Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển tư duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chương trình Giải tích THPT lớp 12

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN 
 TRƢỜNG THPT ĐÔ LƢƠNG 3 
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
 TÊN ĐỀ TÀI: 
 “GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN TƢ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA 
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CHỦ ĐỀ HÀM SỐ HỢP TRONG CHƢƠNG 
 TRÌNH GIẢI TÍCH THPT LỚP 12” 
 Bộ môn : Toán 
 Nhóm tác giả: 1. Lê Minh Hạnh 
 2. Lê Văn Lộc 
 Năm học : 2021 - 2022 
 1 
 Phần I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
 Trong chương trình Toán học phổ thông hiện nay, phần Hàm số được đưa vào 
giảng dạy ở phần Chương I, chương trình môn Toán học lớp 12. Đây là một 
chương nhằm trang bị đầy đủ kiến thức về hàm số cho học sinh THPT sau khi đã 
tiếp cận các khái niêm về hàm số và các tính chất của hàm số ở các lớp dưới. vì 
vậy ở chương này sách giáo khoa đã trình bày một cách đầy đủ và sâu sắc về các 
khái niêm, các tính chất, phong phú và đa dạng về các dạng bài tập. 
 Chuyên đề “hàm hợp” là một vấn đề mới trong các đề thi TNTHPT trong giai 
đoạn hiện nay, đặc biệt từ khi Bộ Giáo dục và đào tạo tổ chức thi bằng hình thức 
trắc nghiệm, thì hàm hợp được khai thác sâu ở các mức độ khác nhau, đặc biệt 
chiếm tỷ lệ lớn ở phần vận dụng cao trong cấu trúc của đề thi nói chung cung như 
phần hàm số nói riêng.Từ đó cần phải thấy được vai trò của chuyên đề “hàm hợp” 
và đặt đúng vị trí của nó cũng như phải dành một thời lượng đáng kể để giúp học 
sinh nắm vững chuyên đề này. 
 Với đối tượng học sinh ở mức năng lực và tư duy hàm còn chưa tốt thì đây là 
chuyên đề khó, vì nó liên hệ đến nhiều kiến thức của chương, thậm chí liên 
chương. Mặt khác công thức hàm không cho tường minh nên phương pháp tư duy 
giải toán và tiếp cận bài toán cũng khác so với các dạng toán quen thuộc tường 
minh trước đó. Mặt khác; nếu không giúp học sinh chiếm lĩnh chuyên đề này thì đã 
bỏ mất đi một lớp các bài toán quan trọng với số lượng câu rất đáng kể trong đề 
thi, từ đó dẫn đến các em học sinh sẽ khó khăn trong việc giải quyết các phần còn 
lại và ảnh hưởng rất lớn đến kết quả học tập cũng như kết quả trong các kỳ thi. 
 Với mục tiêu đặt ra là giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải 
quyết tốt vẫn đề này, tôi lựa chon đề tài: “Góp phần phát triển tƣ duy cho học 
sinh thông qua một số bài toán về chủ đề hàm số hợp trong chƣơng trình giải 
tích THPT lớp 12.” 
 Tính mới của đề tài là phân loại các dạng toán về “hàm hợp” để làm mềm các 
lớp bài toán, từ đó giúp học sinh có năng lực và tư duy tốt hơn để giải quyết các 
bài toán phân loại sâu ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong các đề thi. 
2. Mục đích của đề tài 
 - Phát triển tư duy và năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 
3. Đối tƣợng nghiên cứu 
 - Học sinh lớp 12 (chú trọng học sinh khá giỏi). 
 - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh đại học, thi HSG cấp tỉnh 
khối 12. 
 - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 
 3 
 PHẦN II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU: 
 Chƣơng 1. Cở sở lí luận và thực tiễn. 
1. Cơ sở lý luận. 
Đối với học sinh có năng lực và tư duy chưa tốt sẽ gặp nhiều khó khăn trong việc 
giải quyết các bài toán liên quan đến hàm hợp ỏ mức vận dụng, vận dụng cao. Bên 
cạnh tâm lý e ngại, sợ khó còn là vấn đề năng lực hiện có để giải quyết. Do đó cần 
phải trang bị đủ kiến thức cho các em và biết cách làm “mềm” các dạng toán để 
giúp các em có năng lực và tư duy để tự tin tiếp cận. 
2. Thực trạng của đề tài 
 Có thể nói rằng chủ đề cực trị hàm hợp, hàm liên kết là một chủ đề hay và 
khó trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề 
này ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên 
thường lựa chọn các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích 
lớp 12, các bài toán cực trị trong các đề thi THPTQG, đề thi TNTHPT và đề thi 
HSG để giảng dạy cho học sinh. Tuy nhiên vẫn còn một số tồn tại sau: 
 - Các bài toán cực trị hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12 
vẫn còn khá dễ và chưa sát với các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết trong 
các đề thi THPTQG nay là đề thi TNTHPT và tuyển sinh đại học. 
 - Khi giảng dạy các bài toán cực trị hàm hợp và hàm liên kết giáo viên 
thường ít chú trọng hoạt động “nhận biết, khai thác và phát triển” các bài toán dẫn 
tới năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo của học sinh bị hạn chế. 
 - Chưa thật sự chú trọng trong việc tìm tòi, xây dựng các bài toán mới để từ 
đó hướng dẫn học sinh xây dựng và giải các bài toán về cực trị hàm hợp và hàm 
liên kết. 
3. Cơ sở lý thuyết 
 3.1. Kiến thức cơ bản về đại số và giải tích lớp 11: 
 Đạo hàm của hàm số; Giải phương trình. 
 3.2. Kiến thức cơ bản về giải tích lớp 12: 
 Bảng biến thiên của hàm số; Cực trị của hàm số; Đồ thị của hàm số và các 
bài toán liên quan. 
4. Cơ sở thực tiễn 
 Qua khảo sát thực tế, học sinh THPT hiện nay nói chung và học sinh trường 
THPT Đô Lương 3 nói riêng hầu hết các em học sinh còn hạn chế về tư duy và năng 
lực giải quyết vấn đề . Các bài toán thuộc chủ đề hàm hợp trong các đề thi thường ở 
mức độ vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giải được lớp bài toán này học sinh cần biết 
sử dụng tổng hợp các kiến thức và phải thông qua vài bước biến đổi. 
 5 
 Chƣơng 2: 
 Góp phần phát triển tƣ duy cho học sinh thông qua một số bài toán về chủ đề 
 hàm số hợp trong chƣơng trình giải tích THPT lớp 12. 
1. Một số kiến thức cơ bản 
1.1. Đạo hàm của hàm hợp 
 Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là u x , và hàm số y f u có đạo 
hàm tại u là yu thì hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là: y x y u . u x . 
1.2. Sự đơn điệu của hàm số 
1.2.1. Định nghĩa 1. 
Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc một nữa khoảng và y f x là một hàm 
số xác định trên K. Ta nói: 
+ Hàm số y f x được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu 
 x,, x K x x f x f x
 1 2 1 2 1 2 
+ Hàm số y f x được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu 
 x1,, x 2 K x 1 x 2 f x 1 f x 2 
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K gọi chung là đơn điệu trên K. 
1.2.2. Nhận xét. 
a. Nhận xét 1. 
Nếu hàm số fx và gx cùng đồng biến (nghịch biến) trên D thì hàm số 
 f x g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có thể không đúng 
đối với hiệu f x g x . 
b. Nhận xét 2. 
Nếu hàm số fx và gx là các hàm số dương và cùng đồng biến (nghịch biến) 
trên D thì hàm số f x . g x cũng đồng biến (nghịch biến) trên D. Tính chất này có 
thể không đúng khi các hàm số f x , g x không là các hàm số dương trên D. 
c. Nhận xét 3. 
Cho hàm số u u x , xác định với x a; b và u x c; d . Hàm số f u x cũng 
xác định với x a; b . Ta có nhận xét sau: 
i. Giả sử hàm số u u x đồng biến với x a; b . Khi đó, hàm số f u x đồng 
biến với x a; b f u đồng biến với u c; d . 
ii. Giả sử hàm số u u x nghịch biến với x a; b . Khi đó, hàm số f u x 
nghịch biến với x a; b f u nghịch biến với u c; d . 
1.2.3. Định lí 1. 
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó: 
a) Nếu hàm số đồng biến trên khoảng K thì f' x 0,  x K . 
 7 
 Định lý 2: Giả sử hàm số y f x liên tục trên K x00 h; x h và có đạo hàm 
trên K hoặc trên Kx\ 0, với h 0. 
 +) Nếu fx 0 trên khoảng K x00 h; x và fx 0 trên x00; x h 
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số fx . 
 +) Nếu fx 0 trên khoảng và fx 0 trên 
thì là một điểm cực tiểu của hàm số . 
Minh họa bằng bảng biến thiến 
Định lý 3: Giả sử hàm số có đạo hàm cấp một trên khoảng ab; chứa 
điểm x0 , fx 0 và fx có đạo hàm cấp hai khác 0 tại . 
 a) Nếu fx 0 0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm . 
 b) Nếu fx 0 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm . 
 Chú ý: Trong định lý 3 nếu fx 0 0 thì ta chưa kết luận được hàm số đạt 
hay không đạt cực trị tại . 
1.4. GTLN, GTNN của hàm số. 
1.4.1. Định nghĩa. 
 Cho hàm số y f x xác định trên tập D. 
 +) Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên D nếu: 
 f(), x M  x D
 . Kí hiệu: M max f ( x ) . 
 xD 
 x00 D,() f x M
 +) Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên D nếu: 
 f(), x m  x D
 . Kí hiệu: m min f ( x ) . 
 xD 
 x00 D,() f x m
1.4.2. Phƣơng pháp tìm GTLN,GTNN 
1.4.2.1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách khảo sát trực tiếp 
 Bước 1: Tính fx và tìm các điểm x12, x ,..., xn D mà tại đó fx 0 hoặc 
 hàm số không có đạo hàm. 
 Bước 2: Lập bảng biến thiên và từ đó suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất 
 của hàm số. 
1.4.2.2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn 
 Bước 1: 
 9 
 Dựa vào BBT, hàm số đồng biến trên khoảng 1;3 . 
Ví dụ 2. Điểm cực tiểu của hàm số y x4 x2 là 
A. x 23. B. x 2. C. x 2 . D. x 2
.Lời giải: 
Tập xác định của hàm số là D  2;2 . 
 xx2242 x 2
 yx 4 2 . Ta có y 0 . 
 22
 44 xx x 2
Bảng biến thiên 
Vậy điểm cực tiểu của hàm số là x 2 . 
2.2. Cho bởi BBT hoặc đồ thị của hàm số y f() x . 
Ví dụ 1(VTED - ĐỀ 13 - 2021) Cho hàm số y f x có bảng biến thiên như sau: 
 1
Hàm số gx đồng biến trên khoảng nào sau đây? 
 fx 
A. 2;0 . B. 3; . C. 1; 2 . D. ;1 
Lời giải: 
 xx 12 
 fx fx 0 
Ta có : g x 0 1 x 3 2 x 1 . 
 2 
 fx fx 0 
 x 2;0; 3 13 x
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ;2 , 2; 1 và 1; 3 . 
 11 
 Hàm số fx có bao nhiêu điểm cực tiểu? 
A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . 
Lời giải: 
Bảng biến thiên của hàm số fx là: 
Vậy hàm số fx có 2 điểm cực tiểu. 
Ví dụ 3. Cho hàm số y f x xác định và 
 7
liên tục trên đoạn 0; có đồ thị hàm số 
 2
 y f x như hình vẽ. Hỏi hàm số y f x 
 7
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn 0; tại điểm 
 2
 x0 nào dưới đây 
 A. x0 2 . B. x0 1. C. x0 0 . D. x0 3. 
Lời giải: 
Dựa vào đồ thị của hàm số y f x , ta có bảng biến thiên: 
Suy ra minyf 3 . Vậy x0 3. 
 7
 0;
 2
3. Phƣơng pháp giải. 
Thông thường, để giải các bài toán trên ta thực hiện các bước sau: 
 +) Tính đạo hàm, tìm các điểm tới hạn 
 +) Lập bảng biến thiên và kết luận 
Việc tìm các điểm tới hạn dẫn đến việc tìm nghiệm của phương trình. Thông 
thường có 2 tính huống xảy ra 
 13