Sáng kiến kinh nghiệm Hình thành tư duy - kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II luyện thi THPT Quốc Gia

 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
 Đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm chiếm vai trò quan trọng trong 
chương trình Toán THPT. Nội dung về đạo hàm và ứng dụng đạo hàm được 
trình bày trong toàn bộ chương trình giải tích 11 và giải tích 12, trong đó đạo 
hàm được trình bày trong học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm được trình bày 
trong học kỳ I lớp 12. Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm 
và ứng dụng đạo hàm là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, 
ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia. Chúng ta có thể kể đến một số ứng 
dụng của đạo hàm: Xét tính đơn điệu của hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất 
của hàm số; cực trị hàm số
 Phần ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị 
của hàm số bậc ba là một phần không quá khó với học sinh nếu không muốn nói 
là phần “lấy điểm” của học sinh. Tuy nhiên, việc giải quyết các bài toán cực trị 
hàm số bậc ba nhanh và hiệu quả là điều mà ít học sinh làm được nhất là trong 
bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc 
nghiệm. Ngoài ra, việc trình bày các kiến thức ở SGK, SBT cũng như các sách 
tham khảo, hệ thống các bài tập còn dàn trải và học sinh thường mất thời gian 
khi giải bài tập phần này. Từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy 
cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và trên internet, 
tôi lựa chọn đề tài: “Hình thành tư duy - kỹ năng giải nhanh toán trắc nghiệm 
phần cực trị của hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II 
luyện thi THPT Quốc Gia” với mong muốn trang bị cho học sinh nền tảng kiến 
thức cơ bản và nâng cao từ đó rút ra một số công thức giải nhanh phần cực trị 
của hàm số bậc ba giúp các em học sinh nắm bắt được cách nhận dạng cũng như 
cách giải dạng toán này nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tạo sự 
tự tin cho học sinh trong các kỳ thi.
 1 f ' x0 0
 • f (x) đạt cực đại tại x0 ;
 f " x0 0
 f ' x0 0
 • f đạt cực tiểu tại x0 .
 f " x0 0
1.2 Cực trị của hàm số bậc ba [5]
Xét hàm y ax3 bx2 cx d (a 0 ).
Đạo hàm: y' 3ax2 2bx c
1.2.1 Điều kiện tồn tại cực trị: Hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' 0 có hai 
nghiệm phân biệt hay ' b2 3ac 0.
1.2.2 Kỹ năng tính nhanh cực trị:
 Giả sử ' b2 3ac 0, khi đó y' 0 có hai nghiệm phân biệt 
 b b2 3ac
 x và hàm số đạt cực trị tại x , x .
 1,2 3a 1 2
 Thực hiện phép chia y cho y’ ta có:
 1 b 2 b2 bc 
 f (x) x f '(x) c x d 
 3 9a 3 3a 9a 
 Tức là f (x) q(x). f '(x) r(x)
 2 b2 bc 
 y1 f (x1) c x1 d 
 f '(x1) 0 3 3a 9a 
 Do nên 
 2
 f '(x2 ) 0 2 b bc 
 y f (x ) c x d 
 2 2 2 
 3 3a 9a 
Từ đó ta có phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của 
hàm số là:
 2 b bc 2 2 bc
 y c x d 3ac b x (d )
 3 3a 9a 9a 9a
 2 ' bc 
 x d 
 9a 9a 
Gọi A x1; y1 ,B x2; y2 là các điểm cực trị của hàm số. Khi đó khoảng cách 
giữa hai điểm cực trị là: 
 3 3. Điều kiện đủ: Kết hợp xét dấu của y’’: 
 ➢ Nếu y’’(x 0) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0
 ➢ Nếu y’’(x 0) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x0
 (hoặc dùng bảng biến thiên) để suy ra giá trị m thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y x3 3mx2 (m 1)x 2. Tìm m để hàm số đạt 
cực tiểu tại x = 2. [3]
 Giải 
Ta có : y' 3x2 6mx m 1 
 y' 0 3x2 6mx m 1 0 (*)
Điều kiện cần: thay x = 2 vào (*) m = 1
Điều kiện đủ: y'' 6x 6m 
Với m = 1 y'' 6x 6 y''(2) 6 0 (thỏa mãn)
Vậy m = 1 hàm số có cực tiểu tại x = 2. 
 1
Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số y x3 mx2 m2 m 1 x 1. Tìm m để hàm số 
 3
đạt cực đại tại x = 1 [3]
 Giải
Ta có: y' x2 2mx m2 m 1
 y' 0 x2 2mx m2 m 1 0 (*)
Điều kiện cần: thay x = 1 vào (*) m2 3m 2 0 (m = 1 hoặc m = 2)
Điều kiện đủ: y'' 2x 2m 
 ➢ Với m = 2 y'' 2x 4 y''(1) 2 0 ( thỏa mãn)
 ➢ Với m = 1 y'' 2x 4 y''(1) 0( không xét được dấu) 
 Nhưng khi đó: y' x2 2x 1 x 1 2 0 (x) hàm số luôn đồng biến 
nên ko có cực trị. Hay m = 1 không thỏa mãn.
 Vậy m = 2 hàm số có cực đại tại x = 1. 
2. Biện luận theo m số cực trị của hàm số
 Số cực trị của hàm số phụ thuộc vào số nghiệm của phương trình y’ = 0
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y x3 3mx2 (m 1)x 2 . Tìm m để hàm số 
không đạt cực trị. [3]
 Giải
Ta có: y' 3x2 6mx m 1 
 y' 0 3x2 6mx m 1 0 (*)
Hàm số không đạt cực trị khi: ' 9m2 3m 3 0 3m2 m 1 0 (vô lý)
 Vậy không có giá trị nào của m để hàm số không đạt cực trị.
 5 b
 x x 2
 1 2 a
Theo định lý vi-ét: 
 c m
 x .x 
 1 2 a 3
 2 2m 3
Theo bài ra ta có : x2 x2 3 x x 2x x 3 4 3 m 
 1 2 1 2 1 2 3 2
 3
 Kết hợp điều kiện (**) m thỏa mãn đề bài ra.
 2
Ví dụ mẫu 2: 
 3 2
Tìm m để hàm số f (x) x 3x mx 1 có hai điểm cực trị. Gọi x 1 và x 2 là 
hoành độ hai điểm cực trị tìm m để x 1 và x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của 
một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 . [2]
 Giải
 2
Ta có : f '(x) 3x 6x m 
 2
 f '(x) 0 3x 6x m 0 (*)
 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x 1 và x 2 
phân biệt :
ĐK : ' 0 9 3m 0 m 3(**)
 b
 x x 2
 1 2 a
Theo định lý vi-ét: 
 c m
 x .x 
 1 2 a 3
 ➢ Để x1 và x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác thì:
 x1 x2 0
 m 0 (***)
 x1.x2 0
 ➢ Để tam giác vuông có cạnh huyền bằng 3 thì: 
 2 2m 3
 x2 x2 3 x x 2x x 3 4 3 m 
 1 2 1 2 1 2 3 2
 3
Kết hợp điều kiện (**) và (***) m thỏa mãn đề bài ra.
 2
Ví dụ mẫu 3: KD – 2012
 2 2
Cho hàm số : y x3 mx2 2(3m2 1)x . Tìm m để hàm số có hai điểm cực 
 3 3
trị x1 và x2 sao cho: x1.x2 2(x1 x2 ) 1.
 Giải
Ta có y' 2x2 2mx 2(3m2 1)
 y' 0 2x2 2mx 2(3m2 1) 0 (*)
 7 Ví dụ mẫu 5: 
Cho hàm số : y (m 2)x3 3x2 mx 5. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị 
x1 và x2 và hoành độ các điểm cực trị dương.
 Giải
Ta có : y' 3(m 2)x2 6x m
 y' 0 3(m 2)x2 6x m 0 (*)
 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x 1 và x 2 
phân biệt :
 a 0 m 2 0 m 2 m 2
 (**)
 2 
 ' 0 9 3m(m 2) 0 3m 6m 9 0 3 m 1
 b 2
 x x 
 1 2 a m 2
Theo định lý vi-ét: 
 c m
 x1.x2 
 a 3(m 2)
Để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương : 
 b 2 2
 x x 0 0
 1 2 a m 2 m 2 m 2 0
 m 2
 c m m m 0
 x1.x2 0 0
 a 3(m 2) 3(m 2)
 Kết hợp điều kiện (**) ta được 3 m 2 
Ví dụ mẫu 6: 
Cho hàm số : y x3 2(m 1)x2 (m2 3m 2)x 4. Tìm m để hàm số có hai 
điểm cực trị nằm về hai phía trục tung.
 Giải
Ta có : y' 3x2 4(m 1)x m2 3m 2
 2 2
 y' 0 3x 4(m 1)x m 3m 2 0 (*)
 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x 1 và x 2 
phân biệt :
 17 3 33
 m 
 2 2 2 2
 ' 0 4(m 1) 3(m 3m 2) 0 m 17m 2 0 
 17 3 33
 m 
 2
(**)
Theo định lý vi-ét:
 9 b 4(m 1)
 x x 
 1 2 a 3
Theo định lý vi-ét: 
 c m2 3m 2
 x .x 
 1 2 a 3
Để 2 cực trị nằm cùng phía so với trục tung chúng ta quan sát 1 hình ảnh của đồ 
thị bậc 3 sau (hoặc còn 1 ảnh đối ngược ảnh này bên trái Oy):
 Để 2 cực trị nằm cùng phía so với trục tung thì 
 2 m 2
 x1x2 0 m 3m 2 0 
 m 1
 17 3 33
 m 
 Kết hợp điều kiện (**) ta được 
 2
 m 2
Ví dụ mẫu 8: 
Cho hàm số : y x3 3x2 mx 1. Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm 
khác phía đường thẳng (d): x = 1.
 Giải
Ta có : y' 3x2 6x m
 2
 y' 0 3x 6x m 0 (*)
 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có 2 nghiệm x 1 và x 2 
phân biệt :
 ' 0 9 3m 0 m 3 (**)
 11 Ví dụ mẫu 1: viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số: 
 y x3 x2 3x 1
 Giải
 Áp dụng công thức học nhanh: 
 3x2 2x 3 6x 2 
 Ax B x3 x2 3x 1 
 18
 4
 - Thay x = 0 vào đẳng thức ta được: B 
 3
 - Thay x = 1 vào lại đẳng thức trên ta lại được:
 28 28 16
 A B A B 
 9 9 9
 16 4
 Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị sẽ là: y x 
 9 3
Ví dụ mẫu 2: viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số: 
 y 2x3 3x 5
 Giải
 Áp dụng công thức học nhanh: 
 6x2 3 .12x
 Ax B 2x3 3x 5 
 36
 - Thay x = 0 vào đẳng thức ta được: B = 5
 - Thay x = 1 vào lại đẳng thức trên ta lại được: A B 7 A 7 B 2
 Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị sẽ là: y 2x 5
4.1.2 Công thức có được bằng cách chia y cho y’
 2 ' bc 
 y x d 
 9a 9a 
Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số : y x3 3x2 mx 2 . Tìm m để hàm số có hai điểm 
cực trị A, B sao cho đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường 
thẳng d: y 4x 5. [1]
 Giải:
Ta có y' 3x2 6x m (*)
 Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
ĐK: ' 0 9 3m 0 m 3
 Ta có hệ số góc của đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là 
 2 ' 2
 k 9 3m 
 9a 9
 Do đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d: 
 2
 y 4x 5 nên 9 3m 4 m 3 (tm)
 9
 13