Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong đề thi THPT Quốc gia

 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành 2 
 A. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan 
trọng, là môn học công cụ. Nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán 
cùng với phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt 
những môn học khác. Hơn nữa, môn Toán còn góp phần phát triển nhân cách 
học sinh. Ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng, môn 
Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động như: 
Tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo 
 Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy, cô giáo phải tích 
cực học tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp 
dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học 
sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem 
lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh.
 Trong quá trình thực tế giảng dạy học sinh các khối 11 và 12 trường 
THPT Thạch Thành 2 trong những năm học đã qua và đặc biệt là năm học 2015-
2016 , tôi thấy học sinh còn gặp rất nhiều lúng túng trong việc giải quyết một bài 
toán hình học nói chung và đặc biệt là bài toán “Tính khoảng cách” trong hình 
học không gian nói riêng, có thể có rất nhiều nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói 
trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là khi học hình học, học sinh không 
để ý đến các các định nghĩa, các định lý và các tính chất hình học. Các phương 
pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán nào thì chỉ chú trọng 
tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách nhìn tổng quát. Chính 
vì vậy dẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các cách hỏi trong một bài 
toán mới.
 Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao 
đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn 
giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ 
sở đó để sáng tạo. Tôi xin trình bày một số phương pháp và kinh nghiệm của 
mình về việc giải quyết bài toán “Tính khoảng cách” đó là: 
 “Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
 chéo nhau trong đề thi THPT Quốc gia ”
2. Mục đích nghiên cứu 
 Mục đích nghiên cứu là tìm ra phương pháp dạy học phù hợp cho từng đối 
tượng học sinh, để từ đó tạo hứng thú học tập cho các em, giúp cho các em hiểu 
rõ các dạng toán và định hướng cách giải cho bài toán “Tính khoảng cách”. Để 
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Trang 1 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành 2 
vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên mặt 
phẳng (α) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α).
Định nghĩa 6: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt 
vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường 
thẳng ∆) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, với H là hình chiếu vuông góc 
của M trên mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆).
Định nghĩa 8: Khoảng cách giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) song song với 
d là khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc d đến mặt phẳng (α).
Định nghĩa 9: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 
một điểm bất kỳ của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Định nghĩa 10: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn 
vuông góc chung của hai đường thẳng đó.
2. Các tính chất thường được sử dụng
 a  b 
Tính chất 1: a,b  (P)  d  (P)
 d  a,d  b
 a  (P) 
Tính chất 2: d  (P)  d  a
 a  (P)
 d  (P)
Tính chất 3:  d '  (P)
 d '/ /d
  
 (P) / /(Q)
  d  (Q)
 d  (P)
 
 d / /(P) 
  d '  d
 d '  (P)
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Trang 3 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành 2 
 S
 K
 A B
 E
 H
 D C
Vì SH  (ABCD) nên S· CH ·SC, (ABCD) 300. Trong tam giác vuông SAD 
ta có SA2 AH.AD
 3
 12a2 AD2 AD 4a; HA 3a; HD a
 4
 SH HA.HD a 3 HC SH.cot300 3a
 CD HC 2 HD2 2 2a.
Vì AD PBC nên AD P SBC mà SC  SBC nên
 d AD,SC d AD, SBC d H, SBC 
Kẻ HE  BC, E BC ; kẻ HK  SE, E SE 
Trong tam giác vuông SHE, ta có 
 1 1 1 11 2 6a 2 66
 HK a.
 HK 2 HE 2 HS 2 24a2 11 11
 2 66
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AD và SC bằng a
 11
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Trang 5 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành 2 
 Phương pháp 2: Tìm mặt phẳng P chứa d’ và song song với d. Khi đó 
 d(d,d ') d(d,(P)) d(A,(P)) , với A là một điểm bất kỳ thuộc d. 
 Phương pháp 3: Phương pháp thể tích.
 Phương pháp 4: Phương pháp tọa độ.
2. Áp dụng
Ví dụ 1: (D-2014) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại 
A, mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a và nằm trong mặt phẳng vuông góc với 
mặt đáy. Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC. 
 Lời giải mong muốn:
 BC a
 Gọi H là trung điểm của BC, suy ra AH . Vì mặt bên SBC là 
 2 2
tam giác đều cạnh a , nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy nên 
 a 3
 SH  ABC và SH . 
 2
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H trên SA, suy ra HK  SA
Ta có BC  SAH vì BC  SH và BC  AH BC  HK . Do đó HK là 
đường vuông góc chung của SA và BC.
 S
 K
 B A
 H
 C
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Trang 7 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành 2 
 Gọi O là giao điểm của AC và BD, H là trung điểm của AB, suy ra 
 SH  AB . Vì AB SAB  ABCD và SAB  ABCD nên 
 SH  ABCD . Ta có AC 2a,BD 4a nên OA a,OB 2a 
 AB 3 a 15
 AB a 5 SH B AH  SBC 
 2 2
Ta có AD // BC nên AD //(SBC) d AD,SC d AD, SBC d A, SBC . 
Do H là trung điểm của AB và B AH  SBC nên 
 d A, SBC 2d H, SBC 
Kẻ HE  BC,H BC , do SH  BC nên BC  (SHE) .
Kẻ HK  SE,K SE , ta có BC  HK HK  SBC HK d H, SBC 
 2S S S 4a2 2a 5
 HE BCH ABC ABCD 
 BC BC 2AB 2a 5 5
 1 1 1 91 2a 15 2a 1365
 HK 
 HK 2 HE 2 SH 2 60a2 91 91
 4a 1365
do đó d AD,SC 2HK 
 91
 4a 1365
 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC bằng 
 91
 Nhận xét: Ta đã sử dụng phương pháp 2 để giải bài toán này, tức là đã sử 
dụng tính chất “ Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng 
chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia ” để quy việc tính 
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về việc tính khoảng cách giữa 
đường thẳng và mặt phẳng song song. Bài toán này dễ với học sinh ở chỗ là đã 
có sẵn mặt phẳng (SBC) chứa SC và song song với AD. Công việc còn lại là các 
em chỉ cần xác định xem chọn điểm nào trên đường thẳng AD để tính khoảng 
cách từ đó đến mặt phẳng (SBC) cho phù hợp. Tuy nhiên trong thực tế thì không 
phải bài toán nào cũng có sẵn điều đó, chẳng hạn như Ví dụ 3 dưới đây.
Ví dụ 3: (Trích đề thi THPT QG 2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD 
là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc giữa đường 
thẳng SC với mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Tính theo a khoảng cách giữa hai 
đường thẳng SB và AC .
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Trang 9 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành 2 
 “ Gọi E là điểm đối xứng với D qua A. Khi đó tứ giác ACBE là hình bình 
hành, do đó AC // EB, tức là AC // (SEB) mà SB  SEB . Vậy nên 
 d AC,SB d AC, SEB d A, SEB ...” Đến đây công việc tiếp theo có lẽ 
đã dễ hơn đối với các em rất nhiều rồi.
 S
 H
 A
 E D
 K
 B C
 Ta cũng có thể hướng dẫn các em giải bài toán theo hướng sau: “ Dựng 
hình bình hành ACBE , ta có AC // EB, tức là AC // (SEB) mà SB  SEB nên 
 d AC,SB d AC, SEB d A, SEB ... ” các bước tiếp theo được thực 
hiện như trên.
 Tóm lại, qua ba cách tiếp cận trên, ta thấy mục đích cuối cùng là giáo 
viên hướng dẫn học sinh tìm được một mặt phẳng nào đó chứa đường thẳng này 
và song song với đường thẳng còn lại. Vấn đề nằm ở chỗ là khi gặp một bài toán 
tương tự, các em có chủ động tìm ra được hướng giải quyết vấn đề hay không, 
điều này còn phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố khác nữa, chẳng hạn như giả thiết 
của bài toán tương đối phức tạp giống như bài toán trong đề thi thử THPT QG 
năm 2016 của sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa sau đây.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Trang 11 Nguyễn Sỹ Thạc Trường THPT Thạch Thành 2 
 Kẻ đường thẳng Ax song song với CD. Gọi (P) là mặt phẳng chứa Ax và 
SA , khi đó AC P P suy ra d CD,SA d CD, P d C, P 3d H, P 
( vì CA 3HA ) 
Ta có AC  CD nên HA  Ax mà SH  Ax Ax  SAH . Từ H kẻ 
 HK  SA , K SA , khi đó Ax  HK HK  P nên HK d H, P 
 1 1 1 13 2a 13
Trong tam giác vuông SHK có HK 
 HK 2 AH 2 SH 2 4a2 13
 2a 13
 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và CD bằng .
 13
 Nhận xét: Đây cũng chính là một bài toán mà chưa có sẵn một mặt phẳng 
nào đó chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại. Cách tiếp 
cận mặt phẳng (P) của đáp án như trên là rất trừu tượng đối với học sinh , ta có 
thể hướng dẫn học sinh tiếp cận mặt phẳng (P) theo lối mòn như sau: 
 S
 K
 A
 D
 H
 E
 B C
 “ Dựng hình bình hành ADCE, ta có CD PEA nên CD P SAE mà 
 SA  SAE do đó d CD,SA d CD, SAE d C, SAE 3d H, SAE ... 
” Các bước tiếp theo cũng được thực hiện như đáp án nêu trên.
Sáng kiến kinh nghiệm môn Toán Trang 13