Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh kỹ thuật chọn “điểm rơi” trong bất đẳng thức Cauchy

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT LÊ LỢI
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH KỸ THUẬT CHỌN 
“ĐIỂM RƠI” TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
 Người thực hiện : PHAN QUỐC NAM 
 Chức vụ : Giáo viên 
 SKKN thuộc môn : Toán
 THANH HÓA NĂM 2016
 1 A.PHẦN MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 1.Cơ sở lý luận: 
 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN), giá trị lớn nhất (GTLN) của một biểu thức là 
một bài toán bất đẳng thức và đây là một trong những dạng toán khó ở chương trình phổ 
thông. Trong đề thi học sinh giỏi THPT hay tuyển sinh Đại học, Cao đẳng hàng năm(nay 
là Thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia), nội dung này thường xuất hiện ở dạng câu khó nhất. 
 Qua quá trình giảng dạy trên lớp:Bồi dưỡng nâng cao kiến thức cho HS khá 
giỏi,bồi dưỡng thi HSG các cấp,luyện thi Đại Học(Thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia) tôi đã 
tích lũy được một số kinh nghiệm cho nội dung này. Các vấn đề trình bày trong sáng kiến 
kinh nghiệm là chuyên đề được ứng dụng trong giảng dạy lớp bồi dưỡng nâng cao kiến 
thức cho học sinh khá giỏi lớp 10,luyện thi học sinh giỏi và tôt nghiệp THPT Quốc Gia 
cho học sinh lớp 12 đã được đúc kết trong quá trình giảng dạy nhiều năm cùng với sự góp 
ý sâu sắc của các thầy cô giáo trong tổ Toán trường THPT Lê Lợi.
 2.Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:
 Khi dạy học sinh phần bất đẳng thức hay bài toán tìm GTLN,GTNN thực tế đa số học 
sinh rất bế tắc ở cách dùng kỹ thuật này.
Một là: không định hướng được cách dùng bất đẳng thức Cauchy trong trường hợp nào.
Hai là: biết cần dùng bất đẳng thức Cauchy cho bài toán ,xong không biết vận dụng cho 
mấy số và những số nào thì hợp lý,thỏa mãn yêu cầu bài toán.
 Trong khi đó,hiện nay trên thị trường sách tham khảo có rất nhiều chủng loại sách cùng 
với hàng trăm tác giả và đa phần sách viết ở dạng trình bày lời giải không có sự phân 
tích,giải thích cặn kẽ làm cho học sinh khi đọc sách bị gò bó,áp đặt,không tự nhiên.
 3 B . PHẦN NỘI DUNG
I. Các giải pháp thực hiện.
 Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết nhận dạng được bài toán để 
đưa ra các dự đoán hợp lý. Sau đó hướng dẫn học sinh phân tích ,xây dựng phương pháp 
giải phù hợp.
II. Biện pháp tổ chức thực hiện.
 Để giúp học sinh sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy khi giải 
quyết các bài toán tìm Giá trị lớn nhất (GTLN) ,giá trị nhỏ nhất(GTNN) hay chứng minh 
bất đẳng thức, trước hết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức cở bản về bất 
đẳng thức . Sau đó giáo viên phân dạng phù hợp,chọn một số bài toán điển hình phù hợp 
cho các dạng giúp HS hiểu và nắm kỹ kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức 
Cauchy. 
1. Kiến thức toán có liên quan
 • Tính chất của bất đẳng thức:
 + A>B B A
 + A>B và B >C A C
 + A>B A+C >B + C
 + A>B và C > D A+C > B + D
 + A>B và C > 0 A.C > B.C
 + A>B và C < 0 A.C < B.C
 + 0 < A < B và 0 < C <D 0 < A.C < B.D
 + A > B > 0 A n > B n n
 + A > B A n > B n với n lẻ
 + A > B A n > B n với n chẵn
 + m > n > 0 và A > 1 A m > A n 
 + m > n > 0 và 0 <A < 1 A m < A n 
 1 1
 +A 0 
 A B
 • Bất đẳng thức Cauchy và dạng tương đương:
 Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số:
 a b
 Cho 2 số không âm a,b thì ta luôn có: ab .Dấu bằng xảy ra khi a=b.
 2
 Bất đẳng thức dạng tương đương:
 5 * Nhận xét. Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc m ) là giá trị lớn nhất (hoặc giá 
 trị nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D cần chỉ rõ :
 a) f (x ) £ M (hoặc f (x ) ³ m ) với mọi x Î D ;
 b) Tồn tại ít nhất một điểm x0 Î D sao cho f (x0 ) = M (hoặc f (x0 ) = m ).
2. Một số bài toán thường gặp và phương pháp tiếp cận vấn đề:
 Một vài khái niệm:
Điểm rơi trong các bất đẳng thức là giá trị đạt được của biến khi dấu “=” trong bất đẳng 
thức xảy ra.
Trong các bất đẳng thức dấu “=” thường xảy ra ở các trường hợp sau:
 • Khi các biến có giá trị tại biên. Khi đó ta gọi bài toán có cực trị đạt được tại biên
 • Khi các biến có giá trị bằng nhau(thường xảy ra với biểu thức đối xứng ). Khi đó ta 
 gọi bài toán có cực trị đạt được tại tâm.
Căn cứ vào điều kiện xảy ra của dấu “=” trong bất đẳng thức ta xét các kỹ thuật chọn 
điểm rơi trong các trường hợp trên.
Dạng 1:Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị xảy ra ở biên
BÀI TOÁN MỞ ĐẦU:
 1
Bài toán 1: Cho số thực a 1. Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của A 3a 
 2a
Sai lầm thường gặp là: Khi gặp bài toán này học sinh thường áp dụng ngay bất đẳng 
 1 1
thức Cauchy: A 3a 2 3a. 6 . Vậy GTNN của A là 6 .
 2a 2a
Nguyên nhân sai lầm: Chưa xét điều kiện dấu bằng xảy ra
 1 1
Ta thấy:GTNN của A là 2 3a a <1 vô lý vì theo giả thuyết thì a 1.
 2a 6
 1 a 1 5a a 1 5a 5.1 7
Lời giải đúng: A 3a 2 . 1 
 2a 2 2a 2 2 2a 2 2 2
 a 1
 Dấu “=” xảy ra hay a 1 thỏa mãn giả thiết. 
 2 2a
 7 a 2
 2 1
 a 2 8
 1 1 4
 a 2 4
 a 1 7a a 1 7a 1 7a 1 7.2 9
Sai lầm thường gặp là: A 2 . . Dấu 
 8 a 2 8 8 a 2 8 2a 8 2.2 8 4
“=” xảy ra a 2 .
Vậy GTNN của A là 9
 4
Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN của A là 9 là đáp số đúng nhưng cách giải trên 
 4
 1 1
mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: “ a 2 là sai”.
 2a 2.2
Vậy làm thế nào để khắc phục được sai lầm trên?nhận định thấy bậc của a ở mẫu bằng 
2,vậy phải ghép cặp với 2 số hạng bậc 1 của a.
 a a 1 6a a a 1 6a 3 6.2 9
Lời giải đúng: A 3.3 . . (kỹ thuật tách nghịch 
 8 8 a 2 8 8 8 a 2 8 4 8 4
đảo)
Dấu “=” xảy ra a 2
 9
 Vậy GTNN của A là 
 4
BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
 1
Bài 1: Cho 2 số thực dương a, b thỏa a b 1. Tìm GTNN của A ab 
 ab
Phân tích:
 2
 a b 1
Ta có: ab 
 2 4
Sơ đồ điểm rơi:
 ab 1
 1 4 1 1
 ab 4 
 4 1 4 16
 4
 ab
Giải:
Ta có: 
 9 Bài 3 (Đề thi HSG HÀ Nội-2013) :cho x,y dương thỏa mãn :x≥ 2y.Tìm GTNN của : 
 x2 y2
 S 
 xy
 x2 y2 x y
Phân tích : Đưa S về dạng S . Dấu bằng xảy ra khi x= 2y
 xy y x
 x
 2 
 y 1 1 x2 y2 x y x y 3x 5
Khi x=2y 2 nên S 
 y 1 2 4 xy y x 4y x 4y 2
 x 2
 x
(Do giả thiết x 2y 2 )
 y
Bài 4: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a 2b 3c 20 . Tìm GTNN của 
 3 9 4
 A a b c 
 a 2b c
Phân tích:
Dự đoán GTNN của A đạt được khi a 2b 3c 20 ,tại điểm rơi a 2,b 3,c 4.
Sơ đồ điểm rơi:
 a 2
 2 3 4
 a 2 
 3 3 2 3
 a 2
 b 3
   3 3
 b 3  2
 9 3  2
 2b 2
 c 4
   4
 c 4 1  4
 4 
 1
 c
Giải: Ta phân tích như sau:
 11 Dạng 2:Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bài toán cực trị đạt được tại tâm
BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: 
 a b ab
Bài toán 1:Cho a,b>0.Tìm min của S 
 ab a b
 a b ab a b ab
Sai lầm thường gặp là: S 2 . 2 min S 2
 ab a b ab a b
Nguyên nhân sai lầm :chưa xét điều kiện dấu “=” xảy ra.
 a b ab
minS= 2 khi  ab a b 2 ab 1 2 vô lý.
 ab a b
Phân tích:
Do S là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
 5
 a b khi đó GTNN của A= 
 2
 a b ab
Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số , vì không thỏa mãn 
 ab a b
 a b ab
quy tắc dấu “=”. Vì vậy ta phải tách hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức 
 ab a b
Cauchy thì thỏa quy tắc dấu “=”. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 
 a b ab a b ab
( , ) sao cho tại “Điểm rơi a b” thì , ta có sơ đồ sau:
 ab a b ab a b
Sơ đồ điểm rơi:
 a b 2
 ab 2 1
 a b 4
 ab a2 1 2
 a b 2a 2
 a b ab 3(a b) a b ab 3(a b) 3(a b) 5
Giải đúng: S 2 . 1 
 a b
 4 ab a b 4 ab 4 ab a b 4 ab 4. 2
 2
Dấu = xảy ra khi a=b
 13 a b c 1
 1 2 1 1
 a b c 2 
 2 1 1 1 2 4
 2
 a b c
Giải: Ta phân tích biểu thức như sau:
 1 1 1 
 A 4a 4b 4c 3a 3b 3c
 a b c 
 1 1 1
 66 4a.4b.4c. . . 3 a b c 
 a b c
 9 13
 12 
 2 2
 1
Dấu “=” xảy ra a b c 
 2
 13
 Vậy GTNN của A là 
 2
 3
Bài 2: Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a b c . Tìm GTNN của
 2
 1 1 1
 A a 2 b 2 c 2 
 a b c
Phân tích:
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN của A đạt tại 
 1
 a b c 
 2
Sơ đồ điểm rơi:
 1
 a 2 b 2 c 2 
 1 4 1 2
 a b c 8
 2 1 1 1 2 4 
 a b c 
Giải:
 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 3 3
Ta có thể phân tích A a b c 
 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4a 4b 4c
 2 2 2 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 
 9 9 a .b .c . . . . . . 
 8a 8b 8c 8a 8b 8c 4 a b c 
 15