Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh dùng tư duy hàm số để giải phương trình, hệ phương trình

 MỤC LỤC Trang
I. MỞ ĐẦU: 01
 1. Lí do chọn đề tài 01
 2. Mục đích nghiên cứu 01
 3. Đối tượng nghiên cứu 02
 4. Phương pháp nghiên cứu 02
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 03
 1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 03
 2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 03
 3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 05
 3.1 Mục tiêu của giải pháp 05
 3.2 Nội dung và cách thức thực hiện giải pháp 05
 GP1: Sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình 
 1- Nội dung phương pháp hàm số giải phương trình 
 2- Các dấu hiệu nhận biết một phương trình giải được bằng 
 phương pháp hàm số.
 GP2: Vận dụng thực hành khi giải hệ phương trình 12
 1- Thao tác thực hành khi tư duy hàm số giải hệ 
 2- Xây dựng hệ thống các bài tập chọn lọc cho học sinh 
 3 - Hướng dẫn học sinh xây dựng các dấu hiệu cho hệ 
 phương trình có thể giải được bằng tư duy hàm số
 GP3: Nêu một số vấn đề liên quan đến tư duy hàm số
 VĐ1 : Tư duy hàm số giải bất phương trình 15
 VĐ2 : Tư duy hàm số trong bài toán chứa tham số 
 VĐ3 : Tư duy hàm số trong chứng minh bất đẳng thức...
 VĐ4 : Mối liên hệ giữa phương pháp hàm số và các phương 
 pháp giải toán khác 
 4. Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, 15
 đồng nghiệp và nhà trường
III. KẾT LUẬN 17
 1. Kết luận 17
 2. Kiến nghị 18
 0 Đề ra các giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả giải toán phương trình, hệ 
phương trình của học sinh
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
 Các dấu hiệu nhận biết một bài toán phương trình, hệ phương trình có thể 
giải được bằng tư duy hàm số.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
 Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm
 Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
 Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những 
vấn đề liên quan đến nội dung đề tài
 Phương pháp thống kê, phân tích số liệu 
 2 * x < a suy ra f(x) < f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm
 Vậy phương trình f(x)=k có nhiều nhất là một nghiệm.
Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) và hàm số 
y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc đồng biến) và liên tục trên D thì số nghiệm trên 
D của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một. 
Chứng minh:
 Giả sử x=a là một nghiệm của phương trình f(x)=g(x), tức là f(a)=g(a).
Ta giả sử f đồng biến còn g nghịch biến.
*Nếu x>a suy ra f(x)>f(a)=g(a)>g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm 
*Nếu x<a suy ra f(x)<f(a)=g(a)<g(x) dẫn đến phương trình f(x)=g(x) vô nghiệm 
 Vậy phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm.
 Định lí 3: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến và liên tục trên D thì 
 f u x f v x u x v x ,u x ,v x D
Nếu hàm số y = f(x) luôn nghịch biến và liên tục trên D thì 
 f u x f v x u x v x ,u x ,v x D
2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 
KINH NGHIỆM
Thuận lợi:
 Nội dung phương trình, hệ phương trình được học sinh làm quen từ THCS 
lên đến THPT nên gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác 
cơ bản.
 Phương trình, hệ phương trình xuất hiện nhiều trong các đề thi học sinh 
giỏi, tuyển sinh vào 10 cho đến các kì thi THPT Quốc Gia nên học sinh được 
làm quen với một khối lượng lớn các bài tập đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội 
dung cũng như dạng toán.
Khó khăn:
 Do đây là một nội dung khó, lại xuất hiện trong các đề thi với tư cách là 
câu phân loại khó nên đa số các bài toán để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy gây 
cho học sinh một thói quen rằng: bài toán rất khó và không có động lực để vượt 
qua. Thậm chí một phần lớn học sinh xác định bỏ luôn phần này, không để ý rèn 
luyện.
 Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối 
lượng bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân 
biệt được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài 
toán. 
 Đa số học sinh giải toán theo thói quen, mò mẫm để giải toán chứ chưa 
thực sự chú trọng đến tư duy phương pháp. Do đó hiệu quả học và giải toán 
chưa cao. Việc vận dụng tư duy hàm số vào giải phương trình, hệ phương trình 
còn mang nặng tính cảm tính, thử nghiệm, chưa có đường lối rõ ràng, các dấu 
hiệu nhận biết không định hướng nên chưa tự tin khi vận dụng giải toán.
 4 1 
Xét hàm số : f (x) 5x3 1 3 2x 1 x 4 trên D ; 
 3 
 5 
 15x2 2 1 
Ta có: f '(x) 1 x ; 
 2 5x3 1 33 (2x 1)2 3 5 
Mà hàm số f (x) liên tục trên D
Khi đó:
 Hàm số f (x) đồng biến trên D pt : f (x) 0 có tối đa một nghiệm trên D
Mặt khác : f (1) 0
Kết luận: pt(1) có nghiệm duy nhất x 1.
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh còn làm theo cách liên hợp với số 
sau khi dùng MTCT dò được nghiệm x = 1, hoặc đặt ẩn phụ rồi bình phương.
Tuy nhiên, sau quá trình giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử lí bằng hàm 
số là ngắn gọn và dễ thực hành hơn cả. Điều đó phản ánh ưu điểm của tư duy 
hàm số đối với bài toán này.
Ví dụ 2: Giải phương trình : x2 15 3x 2 x2 8 (2)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Anh Sơn 2 năm 2016)
Tư duy: Hàm số f (x) 3x 2 x2 8 x2 15 trên R không thể hiện tính 
tăng , giảm bất biến khi x tăng nhưng bằng cách xây dựng điều kiện chặt cho ẩn 
x thì ta lại thấy hàm số có tính tăng bất biến khi x tăng.
Lời giải
 3
Ta có: 3x 2 x2 15 x2 8 0,x R 3x 2 0 x 
 2
 2 2 3 
Xét hàm số : f (x) 3x 2 x 8 x 15 trên D ; 
 2 
 1 1 3 
Ta có: f '(x) 3 x 0,x ; 
 x2 8 x2 15 2 
Khi đó:
 Hàm số f (x) đồng biến trên D pt : f (x) 0 có tối đa một nghiệm trên D
Mặt khác : f (1) 0
Kết luận: pt(2) có nghiệm duy nhất x 1.
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh lúng túng khi tư duy hàm số, khi 
mà hàm f(x) không có tính tăng giảm bất biến. Sau khi GV hướng dẫn cách đánh 
giá chặt cho ẩn x , học sinh nhận thấy rằng: Khi giải một phương trình, ngoài 
việc xây dựng các điều kiện xác định của phương trình, cần chú ý xây dựng các 
điều kiện chặt cho ẩn từ các đánh giá hai vế của phương trình đã cho.
 6 t 2
Vì f '(t) 2 t 2 3 0,t R nên hàm số f (t) đồng biến trên R
 t 2 3
Vậy: pt(4) 2x 1 3x x 0,2
Kết luận: pt(4) có nghiệm x 0,2 .
Nhận xét
Sau khi giải pt(3), học sinh nhanh chóng chuyển được pt(4) về dạng hàm đặc 
trưng. Điều này cho thấy tư duy hàm số có cơ sở suy luận và dễ tiếp nhận đối 
với học sinh.
 Dấu hiệu 3: Trong phương trình chứa hàm đa thức bậc cao
Việc xuất hiện đa thức bậc cao trong phương trình gây khó khăn trong việc biến 
đổi hoặc ẩn phụ để giải phương trình do thao tác xử lí cồng kềnh. Lúc này tư 
duy hàm số có thể giải quyết nhanh gọn và “né” được các khó khăn khi thực 
hành.
Ví dụ 5: Giải phương trình : x3 15x2 78x 146 10 3 7x 29 (5)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- THPT Tương Dương năm 2016)
Tư duy: Vế trái pt(5) chứa hàm đa thức bậc ba , vế phải pt(5) chứa căn thức gây 
khó khăn cho thao tác xử lí. Tư duy hàm đặc trưng có thể giải quyết bài toán 
trong trường hợp này.
Lời giải
Ta có: pt(5) x 5 3 10 x 5 7x 29 10 3 7x 29
 f x 5 f 3 7x 29 với f t t3 10t trên R
Mà: f '(t) 3t 2 10 0,t R nên hàm số f (t) đồng biến trên R
Vậy: pt(5) x 5 3 7x 29 x3 15x2 68x 96 0 x 3;4;8
Kết luận: pt(3) tập nghiệm: 3;4;8 .
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh còn làm theo cách liên hợp theo 
nhóm rồi tạo nhân tử. Tuy nhiên, khi giải toán học sinh nhận thấy rằng, việc xử 
lí bằng hàm đặc trưng của phương trình là đơn giản, dễ hiểu. Một số học sinh 
tìm dạng hàm đặc trưng dựa vào việc xem căn thức là ẩn y, rồi thêm bớt để định 
dạng hàm đặc trưng. Đây cũng là hướng giải quyết cho phương trình dạng này.
Ví dụ 6: Giải phương trình : 2x3 10x2 17x 8 2x2.3 5x x3 0 (6)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên KHTN năm 2016)
 8 Xét hàm số: f (x) g(x)h(x) trên D, 
 với g x 2x 1 3 x2 2 1, h x x 4 3 x 3 3
 1 2x
Với mọi x 0,5, ta có: g(x) 0 và g ' x 0; 
 2
 2x 1 33 x2 2 
 1 1
 h(x) 0 và h' x 0
 2
 2 x 2 33 x 3 
suy ra: f '(x) g '(x)h(x) g(x)h'(x) 0,x 0,5
Mà: f (x) là hàm liên tục trên D nên hàm số f (x) đồng biến trên D
 pt : f (x) 0 có tối đa một nghiệm trên D
Mặt khác : f (5) 10
Kết luận: pt(7) có nghiệm duy nhất x 5.
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, học sinh còn tư duy theo nhiều cách khác 
nữa, nhưng vẫn gặp khó khăn. Điều này thể hiện một bài toán có thể có nhiều 
cách giải quyết, và việc thiết lập thêm phương pháp giải toán chỉ bổ sung thêm 
tư duy chứ không phải là triệt tiêu đi suy luận giải toán của phương pháp khác.
 Dấu hiệu 5: Xử lý phương trình trung gian
Đây là một đặc trưng khá hay, nó là thao tác phối kết hợp nhiều phương pháp 
cho việc giải một bài toán. Không có phương pháp vạn năng để giải mọi bài 
toán, vì vậy cần phải sáng tạo để vận dụng linh hoạt, hợp lí hệ thống các 
phương pháp giải toán để giải quyết một bài toán.
Ví dụ 8: Giải phương trình : 1 1 x 2x2 2x 1 x 1 x x (8)
(Đề khảo sát chất lượng THPT Quốc Gia,lần 1- Chuyên Hưng Yên năm 2016)
Tư duy: Pt(8) có thế giải bằng cách liên hợp tách nhóm rồi xử lí tiếp. Thao tác 
tư duy hàm số ở đây sẽ tìm cách tạo ra hàm đặc trưng sau phép “đổi biến nghịch 
đảo”
Lời giải
Ta có: TXĐ: D 0; 
Ta thấy x 0 là nghiệm của phương trình
Xét x 0,chia hai vế cho x x ta được:
 1 1 2 1 1 
 1 2 2 1 1 
 x x x x x 
 10 Vậy: f x 2 f x 1 x 2 x 1
Đến đây giải tìm x. Bài toán giải quyết xong.
Nhận xét
Đây là bài toán phân loại khó và hay, học sinh trong thực hành vẫn lúng túng khi 
xử lý pt trung gian. Một số học sinh thực hiện quy đồng và nhân ra ở pt(9*), làm 
phức tạp và rối bài toán. Sau khi giải pt(9*), học sinh nhận thấy phải khai thác 
triệt để trạng thái ban đầu của pt, nếu không xử lí được mới tiếp tục biến đổi để 
chuyển dạng pt.
 Giải pháp 2: Vận dụng thực hành khi giải hệ phương trình
 GP2-1: Thao tác thực hành khi tư duy hàm số giải hệ phương trình
Bước 1: 
 a) Phát hiện phương trình trong hệ có dạng hàm đặc trưng để tìm mối liên hệ 
đơn giản hơn của hai ẩn x và y. Chuyển pt còn lại của hệ về phương trình một 
ẩn.
 b) Sử dụng các phương pháp giải toán nhằm chuyển việc giải hệ về việc giải 
pt một ẩn.
Bước2: 
Tư duy hàm số để giải phương trình còn lại (nếu được) hoặc giải bằng phương 
pháp khác
Bước 3:
Kết luận nghiệm cho hệ phương trình.
 GP2-2: Xây dựng hệ thống các bài tập chọn lọc cho học sinh tự thực hành
 Việc vận dụng kiến thức vào giải toán là một kĩ năng quan trọng cần được rèn 
luyện, thực hành. Do đó sau khi dạy học sinh tư duy hàm số để giải phương 
trình, tôi có cho học sinh một hệ thống bài tập tự rèn luyện về phương trình. 
Song song với quá trình tự luyện tập của học sinh, tôi có tổ chức một (hay 
nhiều) buổi thực hành vận dụng giải hệ phương trình theo tư duy hàm số. Một 
mặt để rèn kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh, một mặt nắm bắt khả năng tiếp nhận, 
vận dụng kiến thức của học sinh khi thực hành giải toán. Từ đó có những tác 
động sư phạm hợp lí để điều chỉnh hoàn thiện tư duy cho học sinh.
Sau đây là một số bài toán đã thực hiện cho học sinh
(Chỉ trình bày hướng tư duy, vận dụng khi giải toán, lời giải mang tính gợi ý)
 Bài tập 1: Giải hệ phương trình: 
 2 x
 x y 2 x 1 y 1 
 x 1 x, y ¡ 
 2
 3x 8x 3 4 x 1 y 1 
 12