Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh chinh phục bài toán về tọa độ phẳng trong đề thi THPT Quốc gia

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
 TRƯỜNG THPT NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH CHINH PHỤC BÀI TOÁN VỀ 
 TỌA ĐỘ PHẲNG TRONG ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
 Người thực hiện : Vũ Mạnh Hùng
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN môn: Toán
 THANH HOÁ NĂM 2016
 1 Phần 1: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài.
 Như chúng ta đã biết môn toán giúp cho học sinh rèn luyện những kỹ năng sử 
dụng công cụ toán học như vẽ hình không gian, vẽ đồ thị, kỹ năng tính toán, 
phân tích, tổng hợp. Qua hoạt động học tập môn toán, học sinh còn rèn luyện 
tính cẩn thận, khả năng phân tích đúng sai, óc thẩm mỹ cũng như phẩm chất tốt 
đẹp của con người. Vì vậy việc dạy học môn toán luôn đề ra mục đích và mục 
tiêu quan trọng là hình thành và phát triển tư duy logic, tạo cho học sinh vốn 
kiến thức và cách vận dụng kiến thức vào thực tiễn.
 Trong kì thi THPT Quốc Gia 2015 và các kì thi thử THPT Quốc Gia năm học 
2015-2016, bài toán về tọa độ phẳng (tọa độ trong mặt phẳng Oxy) là một thách 
thức không nhỏ đối với tất cả học sinh, kể cả học sinh khá giỏi. Trong đề thi bài 
toán tọa độ phẳng là một câu khó, được dùng để phân loại học sinh. Do đó để 
giải quyết được bài toán này đòi hỏi học sinh phải có kiến thức về hình học 
vững, phải có tư duy hình học tốt và đồng thời phải biết sử dụng phương tọa độ 
trong mặt phẳng khéo léo, linh hoạt, chính xác....
 Trong quá trình giảng dạy môn toán THPT nói chung, đặc biệt là dạy ôn thi 
THPT Quốc Gia môn toán nói riêng, tôi nhận thấy đa số học sinh thường né 
tránh bài toán này, còn một số ít học sinh khá giỏi thì bàn luận về bài toán này 
theo cách đầy tiếc nuối, ví dụ: chưa chứng minh được tính chất này, tính chất 
kia, hoặc mới chỉ làm được một phần.... Nhưng nói chung là vẫn chưa chắc chắn 
được kết quả của bài toán đã hoàn toàn chính xác chưa. Với kinh nghiệm giảng 
dạy của bản thân, tôi ý thức được đây là một vấn đề khó và trách nhiệm của 
người giáo viên cần phải định hướng cho học sinh một cách nhìn nhận rõ ràng 
và đơn giản hơn về vấn đề này. Vì vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Hướng dẫn 
học sinh chinh phục bài toán về tọa độ phẳng trong đề thi THPT Quốc Gia”.
 3 1. Hệ thống và rèn luyện kĩ năng giải toán.
1.1. Một số bài toán cơ bản về phương pháp tọa độ.
Bài 1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường thẳng (D): x- 2y + 3 = 0 
và hai điểm A(1;1), B(- 1;2).
 1) Viết phương trình đường thẳng (d1) đi qua A và song song với (D) 
 2) Viết phương trình đường thẳng (d2 ) đi qua B và vuông góc với (D) 
 3) Viết phương trình đường thẳng AB 
 æ3 ö
Bài 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có M ç ;0÷ là 
 èç2 ø÷
trung điểm đoạn AC . Phương trình các đường cao AH, BK lần lượt là 
 2x- y + 2 = 0 và 3x- 4y + 13 = 0 . Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , đường 
thẳng BC có phương trình x + y - 4 = 0 , điểm M (- 1;- 1) là trung điểm của đoạn 
 AD . Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD , biết đường thẳng AB đi 
qua điểm E(- 1;1).
Bài 4. Trong mp với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC . Điểm M (2;0) là trung 
điểm của AB . Đường trung tuyến và đường cao kẻ từ A lần lượt có phương 
trình 7x- 2y - 3 = 0 và 6x- y - 4 = 0 . Viết phương trình đường thẳng AC .
Bài 5. Cho hình thang vuông ABCD có Bµ= Cµ= 900 . Phương trình các đường 
thẳng AC và DC lần lượt là x + 2y = 0 và x- y - 3 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh 
 æ 3 3ö
của hình thang ABCD , biết trung điểm cạnh AD là M ç- ;- ÷.
 èç 2 2ø÷
Bài 6. Cho điểm A(5;- 4) và đường thẳng (D):3x + y + 4 = 0 . Tìm tọa độ điểm A' 
đối xứng với điểm A qua đường thẳng (D).
Bài 7. Cho điểm A(- 2;0), B(1;1) và đường thẳng (D): x + 3y - 3 = 0 . 
 0
1) Viết phương trình đường thẳng (d1) đi qua A và tạo với (D) một góc 45 .
 5 Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho 
 AB 3AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD , M là trung điểm của 
 HC . Chứng minh rằng AM  BM .
Gợi ý chứng minh
- Gọi N,I là giao điểm của đường thẳng qua B vuông góc với BC với các 
đường thẳng CD,CA 
- Chứng minh tứ giác NAME là hình bình hành và E là trực tâm tam giác NBM 
sẽ suy ra được đpcm.
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C , N là 
hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng MD . Chứng minh rằng AN  CN .
Gợi ý chứng minh
Tứ giác BCND và tứ giác ABCN nội tiếp sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán.
Bài 6. Cho tam giác ABC cân tại A , D là trung điểm đoạn AB . I,E lần lượt là 
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , trọng tâm tam giác ADC và G là giao 
điểm của AI và CD . Chứng minh rằng DG  IE .
Gợi ý chứng minh
Chứng minh G là trực tâm tam giác DEI 
Bài 7. Cho hình vuông ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh 
 AB,BC . Gọi I là giao điểm của CM và DN . Chứng minh rằng AI AD .
Gợi ý chứng minh
Lấy điểm phụ P là trung điểm của DC sẽ giúp tìm ra lời giải bài toán.
 7 1.3. Một số bài toán trong đề thi ĐH - CĐ.
Bài 1. (CĐ). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A( 2;5) và đường 
thẳng (d) :3x 4y 1 0 . Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc 
với (d) . Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho AM 5.
Bài 2. (ĐH-K.D). Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho tam giác ABC có 
chân đường phân giác trong của góc A là điểm D(1; 1) . Đường thẳng AB có 
phương trình 3x 2y 9 0 , tiếp tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác 
 ABC có phương trình x 2y 7 0 . Viết phương trình đường thẳng BC .
Bài 3. (ĐH-K.B). Trong mặt phẳng với hệ tọa độOxy , cho hình bình hành 
 ABCD . Điểm M ( 3;0) là trung điểm của cạnh AB , điểm H (0; 1) l hình chiếu 
 4 
vuông góc của B trên AD và điểm G ;3 là trọng tâm tam giác BCD . Tìm tọa 
 3 
độ các điểm B và D .
Bài 4. (ĐH-K.A). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có 
điểm M là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho 
 AN 3NC . Viết phương trình đường thẳng CD , biết rằng M (1;2) và N(2; 1) .
2. Một số dạng toán thi thường gặp.
2.1. Dạng 1: Tìm tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài toán tổng quát: Tìm điểm M Î (D): ax + by + c = 0 thỏa điều kiện cho trước.
*Phương pháp 1
B1. Đặt tọa độ cho điểm M . 
 æ - am- cö æ- bm- c ö
 M çm; ÷,b ¹ 0 hoặc M ç ;m÷,a ¹ 0 
 èç b ø÷ èç a ø÷
B2. Khai thác tính chất hình học của điểm M .
 + Tính đối xứng; Khoảng cách; Góc.
 + Quan hệ song song, vuông góc.
 + Tính chất của điểm và đường đặc biệt trong tam giác. 
 + Ba điểm thẳng hàng, hai vectơ cùng phương.
 9 Bài giải
 9 9
 • Do MI là đường trung bình của ABD nên AB 2MI 2 3 2
 4 4
 12
 • Vì S AB.AD 12 nên AD 2 2 MA MD 2
 ABCD AB
  3 3 
 • Đường thẳng AD qua M 3;0 và nhận IM ; làm VTPT có phương 
 2 2 
 3 3
 trình là: x 3 y 0 0 x y 3 0
 2 2
 • Phương trình đường tròn tâm M bán kính R 2 là: x 3 2 y2 2 
 • Tọa độ A và D là nghiệm của hệ phương trình: 
 x y 3 0 y 3 x x 2 x 4
 2 2 2 2 
 x 3 y 2 x 3 3 x 2 y 1 y 1
 Suy ra: ta chọn A 2;1 ,D 4; 1 
 x 2x x 9 2 7
 • Vì I là trung điểm của AC nên: C I A C 7;2
 y 2y y 3 1 2 
 C I A
 x 2x x 5
 Vì I là trung điểm của BD nên: B I D B 5;4
 y 2y y 4 
 B I D
Ví dụ 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A 2; 4 ,B 0; 2 và trọng 
tâm G thuộc đường thẳng 3x y 1 0 . Hãy tìm tọa độ của C biết rằng tam giác 
ABC có diện tích bằng 3.
Bài giải
 1 1
 • Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên:S S .3 1
 GAB 3 ABC 3
 x 2 y 4
 • Phương trình đường thẳng AB là: x y 2 0
 2 2
 • Đặt G a;b , do G d :3x y 1 0 nên 3a b 1 0 , ta có:
 1
 S 1 .AB.d G,AB 1 a b 2 1
 GAB 2
 1 1 
 Tọa độ G là: G ; hoặc G 1; 2 
 2 2 
 11 æ t - 4ö2 æ - 2t + 3ö2 æ t - 4ö2 æ - 2t + 3ö2
ç5- ÷ + ç- 4- ÷ = ç- 4- ÷ + ç8- ÷ Û t = 1. Suy ra: C(1;- 7) 
èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷
· Đường thẳng AC có phương trình: 3x + y + 4 = 0 .
 Đường thẳng BN qua N và vuông góc với AC là: x- 3y - 17 = 0 B(3a+17;a) 
 æ3a + 17 + 5ö a- 4
· Trung điểm của BN thuộc AC nên:3ç ÷+ + 4 = 0 Û a = - 7 
 èç 2 ø÷ 2
· Vậy B(- 4;- 7). 
Ví dụ 7. Cho hình thang cân ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau và 
 AD = 3BC . Đường thẳng BD có phương trình x + 2y - 6 = 0 và tam giác ABD có 
trực tâm là H (- 3;2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D .
Bài giải
· Gọi I là giao điểm của AC và BD Þ IB = IC . Mà IB ^ IC nên DIBC vuông 
cân tại I Þ I·CB = 450 
 BH ^ AD Þ BH ^ BC Þ DHBC vuông cân tại B Þ I là trung điểm của HC
· Do CH ^ BD và trung điểm I của CH thuộc BD nên tọa độ điểm C t/m:
ì
ï 2(x + 3)- (y - 2)= 0
ï
í x- 3 æy + 2ö . Do đó C(- 1;6)
ï + 2ç ÷- 6 = 0
ï ç ÷
îï 2 è 2 ø
 IC IB BC 1 CH 10
· Ta có = = = Þ ID = 3IC Þ CD = IC 2 + ID2 = IC 10 = = 5 2 
 ID ID AD 3 2
 ét = 1
 Do D(6- 2t;t) và CD = 5 2 suy ra: (7- 2t)2 + (t - 6)2 = 50 Û ê 
 ëêt = 7
· Vậy D(4;1) hoặc D(- 8;7).
Ví dụ 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có chân đường 
 æ17 1ö
cao hạ từ đỉnh A là H ç ;- ÷, chân đường phân giác trong của góc A là D(5;3) 
 èç 5 5ø÷
và trung điểm của cạnh AB là M (0;1). Tìm tọa độ đỉnh C .
Bài giải
· Ta có H Î AH và AH ^ HD AH có phương trình: x + 2y - 3 = 0 A(3- 2a;a)
 13