Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh khá giỏi giải một số dạng toán điển hình về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình chứa tham số

 MỤC LỤC
Thứ tự Nội dung Trang
 1 Mục lục 1
 2 Phần A: Mở đầu 1
 3 I. Lí do chọn đề tài 1
 4 II. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 2
 5 III. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu 2
 6 IV. Phương pháp nghiên cứu 2
 7 Phần B: NỘI DUNG 2
 8 I. Cơ sở lý luận 3
 9 II. Thực trạng của vấn đề 3
 10 III. Giải pháp và tổ chức thực hiện 3
 11 1. Phương pháp giải 4
 12 2. Ví dụ minh họa 4
 13 3. Bài tập tương tự 15
 14 IV. Kết quả đạt được 16
 15 Phần C: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 17
 16 Tài liệu tham khảo 18
 1 4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.
 Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu 
tôi đã sử dụng các phương pháp sau:
 - Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
 - Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
 - Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,).
 - Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS 
 thông qua trao đổi trực tiếp).
 - Phương pháp thực nghiệm.
 PHẦN B: NỘI DUNG SKKN
 I. CƠ SỞ LÍ LUẬN:
 1. Lí luận chung:
 Chương trình giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ 
động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng 
học sinh, điều kiện của từng lớp học, bồi dưỡng học sinh phương pháp tự học, 
khả năng hợp tác, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động 
đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh. 
 Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn 
luyện các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực...được xây 
dựng trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, 
tích cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ 
đã được đề ra.
 2. Kiến thức vận dụng:
 a) Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo 
 hàm của các hàm số thường gặp, công thức tính đạo hàm của hàm hợp.
 b) Để giải các PT, HPT, BPT, HBPT có chứa tham số bằng phương pháp 
 đạo hàm ta cần nắm cần nắm vững các mệnh đề sau:
 Cho hàm số y f (x)liên tục trên tập D
 1: Số nghiệm của phương trình f(x)=g(x) bằng số giao điểm của hai đồ thị 
 hàm số y=f(x) và y=g(x).
 2: Phương trình f (x) m có nghiệm x D min f x m max f x 
 x D x D
 3: BPT f (x) mcó nghiệm x D min f x m
 x D
 4: BPT f (x) m nghiệm đúng với mọi x D max f x m
 x D
 5: BPT f (x) m có nghiệm x D max f x m
 x D
 6: BPT f (x) m, nghiệm đúng với mọi x D min f x m
 x D
 7: Cho hàm số y f (x) đơn điệu trên tập D Khi đó 
 f u f v u v (với mọi u,v D )
 II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:
 3 Phương trình trở thành: t 2 t 24 m ; t 0;5 
 Xét hàm số f t t 2 t 24 trên đoạn 0;5
 Ta có bảng biến thiên sau: 
 t 0 1 5
 2
 97
 f t 4
 24 4
 97
 Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi 4 m 
 4
 97
 Vậy 4 m 
 4
Nhận xét:
 Với bài toán trên thì việc đặt ẩn phụ là thích hợp, tuy nhiên các em nhớ là 
phải tìm điều kiện chính xác của ẩn phụ.
Ví dụ 2 : Tìm tham số m để phương trình. 
 m 1 x2 1 x2 2 2 1 x4 1 x2 1 x2 có nghiệm.
Lời giải:
 ĐK 1 x 1 
Đặt t 1 x2 1 x2 1 x 1 0 t 2 ( lập bảng biến thiên)
 t 2 t 2
Khi đó phương trình được đưa về dạng m 0 t 2 
 t 2 
 t 2 t 2
Lập bảng biến thiên hàm số f t ta tìm được 1 2 f t 1 
 t 2
Vậy để PT có nghiệm thì 1 2 m 1
Ví dụ 3: 
Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 3 x 1 m 1 x 1 2 4 x2 1
Lời giải: 
Điều kiện: x 1. 
Phương trình đã cho 3 x 1 2 4 x 1 m 1 1 . 
 x 1 x 1 
 x 1 2 2
Đặt t 4 4 1 0,1 . Khi đó (1) trở thành 3t 2t m 1 2 
 x 1 x 1 
 5 Ví dụ 5: 
Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm 
thực phân biệt: 
 4 2x 2x 2 4 6 x 2 6 x m 6 
Lời giải: 
Điều kiện 0 x 6
Đặt f x 4 2x 2x 2 4 6 x 2 6 x ; x 0;6
 1 1 1 1 1 
Ta có: f x , x 0;6 
 2 4 3 4 3 
 2x 6 x 2x 6 x 
Đặt u x 1 1 ;v x 1 1 , x 0,6 
 4 2x 3 4 6 x 3 2x 6 x
 u x ,v x 0,x 0,2 f (x) 0,x 0,2 
 u 2 v 2 0 f (x) 0,x 2,6 
 u x ,v x 0,x 2,6 f (2) 0
(Nghĩa là: u 2 v 2 0 f ' 2 0 và u x ,v x luôn dương khi 
 x 0;2 và âm khi x 2;6 ). Do đó ta có bảng biến thiên:
 x 0 2 6
 f’(x) + 0 -
 6 3 2
 f(x) 
 2 6 2 4 6 
 4 12 2 3 
 Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là: 
 2 6 2 4 6 m 6 3 2 6 .
 Vậy 2 6 2 4 6 6 m 3 2
Ví dụ 6: (Khối D 2007)
 Tìm m để PT sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2 mx 2 2x 1 1 
Lời giải:
Phương trình đã cho tương đương với:
 7 1 u 2 u
Với u , ta có: 1 m 2u 1 u 2 u m 
 4 2u 1
 u 2 u 1
Xét hàm số f u , với u ; ta có: 
 2u 1 4
 2u 2 2u 1 1 3
 f ' u ; f ' u 0 u 
 2u 1 2 2
 Bảng biến thiên 
 2 3
 Suy ra giá trị cần tìm là: m 
 2
 2
 x 3 y m
Ví dụ 8: Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
 2 2
 y 5 x x 5 3 m
Lời giải: 
Nhận thấy nếu hệ có nghiệm x0 ; y0 thì hệ cũng có các nghiệm x0 ; y0 ;
 x0 ; y0 ; x0 ; y0 . Vì thế nghiệm duy nhất của hệ chỉ có thể là 
 x y 0 từ đó suy ra m 3 ( điều kiện cần)
Điều kiện đủ: khi m 3 thì hệ có dạng 
 2
 x 3 y 3
 dễ thấy hệ có nghiệm duy nhất x y 0 
 2 2
 y 5 x x 5
Vậy m 3 .
Nhận xét:
 Đối với bài toán chứa tham số mà yêu cầu phương trình, hệ có nghiệm 
duy nhất thì phương pháp giải thường sử dụng điều kiện cần và đủ như ví dụ 4,9 
đã trình bày. 
 Đối với các bài toán về Bất PT chứa tham số thì phương pháp cơ bản 
cũng tương tự như các bài toán về PT chứa tham số như trên. Tuy nhiên ta cần 
bám sát và vận dụng các mệnh đề: 3,4,5,6 trong phần kiến thức vận dụng. Ta xét 
thêm một số dạng toán sau:
Dạng 4: Tìm tham số để bất phương trình có nghiệm
 2 2 2
Ví dụ 9: Tìm m để bất phương trình 2sin x 3cos x m3sin x có nghiệm.
 9 Lời giải: 
 2x 2
 Đặt t x2 2x 2 ; t' 0 x 1
 2 x2 2x 2
 ta có bảng biến thiên
 x 0 1 1 3 
 t ' 0 
 2 2
 t
 1
 Từ đó 1 t 2. Với 1 t 2, ta biến đổi 
 t x2 2x 2 t 2 x2 2x 2 t 2 2 x 2 x . 
 t 2 2
 Bất phương trình (1) trở thành 2m 1 t 1 t 2 2 2m 1 
 t 1
 (2)
 t 2 2
 Xét hàm số f t , 1 t 2 
 t 1
 t 2 2t 2
 f ' t 0,t 1;2. Suy ra hàm số f t đồng biến trên 1;2
 t 1 2
 Bảng biến thiên 
 t 1 2 
 f t ' 
 2
 f t 3
 1
 2
 Từ bảng biến thiên, bất phương trình (1) có nghiệm x 0;1 3 khi và chỉ 
khi bất phương trình (2) có nghiệm t 1;2.
 2
 Điều này xảy ra khi và chỉ khi 2m 1 max f t f 2 
 t 1;2 3
 1
Vậy m 
 6
 11 Lời giải: 
điều kiện: x 0
 Bất phương trình (2) (2x )2 3.2 x.2x 4.22 x 0
 2x 2 x . 2x 4.2 x 0 2x 4.2 x 0 x x 2
 x x 2 0 0 x 2 0 x 4. Đối chiếu ĐK được 0 x 4 (*)
Do đó: Hệ bất phương trình có nghiệm x3 3mx 2 0 có nghiệm x 0;4
Với x 0 thì (1) không thỏa mãn.
 2
Với 0 x 4 : (1) có nghiệm thỏa mãn x 0;4 m x2 g x có nghiệm 
 x
 x 0;4 m min g(x) . 
 0;4
 2 2
Xét g(x) x2 với x 0;4 . Có g'(x) 2x =0 x=1. Bảng biến thiên : 
 x x2
 x 0 1 4
 g’(x) - 0 +
 + 
 33
 g(x) 
 2
 3 
Từ bảng biến thiên suy ra: min g(x) g(1) 3. 
 0;4
Vậy m 3 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 14: (HSG Thanh Hóa 2016).
 Tìm để hệ bất phương trình có nghiệm .
Giải: Bất phương trình thứ nhất trong hệ có tập nghiệm là 
Với x 1;3 , bất phương trình thứ hai tương đương với :
 2 4
 x x 4 x 16 4 2 16 
 m 2 m x 1 x 2 .
 x x x x 
 4 2 16 4
Xét hàm số f (x) x 1 x 2 , đặt t x do suy ta 
 x x x
Hàm số f (x) trở thành hàm g t t3 t 2 8t 8 Dễ tìm được GTNN của hàm 
 g t t3 t 2 8t 8 trên 4;5 là 24 .
Do đó hệ có nghiệm khi và chỉ khi m 24 .
 13