Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực trị trong hình học Giải tích lớp 12

 MỤC LỤC
 Trang
 A.Đặt vấnđề .........................................................................................................2 
I.Lời nói đầu...............................................................................................................2
II.thực trạng của vấn đề..............................................................................................2
 B.Giải quyết vấn đề ...........................................................................3
I. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.........................................................3
II. Các dạng bài tập thường gặp.................................................................................3
 C.Kêt luận.........................................................................................................20
 1 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Nhắc lại một số dạng toán hay được sử dụng.
1 Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)
-Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên (α).
-Viết phương trình đường thẳng MH(qua M 
và vuông góc với (α))
- Tìm giao điểm H của MH và (α). 
*Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đối xứng với Mqua 
mặt phẳng (α) thì ta vẫn tìm hình chiếuH của M 
lên (α), dùng công thức trung điểm suy ra tọa độ 
M’.
b.Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên 
đường thẳng d:
-Viết phương trình tham số của d
- Gọi H d có tọa độ theo tham số t 
- H là hình chiếu vuông góc của điểm M lên d khi 
 ud MH 0
-Tìm t, suy ra tọa độ của H.
II. Các dạng bài tập thường gặp
1.Các bài toán cực trị liên quan đến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.
Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, ..An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ .+kn = k ≠ 0 
và đường thẳng d hay mặt phẳng (α). Tìm điểm M trên đường thẳng d hay mặt 
    
phẳng (α) sao cho k1 MA1 k2 MA2 ... kn MAn có giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải:    
-Tìm điểm I thỏa k IA1 + k IA +...+ k IA 0
  1 2 2 n n   
-Biến đổi : k1 MA1 + k2 MA2 +...+ kn MAn = (k1 + k2 +...+ kn )MI = k MI
  
 Tìm vị trí của M khi MI đạt giá trị nhỏ nhất
 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): 2x – 2y + 3z + 10 = 0 và ba điểm A 1;0;1 , 
 B -2;1;2 ,C 1;-7;0 . Tìm điểm M trên mặt phẳng (α) sao cho :
    
 1) MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất.
    
 2) MA -2MB 3MC có giá trị nhỏ nhất.
 3    
 2 2 2 2
 = (k1 +...+ kn )MI + k1IA1 k2IA2 .. knIAn + 2 MI(k1 IA1 +..+ kn IAn )
 2 2 2 2
 = kMI + k1IA1 k2IA2 ... knIAn
 2 2 2
Do k1IA1 k2IA2 ... knIAn không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất khi 
MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vuông góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng.
Chú ý: 
 - Nếu k1+ k2+ .+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ 
nhất
 - Nếu k1+ k2+ .+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất khi MI nhỏ 
nhất.
 Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 7 = 0 và ba điểm A(1; 2; -1), 
 B(3; 1; -2), C(1; -2; 1)
 1) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất.
 2) Tìm M trên mặt phẳng (α) sao cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn 
 nhất.
   3 3
Giải:1) Gọi điểm I(x; y; z) thỏa IA + IB = 0 thì I là trung điểm AB và I(2; ; )
     2 2
Ta có: MA2 + MB2 = (MI + IA)2 +(MI + IB)2
    
 IA2 + IB2 +2MI2 +2MI(IA + IB) = IA2 + IB2 +2MI2 
Do IA2 + IB2 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất khi MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay 
M là hình chiếu vuông góc của I lên (α) 
Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp nα (1;2;2)
 x = 2+t
 3
Phương trình tham số MI: y = + 2t
 2
 3
 z = +2t
 2
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
 3 3
 2 t 2( 2t) 2( 2t) 7 0 9t 9 0 t 1
 2 2
 1 7
 M(1; ; )
 2 2
 5 Hay: ( x;1 y; 2 z) 2(2 x; 1 y;2 z) (0;0;0)
 4 x 0
 3 y 0 I(4; 3;6)
 - 6+z 0
     
Ta có MA2 - 2MB2 = (MI + IA)2 2(MI + IB)2
    
 IA2 2IB2 MI2 + 2MI(IA 2 IB) IA2 2IB2 MI2
Do IA2 - 2 IB2 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất khi MI 2 có giá trị nhỏ nhất, 
hay M là hình chiếu vuông góc của I lên d.
 x = 1+t
 Đường thẳng d có vtcp u (1;2;1) , phương trình tham số d: y = 2+ 2t
 z = 3+ t
  
 M d M(1 t; 2 2t; 3 t) , IM = ( t-3; 2t + 5 ; t - 3) khi M là hình chiếu 
  2 1 2 7
vuông góc của I lên d nên IM.u 0 6t 4 0 t M( ; ; )
 3 3 3 3
 1 2 7
Vậy với M( ; ; ) thì MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất
 3 3 3    
2) Gọi điểm G(x; y; z) là điểm thỏa GA + GB +GC = 0 thì G là trọng tâm tam giác 
ABC và G(2; 1; 1).       
Ta có: MA2 + MB2 + MC2 = (MG + GA)2 + (MG + GB)2 +(MG + GC)2
     
 = GA2 GB2 GC2 +3MG2 + 2MG(GA GB GC)
 = GA2 GB2 GC2 +3MG2
Do GA2 GB2 GC2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất khi MG nhỏ 
nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của G lên đường thẳng d.
 M d M(1 t; 2 2t; 3 t) , GM = ( t-1; 2t +1 ; t +2) 
Khi M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d thì 
  1 1 5
 GM.u 0 6t 3 0 t M( ;1; )
 2 2 2
 1 5
Vậy với M( ;1; ) thì MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.
 2 2
Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α) có phương trình:ax + by + cz + d = 0 và hai điểm 
A,B không thuộc (α) . Tìm điểm M trên (α) sao cho MA + MB có giá trị nhỏ 
nhất.
 Lời giải:
 7 x 1 t
Phương trình tham số AA’: y 2 t
 z 1 2t
Tọa độ hình chiếu vuông góc H của A trên (α) ứng với t của phương trình
 1 3 3
1 + t – (2 – t) + 2(-1 + 2t) = 0 6t – 3 = 0 hay t = H( ; ;0)
 2 2 2
 x A'= 2xH x A 2
Do H là trung điểm AA’ nên y A'=2yH y A 1 A'(2; 1; 1)
 z A'= 2zH z A 1
  
A’B có vtcp A'B (1;0; 3)
 x 2 t
Phương trình tham số A’B: y 1
 z 1 3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
 3 13 4
 2 + t – 1 + 2(1 – 3t) = 0 5t 3 0 t hay M( ;1; )
 5 5 5
 13 4
Vậy với M( ;1; ) thì MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
 5 5
2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α) ta thấy hai điểm nằm về hai phía 
của (α).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).
Ta thấy MA - MC MA' - MC A'C .Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất khi M 
thuộc A’C nhưng ở phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).
Đường thẳng A’C có vtcp A'C ( 1; 3; 3)
 x 2 t
Phương trình tham số A’C: y 1 3t
 z 1 3t
Tọa độ M ứng với t là nghiệm phương trình: 
 3 5 5 5
 2 - t - (1 – 3t) + 2(1 - 3t) = 0 4t 3 0 t hay M( ; ; )
 4 4 4 4
 5 5 5
Vậy với M( ; ; ) thì MA - MC có giá trị lớn nhất.
 4 4 4
Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d. Tìm 
điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.
 Lời giải:
 - Đưa phương trình của d về dạng tham số, viết tọa độ của M theo tham số t
 - Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB
 9  
 d2 qua M2(-4; 3; 4), có vtcp u2 ( 7;2;3)
    
Ta có [ u1, u2 ] M1M2 = (8; 4; 16)(-9;4; -7) = -72 +16 – 112 = -168 0
Hay d1 và d2 chéo nhau.
2). M d1 và N d2 sao cho độ dài MN ngắn nhất khi và chỉ khi MN là độ dài 
đoạn vuông góc chung của d1 và d2.
Phương trình tham số của hai đường thẳng 
 x 5 t x 4 7t
 d1: y 1 2t , d2: y 3 2t
 z 11 t z 4 3t
M d nên M(5 + t; -1 + 2t; 11- t), N d nên N(-4 – 7t’;3 +2t’; 4 + 3t’)
  1 2
 MN ( - 7t’- t – 9; 2t’ – 2t +4; 3t’ + t – 7)
  
 MN.u1 0 6t ' 6t 6 0 t 2
Ta có  
 MN.u2 0 62t ' 6t 50 0 t ' 1
Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1)
Vậy với M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) thì độ dài MN ngắn nhất bằng 2 21 .
 x 2 t
 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: y 4 t và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1). Tìm 
 z 2
 điểm M trên d sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất
 Giải:
- Lấy điểm M trên d, Gọi H là hình chiếu vuông 
 góc của M lên AB
 1
- Tam giác MAB có diện tích S = AB.MH đạt 
 2
 giá trị nhỏ nhất khi MH nhỏ nhất, hay MH là 
 đoạn vuông góc chung của AB và d. 
 Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u (1;1;0)
   
 AB qua A(1; 2; 3) và AB (0; -2;-2) = 2u 
  1
với u1 (0;1;1) là véc tơ chỉ phương của AB
 11