Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khai thác và vận dụng một bài tập sách giáo khoa Hình học 12 nhằm rèn luyện năng lực tư duy lôgíc cho học sinh

 I - MỞ ĐẦU.
1. Lý do chọn đề tài.
 Ở trường THPT dạy toán là hoạt động toán học cho học sinh, trong đó giải 
toán là hình thức chủ yếu. Để rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ngoài việc 
trang bị tốt kiến thức cơ bản cho các em giáo viên cần hướng dẫn học sinh phát 
triển, mở rộng kết quả các bài toán cơ bản có trong sách giáo khoa để các em có 
cơ hội suy nghĩ tìm tòi những kết quả mới sau mỗi bài toán. Thực tế, ở các nhà 
trường phổ thông hiện nay phần lớn giáo viên chưa có thói quen khai thác và phát 
triển một bài toán thành chuỗi các bài toán liên quan cho học sinh. Mà chủ yếu 
chỉ dừng lại ở các bài tập đơn lẻ làm cho học sinh thụ động, khó tìm được mối 
liên hệ giữa các kiến thức đã học. Cho nên khi gặp một bài toán mới các em 
không biết xuất phát từ đâu?. Những kiến thức cần sử dụng là gì?. Nó liên quan 
như thế nào với các bài toán đã học?. Trong thực tiễn giảng dạy của bản thân tôi 
thấy việc tìm tòi mở rộng các bài tập sách giáo khoa là phương pháp học khoa 
học, có hiệu quả nhất của một tiết bài tập. Phát triển từ dễ đến khó là con đường 
phù hợp cho học sinh khi rèn luyện kỹ năng giải toán. Việc tìm tòi để phát triển, 
mở rộng các bài toán làm tăng thêm hứng thú học tập, óc sáng tạo của học sinh. 
Từ đó giúp các em có cơ sở khoa học khi phân tích, phán đoán tìm lời giải cho 
các bài toán khác và ngày càng tự tin hơn vào khả năng giải toán của mình.
 Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán, đặc biệt là bồi dưỡng học sinh giỏi 
đối với giáo viên gặp không ít khó khăn, nhất là nguồn tại liệu để phục vụ cho 
giảng dạy phải có tính hệ thống theo từng chuyên đề khai thác sâu từ những kiến 
thức cơ bản của sách giáo khoa. Để có được điều đó, đối với giáo viên không 
ngừng nghiên cứu và có ý thức tích lũy một cách có hệ thống theo từng mảng 
kiến thức trong suốt quá trình giảng dạy cũng như sắp xếp nó theo một hệ thống 
có tính logic cao. Đặc biệt là khai thác sâu từ những kiến thức nền trong sách 
giáo khoa.
 Mặc dù có rất nhiều tài liệu viết về ứng dụng của phương pháp tỉ số thể tích, 
nhưng cũng chỉ dừng lại ở việc ứng dụng phương pháp tỉ số thể tích để tính thể 
tích, tính tỉ số thể tích, tính khoảng cách chứ chưa đi sâu vào ứng dụng nó để giải 
các bài toán mở rộng. Từ những lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu của mình là: 
“Hướng dẫn học sinh khai thác và vận dụng một bài tập sách giáo khoa hình 
học 12 nhằm rèn luyện năng lực tư duy lôgíc cho học sinh”.
2. Mục đích nghiên cứu. môn Toán nói chung và phần hình học nói riêng, dẫn đến các em không hứng thú 
trong việc học môn Toán.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
 Xuất phát từ bài toán trong SGK hình học 12 cơ bản và xem nó như là bài 
toán gốc cho trình tự nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này.
 Bài toán: Cho khối chóp S.ABC trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm 
 V SA' SB' SC'
 A’, B’, C’ khác với S. Chứng minh rằng: S.A 'B'C' . . . Trong đó 
 VS.ABC SA SB SC
 VS.A’B’C’ và VSABC lần lượt là thể tích của khối chóp S.A’B’C’ và S.ABC
 (Bài tập 4- Tr25 - SGK hình học 12 ban cơ bản)
 Lời giải:
Gọi H’ và H lần lượt là hình chiếu của A’ và A lên mặt phẳng (SBC) khi đó ta có: 
 1
 A'H'.S SB'C' ·
 VS.A'B'C' 3 A'H'.S SB'C' A'H'.SB'.SC'sinBSC A'H'.SB'.SC'
 A
 V 1 AH.S · AH.SB.SC
 S.ABC AH.S SAB AH.SB.SCsinBSC
 3 SAB
 A'
 A'H' SA'
Ta có: SH’A’ SHA. Nên: 
 AH SA
 B'
 B S
Do đó: H'
 H
 C'
 V SA' SB' SC'
 S.A'B'C' . . Vậy, ta có điều phải chứng minh.
 VS.ABC SA SB SC
 C
Xem bài toán nêu trên là bài toán gốc, ta lần lượt khai thác bài toán trên dưới 
những góc độ khác nhau. Sau đây, tôi xin đưa ra bốn hướng khai thác bài toán 
trên để hướng dẫn học sinh giải quyết tốt các bài toán hình học không gian.
Hướng 1: Ứng dụng bài toán gốc để giải bài toán 
 S
tìm tỷ số thể tích.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác 
vuông cân tại C cạnh bên SA vuông góc với mặt B’
phẳng (ABC) có SA=AB. Mặt phẳng ( ) qua A và 
vuông góc với SB cắt SB tại B’ cắt SC tại C’ (B’ và 
 C B
 A ’
 C Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC lấy M và N lần lượt trên các cạnh SA và SB sao 
 SM 1 SN
cho , 2 . Mặt phẳng (α) qua MN song song với SC chia khối chóp 
 MA 2 NB
thành hai phần, tìm tỉ số thể tích của hai phần đó.
Lời giải:
Kéo dài MN cắt AB tại I, kẻ MD song song SC (D AC); E =DICB. Khi đó tứ 
giác MNED là thiết diện khối chóp cắt bởi (α).
 S
 M J
 N
 A B
 I
 E
 D
 C
 VA.MDI AM AD AI 2 2 4 16 16
Ta có: . . . . Vậy VA.MDI VA.SCB 
 VA.SCB AS AC AB 3 3 3 27 27
 1 4
(Do kẻ MJ//AB ta có : NMJ NIB , BJ NJ BI AB ;AI AB)
 3 3
 V IB IN IE 1 1 1 1
Ta lại có: IBNE . . . . 
 VIAMD IA IM ID 4 2 2 16
 1 1 16 1
Suy ra: V V . V V
 I.BNE 16 A.MDI 16 27 S.ABC 27 S.ABC
 16 1 5
 V V V V V V
 AMDEN AMDI IBNE 27 S.ABC 27 S.ABC 9 S.ABC
Gọi VSMDCEN là phần thể tích còn lại ta có :
 4
 V V V V
 SMDCEN S.ABC AMDEN 9 S.ABC
 5
 V
 V S.ABC 5
Vậy: AMDBNE 9 
 V 4 4
 SMDCEN V
 9 S.ABC
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a; 
SA SB SC 2a . Gọi M là trung điểm của cạnh SA; N là giao điểm của đường 1 1
 V V V V V .
 S.BCNM S.BCM S.CNM 2 S.BCA 4 S.CAD
 1
Ta có: V SA.S
 S.ABC 3 ABC
 1 1 1
 SA. BA.BC a3
 3 2 3
 1
 và: V .SA.S
 S.ACD 3 ACD
 1 1 1 1 2
 .SA. CA.CD .2a. a 2.a 2 a3
 3 2 3 2 3
 1 1 a3 2a3 a3
Vậy: V V V V V 
 S.BCNM S.BCM S.CNM 2 S.BCA 4 S.CAD 2.3 4.3 3
 1 1 a3 2a3 a3
 Nên: V V V V V .
 S.BCNM S.BCM S.CNM 2 S.BCA 4 S.CAD 2.3 4.3 3
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là 
tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung 
điểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a
 Lời giải : 
 S
 V CN CP 1
 Ta có: CMNP . (1)
 VCMBD CB CD 4 M
 V V MB 1
 CMBD M.BCD (2)
 VCSBD VS.BCD SB 2 A a B
 Nhân theo vế (1) với (2) ta có:
 H
 VCMNP 1 1
 VCMNP .VS.BCD N
 VS.BCD 8 8
 Gọi H là trung điểm của AD ta có SH  AD mà 
 D P C
 (SAD)  (ABCD) nên SH (ABCD)
 1 1 a 3 1 a3 3
 Do đó: V .SH.S . . a 2 
 S.BCD 3 BCD 3 2 2 12
 a3 3
 Vậy: V (đvtt)
 CMNP 96
Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a; SA = a 3 và SA vuông 
góc với đáy, mặt phẳng (P) qua A vuông góc với SC và cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, 
C’, D’.Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ theo a .
 (Trích đề thi HSG Tỉnh Hải Dương 2012) SH SK SI 2
 (3)
 SC SA SO 3
Theo công thức tính tỉ số thể tích ta có:
 V SM SB SK 1 V SM SH SB 1
 SMBK . . ; SMHB . . .
 VSDBA SD SB SA 3 VSDCB SD SC SB 3
 1 1 1 2
 VSKMHB =VSKMB + VSMHB = V V .V = 2.a b (đvtt)
 3 S.DBC S.DBA 3 S.ABCD 3
Hướng 3: Ứng dụng bài toán gốc vào chứng minh các đẳng thức hình học.
Việc chứng minh và ứng dụng các đẳng thức thức hình học không gian là rất quan 
trọng song không hề dễ dàng để chứng minh các đẳng thức đó . Sau đây tôi xin 
đưa ra một ra một số đẳng thức quan trong và việc chứng minh hết sức đơn giản 
bằng việc vận dụng bài toán gốc nói trên . 
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Mặt phẳng ( ) 
cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại A’, B’, C’, D’.
 SA SC SB SD
Chứng minh rằng: .
 SA' SC' SB' SD'
Lời giải :
 S
 D'
 C'
 D C
 A' B'
 B
 A
Xét các hình chóp S.ABC và S.ADC ta có:
 V SA' SB' SC'
 S.A 'B'C' . . (1)
 VS.ABC SA SB SC
 V SA' SD' SC'
Và: S.A 'D 'C' . . (2)
 VS.ADC SA SD SC
 1
Vì: V V V . Cộng theo vế (1) và (2) ta có:
 S.ABC S.ACD 2 S.ABCD 1 V V V 
 S.A 'B'G ' S.A 'C'G ' S.B'C'G ' 
 3 VS.ABG VS.ACG VS.BCG 
 1 SA' SB' SG ' SA' SC' SG ' SB' SC' SG ' 
 . . . . . . 
 3 SA SB SG SA SC SG SB SC SG 
 1 SA' SB' SC' SG ' SC SB SA 
 . . . (2)
 3 SA SB SC SG SC' SB' SA' 
Từ (1) và (2) ta có:
 SA SB SC SG
 3 . Suy ra điều phải chứng minh. 
 SA' SB' SC' SG '
Ví dụ 3 : Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a ,AH là đường cao của tứ diện và O 
là trung điểm của AH. Một mặt phẳng qua O cắt các cạnh AB, AC, AD lần 
 1 1 1 6
 lượt tại M ,N ,P . CMR: .
 AM AN AP a
Lời giải : 
 V AM AN AN
Ta có : A.MNP . . (1) 
 VA.BCD AB AC AD
 V V V V
Mặt khác : A.MNP A.MON A.NOP A.PON
 VA.BCD VA.BCD
 VA.MON VA.NOP VA.PON
 VA.BCD VA.BCD VA.BCD
 VA.MON VA.NOP VA.PON 1
 (Do VA.BCH = VA.CDH = VA.BDH = VA.BCD )
 3VA.BCH 3VA.CDH 3VA.BDH 3
 1 AM AN AO AN AP AO AP AM AO 
 = . . . . . . 
 3 AB AC AH AC AD AH AD AB AH 
 1 1 AM AN AN AP AP AM 
 = . . . . 
 3 2 AB AC AC AD AD AB 
 1 AM AN AP AD AB AC 
 = . . (2) 
 6 AB AC AD AP AM AN 
 AM AN AN 1 AM AN AP AD AB AC 
 Từ (1) và (2) ta có : . . = . . 
 AB AC AD 6 AB AC AD AP AM AN 
 1 a a a 
 1 
 6 AM AN AP 
 1 1 1 6
 Hay ta có : . Suy ra điều phải chứng minh .
 AM AN AP a