Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong thi tốt nghiệp THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi

 PHẦN MỘT: MỞ ĐẦU
I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
 1. Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành 
đội ngũ lao động có tri thức và tay nghề, có năng lực thực hành, năng động, sáng tạo, có 
đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn kiện Đại hội 
Đảng toàn quốc lần thứ VII). Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa 
XI), ngày 29/10/2012 cũng đã ban hành Kết luận số 51 KL/TW về Đề án “Đổi mới căn 
bản, toàn diện giáo dục và đào tạo, đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa trong 
điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế”. Trong 
những năm qua giáo dục nước ta đã và đang có những đổi mới mạnh mẽ cả về nội dung, 
phương pháp và đã thu được những kết quả khả quan.
 2. Việc đổi mới phương pháp dạy học là vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo 
những con người có năng lực hoạt động trí tuệ tốt. Đổi mới phương pháp dạy học không 
chỉ trong các bài giảng lí thuyết, mà ngay cả trong quá trình luyện tập. Luyện tập ngoài 
việc rèn luyện kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận mà thông qua qua đó còn giúp học 
sinh biết tổng hợp, khái quát các kiến thức đã học, sắp xếp các kiến thức một cách hệ 
thống, giúp học sinh vận dụng các kiến thức đã học vào giải bài tập một cách năng động 
sáng tạo.
 3. Về mặt phương pháp, từ các phương pháp dạy truyền thống như phương pháp dùng 
lời (thuyết trình, đàm thoại ...), các phương pháp trực quan, các phương pháp thực hành, 
luyện tập.... đến các xu hướng dạy học hiện đại như: dạy học giải quyết vấn đề, lý thuyết 
tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, có sử dụng 
máy tính đã tạo ra một không khí học tập hoàn toàn mới. 
 4. Với tinh thần đó, tôi cũng đã có những đổi mới về mặt phương pháp giảng dạy để 
phù hợp với giáo dục trong giai đoạn hiện nay. Trong công tác giảng dạy, tôi đã luôn trau 
dồi, tích luỹ kinh nghiệm qua từng bài học, qua từng tiết dạy cũng như đã dự nhiều tiết 
dạy của đồng nghiệp giúp tôi ngày càng hoàn thiện từ đó giúp các em học sinh hăng say 
trong tìm tòi nghiên cứu và học tập, các em đã linh hoạt và sáng tạo hơn trong con đường 
chiếm lĩnh tri thức của mình.
 1 PHẦN HAI: NỘI DUNG
A. CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải một bài toán ta thường thực hiện 2 bước:
Bước 1: Huy động kiến thức: Là một thao tác tư duy nhằm tái hiện các kiến thức có liên 
quan với bài toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, các bài toán đã gặp, do đó người làm 
toán phải biết và cần biết ý tưởng kiểu như: ta đã gặp bài toán nào gần gũi với bài toán 
này hay chưa? Nhà bác học Polia đã viết ra một quyển sách kinh điển với nội dung: 
"Giải bài toán như thế nào trong đó ông có đề cập đến nội dung trên như một điều 
kiện thiết yếu”.
Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là một tổ hợp các hành động, thao tác để sắp xếp các kiến 
thức đã biết và các yêu cầu của bài toán lên hệ với nhau như thế nào để từ đó trình bày 
bài toán theo một thể thống nhất. Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà 
trong đó phương pháp tương tự hay tổng quát hóa là những thao tác tư duy cần thiết cho 
người làm toán. 
B. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU
 1. Trong chương trình Toán cấp THCS và THPT học sinh thường gặp nhiều bài 
toán về phương trình và bất phương trình vô tỉ (có ẩn trong dấu căn thức). Như vậy 
vấn đề đặt ra là làm thế nào để có thể giải tốt được loại toán này? Để trả lời được câu 
hỏi đó bản thân học sinh cần có kiến thức và nắm vững kỹ năng giải toán. Song hiểu 
theo cách nói là một lẽ, nhưng để giải quyết tốt loại toán này lại là một vấn đề không 
dễ. Khi làm các bài tập dạng này đa số học sinh còn gặp nhiều khó khăn, lời giải 
thường thiếu chặt chẽ dẫn đến không có kết quả tốt, hoặc nếu có thì kết quả cũng 
không cao. 
 2. Với những đặc điểm như vừa nêu, tôi cũng đã nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tài 
liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận các 
bài toán về phương trình, bất phương trình vô tỉ một cách đơn giản, nhẹ nhàng nhưng vẫn 
đảm bảo các yêu cầu cần thiết của đối với nội dung này, giúp học sinh có cái nhìn cụ thể, 
rõ ràng hơn đối với một trong những vấn đề khó ở trường phổ thông, bởi vậy tôi chọn đề 
tài “ Hướng dẫn học sinh giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trong thi tốt 
nghiệp THPT Quốc Gia và thi học sinh Giỏi”. Tôi mong rằng qua đề tài này có thể 
góp phần làm tăng thêm khả năng tư duy khoa học, khả năng thực hành, kỹ năng giải 
toán... về phương trình và bất phương trình vô tỉ của phần đa các em học sinh.
 3 Ví dụ 1: Giải phương trình 3x2 4x 1 2x 2
Lời giải: Phương trình tương đương với hệ 
 2x 2 0 x 1 x 1
 S 1;3
 2 2 2 .Vậy, tập nghiệm của PT là  .
 3x 4x 1 (2x 2) x 4x 3 0 x 1 x 3
Ví dụ 2: Giải phương trình x2 4x 3 2x 5
Lời giải: Phương trình tương đương với hệ 
 5
 5 x 
 2x 5 0 x 2 14 14
 x S
 2 2 2 . Vậy 
 x 4x 3 4x 20x 25 2 14 5 5 
 5x 24x 28 0 x  x 2
 5
Dạng 2. Bất phương trình f (x) g(x) (2).
 g(x) 0
Đối với bất phương trình dạng (2) ta đưa về giải hệ f (x) 0
 2
 f (x) g(x)
Ví dụ 3: Giải bất phương trình x2 4x 3 x 1. (3) 
 x 1 0 x 1 1
 x 1
Lời giải: Bất phương trình (3) x2 4x 3 0 x 1 x 3 3
 2 2 x 3
 x 4x 3 (x 1) 6x 2 0 
 1 
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S ;1 3; .
 3 
Ví dụ 4: Giải bất phương trình 2(x2 1) x 1.
Lời giải: Bất phương trình tương đương hệ sau
 2(x2 1) 0 x 1 x 1
 x 1 x 1 x 1
 x 1 0 x 1 .
 1 x 3 1 x 3
 2 2 2 
 2(x 1) (x 1) x 2x 3 0
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là S [1;3] 1 .
Dạng 3. Bất phương trình f (x) g(x) (III).
Đối với bất phương trình dạng (3) được ta đưa về giải hai hệ
 g(x) 0 g(x) 0
 là (A) và hệ 2 (B)
 f (x) 0 f (x) g(x)
Ví dụ 5: Giải bất phương trình x2 4x x 3 .
 5 5 2x 0
 2 (2x 3)(2x) 5 2x
 2 (1’)
 4(2x 3)(2x) (5 2x)
 5
 5 x 
 x 2 1 1 
Ta có (1’) 2 x . Vậy, tập nghiệm là S .
 2 1 25 2 2
 12x 44x 25 0 x  x 
 2 6
Ví dụ 2: Giải bất phương trình 5x 1 4x 1 3 x (2)
 1
Lời giải: Điều kiện xác định: x 
 4
 1
Ta có (2) 5x 1 4x 1 3 x 6 4x2 x 2 8x (2’), vì x 2 8x 0 , do đó BPT 
 4
 1
(2’) luôn thỏa mãn. Vậy, tập nghiệm cần tìm là S [ ; ) .
 4
Ví dụ 3: Giải bất phương trình x 2 x 1 2x 3 (3)
 3
Lời giải: Điều kiện xác định: x 
 2
Ta có (3) x 2 2x 3 x 1 x 2 3x 4 2 2x 3. x 1 x2 5x 3 3 x (3’)
 3 x 0 3 3
 2 x 3 x 3 3
(3’) 2x 5x 3 0 2 2 x 2 .
 2
 2 2 2 3 x 2
 2x 5x 3 (3 x) x x 6 0 
 3 
Tập nghiệm của bất phương trình là S ;2 .
 2 
Ví dụ 4: Giải phương trình x2 x x2 2x x2 3x (4)
 2
 x x 0 x 2
 2 
Lời giải: Điều kiện: x 2x 0 x 0
 2 x 3
 x 3x 0 
Bình phương cả hai vế phương trình đã cho ta được
 (x2 x) (x2 2x) 2 x2 x. x2 2x x2 3x 2 x2 x. x2 2x 6x x2
 0 x 6 x 0
 6x x2 0 
 x2 0 
 2 2 2 2 2 21
 4(x x)(x 2x) (6x x ) 2 x 
 3x 28 3
 2 21 
Vậy, tập nghiệm của phương trình là S 0; 
 3  
 7 2. Các trường hợp thường gặp trong đối với cách đặt ẩn phụ:
Loại 1: Trong phương trình, bất phương trình có chứa: f (x) , f (x)
* Trong trường hợp này ta thường đặt t f (x)
Ví dụ 1: Giải phương trình 2x2 4x 1 1 2x x2 .
Lời giải: Đặt t 2x2 4x 1 (t 0 ) t 2 2x2 4x 1. Phương trình trở thành
 1 3
 t 2 t 0 t 1 t 3 .Vì t 0 nên ta chọn t 1 2x2 4x 1 1 2x2 4x 0
 2 2
Giải phương trình ta được x 0, x 2 .
Ví dụ 2: Giải bất phương trình x 1 x 4 5 x2 5x 28 .
Lời giải: Đặt t x2 5x 28 (t 0 ) t 2 x2 5x 28 . Bất phương trình trở thành
 t 2 5t 24 0 3 t 8 . Vì t 0 nên ta có t 8 x2 5x 36 0 9 x 4 .
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S ( 9;4) .
Loại 2: Phương trình, bất phương trình đã cho hoặc biến đổi về dạng 
 A f (x) g(x) B f (x).g(x) C.h(x) 0 (hoặc A f (x) g(x) B f (x).g(x) C.h(x) 0
Trong đó: A, B, C là các hằng số, f (x), g(x), h(x) là các biểu thức của x.
* Trong trường hợp này ta thường đặt t f (x) g(x) rồi biến đổi đưa phương trình, 
bất phương trình về ẩn t.
Ví dụ 3: Giải phương trình 2(x 1)(x 2) 2 (3 x x2 ) x2 x 2 .
Lời giải: Điều kiện xác định: x ¡
Phương trình tương đương với 2(x2 x 2) 6 [5 (x2 x 2)] x2 x 2 .
Đặt t x2 x 2 (t 0 ). Phương trình trở thành 2t 2 6 (5 t 2 )t t3 2t 2 5t 6 0
 (t 2)(t 1)(t 3) 0 t 2 (vì t 0 ) từ đó ta được x2 x 2 4 x2 x 2 0 
 x 2  x 1. Vậy, tập nghiệm của phương trình là S 2;1.
Ví dụ 4: Giải phương trình 2 x x 5 2x x2 7 .
Lời giải: Điều kiện xác định: 0 x 2 . 
Đặt t 2 x x t 2 2 2 2x x2 (với t 0 ), phương trình trở thành
 5 5 12
 t t 2 2 7 t 2 t 12 0 t 2 hoặc t 
 2 2 5
Do t 0 nên ta chọn t 2 2x x2 1 x2 2x 1 0 x 1.
 9