 
 19