Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp hàm số

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI BÀI TOÁN TÌM 
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT BẰNG 
 PHƯƠNG PHÁP HÀM SÔ
 Người thực hiện: Nguyễn Lê Minh
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
 THANH HÓA NĂM 2016 1. MỞ ĐẦU
 Hàm số là một khái niệm cơ bản của toán học, nó đóng vai trò trung tâm 
trong chương trình toán THPT, Hàm số cũng là nền tảng của nhiều lĩnh vực 
khác nhau của Toán học và các khoa học khác. Nắm được các vấn đề về hàm số 
không chỉ giúp người học giải quyết các bài toán có những ràng buộc phức tạp, 
mà còn rèn luyện tư duy hệ thống, sáng tạo, có thói quen xem xét sự vật, hiện 
tượng trong sự vận động và phụ thuộc lẫn nhau. 
 Trong kỳ thi THPT quốc gia và thi học sinh giỏi những năm gần đây bài 
toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức, là bài toán có tính 
phân loại cao. Một phần lớn trong các bài toán này có thể giải được bằng 
phương pháp hàm số. Tuy nhiên sách giáo khoa chỉ trình bày vấn đề này với các 
ví dụ và bài tập ở mức độ vận dụng thấp, các sách tham khảo, các website toán 
có viết khá nhiều phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, 
trong đó có một số ví dụ về ứng dụng đạo hàm giải bài toán dạng này. Vì vậy 
các bài tập lại quá khó với các em học sinh khi mới bắt đầu tiếp cận vấn đề, câu 
hỏi thường trực của các em là tại sao lại có cách đặt ẩn mới này, hay lại có cách 
đánh giá kia, hơn nữa khả năng tự đọc sách, tự học của các em học cũng còn 
nhiều hạn chế. Nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu có thể định hướng và 
tìm kiếm lời giải cho dạng toán này. Tôi mạnh dạn thực hiện chuyên đề: 
“Hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm giá trị lớn, giá trị nhỏ nhất bằng 
phương pháp hàm số”. 
 Trong chuyên đề này Tôi trình bày các bài toán có vận dụng các bất đẳng 
thức đơn giản, thường gặp để xác định hàm số, đánh giá và phân tích lời giải 
giúp các em học sinh có cái nhìn rõ ràng về một lời giải, các bài tập ban đầu khá 
dễ cũng sẽ làm cho học sinh tự tin khi tiếp cận vấn đề này. Sau cùng bằng cách 
vận dụng những kiến thức này các em sẽ giải được một số bài toán vừa mới thi 
gần đây. Trong chuyên đề này tôi cũng trình bày phương pháp tiếp tuyến giải bài 
toán: “Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức”, có trong Để thi khảo sát chất lượng 
lớp 12 THPT năm 2106 của Sở GD&ĐT Thanh Hóa và nêu một số bài tập 
tương tự.
 Tôi thực hiện chuyên đề này bằng cách tập hợp lại các ví dụ và các bài tập 
có cùng cách giải, sắp xếp chúng từ mức độ dễ, đến trung bình phù hợp cho học 
sinh trường THPT Nông Cống 3.
 2 2.3 Nội dung
2.3.1 Một số bất đẳng thức thường dùng. 
Loại 1: Với mọi số thực a, b, c ta luôn có các kết quả sau: 
 2
 i) a2 b2 c2 ab bc ca iii) (a b c) 3(ab bc ca)
 2 2 2 2 2 2
 (a b c)2 iv) a b b c c a abc(a b c)
 ii) a2 b2 c2 
 3 v) (ab bc ca)2 3abc(a b c)
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
Loại 2: Với mọi số thực dương x, y, z ta có 
 1 1 4
 i) . Dấu “=” khi x = y 
 x y x y
 1 1 1 9
 ii) . Dấu “=” khi x = y = z
 x y z x y z
Loại 3: Với mọi số x, y, z 1 ta có 
 1 1 2
 i) . Đẳng thức xảy ra khi x = y
 1 x 1 y 1 xy
 1 1 1 3
 ii) . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
 1 x 1 y 1 z 1 3 xyz
2.3.2 Xét hàm một biến
 3
Bài toán 1: Cho 0 x, y, z 1 Thỏa mãn x y z tìm giá trị lớn nhất của 
 2
biểu thức P x2 y2 z2 
 1
Lời giải: Không mất tính tổng quát, giả sử 0 x y z 1 khi đó z 1 
 2
 2
 2 2 2 3 2 2 9
Có P x y z z z 2z 3z 
 2 4
 9 1 
Xét hàm số f (z) 2z2 3z z ;1 ;
 4 2 
 3
 f '(z) 4x 3 0 x 
 4
 1 5 3 9 5 1 
Ta có f f (1) ; f ( ) f (z) z ;1 ;
 2 4 4 8 4 2 
 5 1
Vậy giá trị lớn nhất của P là , khi x 0, y , z 1 hoặc các hoán vị của nó.
 4 2
 4 2.3.3 Đổi biến đối xứng
Bài toán 1. Cho x, y, z không âm thỏa mãn x2 y2 z2 3. Tìm giá trị lớn 
 5
nhất và giá trị nhỏ nhất của A xy yz zx 
 x y z
Lời giải:
 t 2 3
Đặt t x y z xy yz zx 
 2
Mặt khác 0 xy yz zx x2 y2 z2 3 nên 3 t 2 9 3 t 3 vì t 0
 t 2 5 3
Khi đó A , t 3;3 
 2 t 2 
 t 2 5 3
Xét hàm số f (t) , t 3;3 
 2 t 2 
 5 t3 5
Có f '(t) t 0 t 3;3 do đó f(t) đồng biến trên 3 ;3 
 t 2 t 2 
 5 14
 f ( 3) f (t) f (3) f (t) 
 3 3
 14 5
Vậy giá trị lớn nhất của A là khi x = y = z = 1; giá trị nhỏ nhất của A là 
 3 3
khi hai trong ba số bằng 0 số còn lại bằng 3 .
Bài toán 2. Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện 
 3(a2 b2 c2 ) ab bc ca 12
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 a2 b2 c2
 P ab bc ca
 a b c
Lời giải:
Từ giả thiết ta có: 
 12 3(a2 b2 c2 ) a2 b2 c2 4
 12 3(a2 b2 c2 ) a2 b2 c2 a2 b2 c2 3
Vậy a2 b2 c2 3;4 
Cũng từ giả thiết ta có: 
 *) ab bc ca 12 3(a2 b2 c2 ) 
 6 (1 a)3 (1 b)3 3(1 a)(1 b)(a b) 5(a b)3 
 2 6a 6b 6a2 6b2 a3 b3 3a2b 3ab2 6ab 5(a b)3
 2 6(a b) 6ab 6a2 6b2 (a b)3 5(a b)3
 1 3(a b) 3ab 3(a b)2 2(a b)3
 2(a b) 3(a b)2 2(a b)3 (vì 1 + a + b = 3ab)
 2 3(a b) 2(a b)2 (1)
 (a b)2 t 2
Đặt t = a + b, ta có 1 t 1 a b 3ab 3 3
 4 4
 3t 2 4t 4 0 t 2
Khi đó từ biểu thức (1) ta cần chứng minh 
 f (t) 2t 2 3t 2 (t 2)(2t 1) 0 t 2; 
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 2 a b 1 x y z
2.3.4 Đánh giá kết hợp đổi biến
 a. Đánh giá ba biến đối xứng
Bài toán 1. Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn a + b +c = 1. Tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức: M 3(a 2b2 b2c2 c2a2 ) 3(ab bc ca) 2 a2 b2 c2
 (Tuyển sinh Đại học Khối B, 2010)
Lời giải: 
Ta có M (ab bc ca)2 3(ab bc ca) 2 1 2(ab bc ca) .
 (a b c)2 1
Đặt t ab bc ca 0 t ab bc ca 
 3 3
 1 
Xét hàm f (t) t 2 3t 2 1 2t , t 0 ;
 3 
 2 2
Có f '(t) 2t 3 , f ''(t) 2 0 .
 1 2t (1 2t)3
 1 1 11
f’(0) = 0 suy ra f’(x) nghịch biến trên 0; nên f '(t) f ' 2 3 0. 
 3 3 3
 1 1 
Vậy f’(t) đồng biến trên 0; do đó f (t) f (0) 2,t 0; 
 3 3 
 1 
Vì vậy M f (t) 2 t 0;
 3 
Giá trị nhỏ nhất của M là 2 khi ab = bc = ca, ab + bc +ca = 0, và a + b + c = 1 
 (a; b; c) = (1; 0; 0) hoặc (0; 1; 0) hoặc (0; 0; 1) 
 8 2
 1 4a 4b 4c 2
 2(a b c)
 2 2 
 8 27
Suy ra P 
 a b c 2 2(a b c)2
 8 27
Đặt t a b c t 0 khi đó P 
 t 2 2t 2
 8 27 5
Xét hàm số f (t) , t 0; ta được f (t) f (6) từ đây ta 
 t 2 2t 2 8
cũng có kết quả tương tự.
Bài toán 3: 
Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2 = 2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 x2 y z 1 yz
 P 
 x2 yz x 1 x y z 1 9
 (Tuyển sinh Đại học Khối A, 2014)
Lời giải:
 Ta có 
 0 (x y z)2 x2 y2 z2 2xy 2zx 2yz 2(1 xy xz yz)
 x2 yz x 1 x(x y z 1) (1 xy xz yz) x(x y z 1)
 x2 x
 x2 y x 1 x y x 1
Mặt khác:
 (x y z)2 x2 y2 z2 2x(y z) 2yz 2 2yz 2x(y z)
 2 2yz [x2 (y z)2 ]=2 + 2yz + x2 + y2 z2 2yz 4(1 yz)
 1 yz (x y z)2
 9 36
Khi đó 
 x y z (x y z)2 x y z (x y z)2
 P 
 x y z 1 x y z 1 36 x y z 1 36
Đặt t = x + y + z có t 0 
 0 t 2 (x y z)2 x2 y2 z2 2(xy yz zx)
 x2 y2 z2 2(x2 y2 z2 ) 6
 0 t 6
 t t 2
 P f (t) t 0; 6 
 t 1 36 
 10 T 0 3 + 
 f’(t) + 0 - 
 10
 f(t)
Từ bảng biến thiên của hàm số ta có P 10 , dấu bằng xảy ra khi 
 a b; c 3 a b 10 3
 ab bc ca 1 c 3
Bài toán 2: Cho các số thức x, y, z thuộc đoạn 1;4 thỏa mãn x y, x z .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
 x y z
 P 
 2x 3y y z z x
 (Tuyển sinh Đại học Khối A, 2011)
Cách 1. Trước tiên ta chứng minh Bất đẳng thức sau 
 a,b 0 1 1 2
 (*)
 ab 1 1 a 1 b 1 ab
Bất đẳng thức (*) (a b 2)(1 ab) 2(1 a)(1 b)
 (a b 2) ab 2(1 a)(1 b) (a b 2)
 (a b 2) ab a b 2ab
 ab(a b 2 ab) (a b 2 ab) 0
 ( ab 1)( a b)2 0 (BĐT này luôn đúng ab 1)
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab = 1 hoặc a = b
 x y z 1 1 1
Ta có P Áp dụng BĐT (*) 
 y z x
 2x 3y y z z x 2 3 1 1 
 x y z
 1 2 x
 P , dấu bằng xảy ra khi 1hoặc z2 xy
 y x y
 2 3 1 
 x y
 x
Đặt t . Do 1 y x 4 nên 1 t 2
 y
 1 2 t 2 2
Ta có P 
 1 2
 2 3 1 t 2t 3 1 t
 t 2
 12