Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng phương pháp so sánh

 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài 
 Bài toán tính khoảng cách là bài toán quan trọng của chương trình Hình 
học không gian, do đó tính khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong đề thi Đại 
học trước đây và nay là thi THPT Quốc gia môn Toán.
 Việc xác định được khoảng cách cần tìm sau đó tính khoảng cách luôn là 
bài toán khó đối với học sinh bởi muốn giải quyết được bài toán học sinh phải 
có kiến thức tổng hợp về hình học. Khó khăn vướng mắc của học sinh chính là 
bước xác định khoảng cách, học sinh không thể chỉ ra khoảng cách cần tìm là 
đoạn thẳng nào và do đó không thể giải quyết được bài toán.
 Làm thế nào để những em có nguyện vọng thi Đại học có thể giải quyết 
được trọn vẹn bài toán tính khoảng cách? Đó là câu hỏi tôi luôn trăn trở, nghiên 
cứu để tìm ra hướng giải và tôi đã thành công khi hướng dẫn các em so sánh 
khoảng cách từ điểm cần tìm với khoảng cách của một điểm khác dễ nhận biết, 
dễ xác định và dễ tính toán hơn.
 Thực hiện nhiệm vụ công tác chuyên môn năm học 2015 - 2016 tôi đã 
nghiên cứu, tổng hợp những sáng kiến từ thực tiễn giảng dạy của mình thành 
sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính 
khoảng cách bằng phương pháp so sánh” với mong muốn kinh nghiệm của 
mình được phổ biến tới đồng nghiệp để nâng cao chất lượng bài giảng, phổ biến 
tới học sinh giúp các em giải quyết được bài toán quan trọng trong đề thi THPT 
Quốc gia môn Toán.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Chương trình Hình học không gian trong đề thi thường được kiểm tra, 
đánh giá bằng bài toán kết hợp giữa tính thể tích khối đa diện và bài toán tính 
khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng, khoảng cách giữa đường thẳng và mặt 
phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Để giải quyết 
bài toán trên nhất thiết phải thực hiện qua 2 bước cụ thể như sau:
 + Xác định khoảng cách: chỉ ra khoảng cách cần tìm là đoạn thẳng nào
 + Tính khoảng cách: vận dụng các kiến thức hình học phẳng để tính 
khoảng cách vừa xác định được.
 Vấn đề khó nhất đối với học sinh là thực hiện được bước 1, học sinh 
không biết bắt đầu từ đâu,vẽ hình như thế nào, xác định hình chiếu ra sao để có 
thể chỉ ra được khoảng cách cần tìm.
 Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm là hướng dẫn học sinh có thể giải 
quyết được tất cả các bài toán tính khoảng cách bằng cách quy về khoảng cách 
từ một điểm tới mặt phẳng sau đó tìm cách so sánh khoảng cách cần tìm với 
khoảng cách từ một điểm khác mà việc xác định hình chiếu, xác định khoảng 
cách được thực hiện một cách dễ dàng với những kiến thức cơ bản trong sách 
giáo khoa.
 1 + Gọi H là hình chiếu của A trên giao tuyến a, khi đó H cũng là hình chiếu 
của A trên (P). 
 + Kết luận: khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (P) là độ dài đoạn thẳng 
AH.
 + Lưu ý: Ta thường chọn (Q) đi qua đường thẳng b nào đó mà theo giả 
thiết ta đã biết b vuông góc với (P).
- Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
 Cho đường thẳng a song song 
 O
với mặt phẳng (P) khoảng cách giữa a
đường thẳng a và mặt phẳng (P) là 
khoảng cách từ một điểm bất kì của a 
đến mặt phẳng (P). Kí hiệu là 
d(a,(P)). H
 + Nhận xét: khoảng cách giữa P
đường thẳng và mặt phẳng song song 
được quy về khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm 
bất kì của mặt phẳng này đến mặt 
phẳng kia. 
 M
Ta kí hiệu khoảng cách giữa hai mặt 
phẳng (P), (Q) song song là P
d((P),(Q)). 
Khi đó ta có 
d((P),(Q))=d(M, (Q)) với M (P) và
 M
d((P),(Q)) = d(M’, (P)) với M ' (Q) P’ ’
 + Nhận xét: khoảng cách giữa 
hai mặt phẳng song song được quy về khoảng cách từ một điểm tới mặt phẳng.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
 + Khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau bằng khoảng cách 
 a O
giữa một trong hai đường phẳng đó và 
mặt phẳng song song với nó chứa 
đường thẳng còn lại
 b
 + Khoảng cách giữa hai đường H
thẳng chéo nhau bằng khoảng cách P
giữa hai mặt phẳng song song lần lượt 
chứa hai đường thẳng đó.
 3 Trường THPT Triệu Sơn 1 năm học 2015 – 2016 với nội dung định hướng 
phương pháp giải như sau:
2.3. Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng 
phương pháp so sánh.
2.3.1. Bài toán cơ sở so sánh khoảng cách.
 Giả sử đường thẳng a cắt mặt phẳng 
 B
(P) tại điểm I.
Gọi A, B là hai điểm cho trước trên đường A
thẳng a, 
H, K lần lượt là hình chiếu của A, B trên 
mặt phẳng (P). K
 I
 d A, P AH IA P)
 Khi đó ta có 
 d B, P BK IB
 Áp dụng nội dung trên giáo viên hướng dẫn học sinh so sánh khoảng cách 
từ điểm A tới mặt phẳng (P) với khoảng cách từ B tới mặt phẳng (P) trong đó B 
là điểm cho trước, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (P) có thể thực hiện dễ 
dàng.
2.3.2. Những lưu ý khi chọn điểm để so sánh khoảng cách
 - Điểm B được chọn là điểm cho trước của bài toán
 - Dễ dàng dựng được mặt phẳng (Q) đi qua điểm B và vuông góc với mặt 
phẳng (P).
 - Hình chiếu của B trên mặt phẳng (P) được xác định bằng hình chiếu của 
B trên giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q).
 IA
 - Tỉ số là dễ dàng tính được.
 IB
2.3.3. Những lưu ý đối với giáo viên khi thực hiện đề tài
 - Giáo viên phải củng cố cho học sinh các phương pháp xác định khoảng 
cách ; cách dựng hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng.
 - Hệ thống bài toán đưa ra phải phù hợp với đối tượng học sinh, thực hiện 
từ dễ đến khó.
 - Giáo viên hướng dẫn học sinh bằng hệ thống câu hỏi, không áp đặt cho 
học sinh.
 - Sau mỗi bài làm giáo viên cần cho học sinh thảo luận, trao đổi để học 
sinh tự rút ra kinh nghiệm cho bản thân.
 - Ngoài phương pháp so sánh giáo viên nên hướng dẫn học sinh thực hiện 
các phương pháp khác để tính khoảng cách như: phương pháp thể tích, phương 
pháp tọa độ ...
2.3.4. Hướng dẫn học sinh giải bài toán tính khoảng cách bằng phương 
pháp so sánh.
 5 AD 4a ; HA 3a ; HD a
Trong tam giác vuông SHK có:
 1 1 1 11 2 6a 2 66
 HH a 
 HH 2 HK 2 HS 2 24a2 11 11
 66
Từ đó suy ra d(M ,(SBC)) a 
 11
 Đặt vấn đề mở , cho học sinh thảo luận sau khi thực hiện lời giải: Các 
em suy nghĩ và rút ra kết luận xem căn cứ vào những giả thiết nào để chúng ta 
có ý tưởng so sánh khoảng cách từ điểm điểm M tới mặt phẳng (SBC) với 
khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)?
 Sau khi học sinh nêu ý kiến (thông thường học sinh thảo luận và đưa ra 
nhiều ý kiến), giáo viên kết luận về tính đúng, sai của các ý tưởng học sinh trình 
bày.
 Kết luận của giáo viên: Trước hết các em phải nhận thấy việc xác định 
khoảng cách và tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC) là dễ dàng 
thực hiện, sau đó mới nghĩ đến ý tưởng so sánh khoảng cách từ M với khoảng 
cách từ điểm H đến mặt phẳng (SBC)?
 Các bài toán sau đây giáo viên thực hiện hướng dẫn học sinh tìm lời 
giải tương tự bài toán 1.
 Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C, cạnh 
 a 14
huyền bằng 3a. G là trọng tâm của tam giác ABC, SG  (ABC), SB . 
 2
Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
 Giải:
 S
 A
 H . B
 M G
 I
 C
 3a
Vì ∆ABC vuông cân tại C và AB = 3a AC BC 
 2
 7 Kẻ HK CD tại K đường xiên AK  CD do đó từ giả thiết ·AKH 60 
và CD  (AKH ) .
 1
Sử dụng định lí côsin cho ABC cos ·ACB ·ACB 45 
 2
 AHC vuông cân tại H AH HC a 3 và HK AH.cot 60 a 
Kẻ HH '  AK tại H’, do CD  (AHK) nên CD  HH ' HH '  (ACD)
 d(H;(ACD)) HH 
 1 1 1 a 3
Trong tam giác vuông AHK, ta có: HH ' . 
 HH 2 HK 2 HA2 2
 BC 3a 3 3a 3
Do 3 nên d(B,(ACD)) 3d(H,(ACD)) = 3HH’ 
 HC a 3 2
 3 3a
Vậy d(B,(ACD)) 
 2
 Bài 4. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân 
tại B với AB = 2a. Hình chiếu vuong góc của B xuống mặt đáy (A’B’C’) là trung 
điểm H của cạnh A’B’. Tính theo a khoảng cách từ C’ đến mặt phẳng (A’BC) 
biết góc giữa đường thẳng BC’ và mặt phẳng (A’B’C’) bằng 45o.
 Giải:
 A C
 B
 K
 A’
 C’
 H
 B’
Do BH  (A B C ) nên góc giữa BC’ và mp(A’B’C’) là góc B· C H 45do đó 
tam giác BC’H vuông cân tại H.
Ta có HC HB 2 B C 2 a 5 BH HC a 5 .
Vì BC // B’C’ B’C’ // (A’BC) d(C’;(A’BC) = d(B’;(A’BC))
Mà H là trung điểm A’B’ nên d(C’ ;(A’BC)) = d(B’ ;(A’BC)) = 2d(H ;(A’BC))
 9 1 a 1 a 6
Ta có: IJ CD và IN AO 
 4 4 2 3
 1 1 1 35
Trong tam giác vuông IJN có: 
 IK 2 IJ 2 IN 2 2a2
 a 70 a 70
 IK d(I;(BMN)) 
 35 35
 2a 70
Vậy d(BM ; AD) 2d(I;(BMN)) 
 35
 Bài 6. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, 
tam giác SAB vuông cân tại đỉnh S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt 
phẳng đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
 Giải:
 S
 I
 K
 B
 A
 H
 D
 C
Gọi H là trung điểm của AB. Kẻ HK  BD tại K, HI  SK tại I.
Dựng hình bình hành ABDC.
Ta có: AC // (SBD)
 d(AC;SB) d(AC;(SBD)) d(A;(SBD)) 2d(H;(SBD)) 
Do BD  (SHK) BD  HI
Mà HI  (SBD) nên d(H;(SBD)) HI
 a 3
Xét tam giác vuông BHK có H· BK 60o HK HB.sin60o 
 4
 1 1 1 a 21
Xét tam giác vuông SHK có HI . 
 HI 2 HS 2 HK 2 2 7
 21
 d(AC,SB) 2HI a
 7
 11