Sáng kiến kinh nghiệm Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề Tương giao

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN 
 TRƯỜNG THPT ĐÔ LƯƠNG 3 
 ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN 
 “GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI 
QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ NĂNG LỰC SÁNG TẠO CHO 
 HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA DẠY HỌC CHỦ 
 ĐỀ TƯƠNG GIAO” 
 LĨNH VỰC: TOÁN HỌC 
 Tác giả: Hoàng Đình Bằng 
 Năm học: 2021 - 2022 
 PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ 
 1. Lý do chọn đề tài 
 Mục tiêu đối với giáo dục phổ thông đó là tập trung phát triển trí tuệ, thể 
chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề 
nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú trọng lí tưởng, 
truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng lực và kỹ năng thực 
hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, 
khuyến khích học tập suốt đời. 
 Trong quá trình dạy học, hoạt động dạy giải bài tập toán có vai trò hết sức 
quan trọng. Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục tiêu dạy 
học bộ môn Toán ở bậc THPT. Trong việc dạy giải bài tập Toán nhiệm vụ quan 
trọng hàng đầu là phải rèn luyện kỹ năng giải Toán, tức là phải hình thành cho 
người học cách suy nghĩ, phương pháp giải và khả năng vận dụng kiến thức, qua 
đó góp phần phát triển năng lực sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 
 Chương trình lớp 12 chủ đề hàm số chiếm khối lượng lớn được chia ra 
nhiều phần như: Tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất, tiệm 
cận, tương giao. Trong sách giáo khoa hiện hành các bài toán về hàm số chỉ đề 
cập ở mức độ cơ bản. Thực tế trong các kỳ thi về chọn học sinh giỏi lớp 12, kỳ thi 
THPT quốc gia các năm vừa qua lại xuất hiện các bài toán về hàm hợp để phân 
loại học sinh. Do đó các em học sinh rất lúng túng và gặp không ít khó khăn trong 
việc tiếp cận và tìm tòi lời giải các bài toán trên. Vấn đề tương giao của hàm số, 
tìm số nghiệm của phương trình, số nghiệm bội của phương trình là một trong 
những vấn đề khó. Nhằm giúp học sinh trong việc tìm các giải pháp để các em 
với học lực môn Toán khác nhau được làm quen với xu hướng ra đề thi của Bộ 
GD&ĐT, giúp các em được rèn luyện một cách hợp lý kỹ năng giải các bài toán 
tương giao, góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, từng 
bước tạo sự đam mê, hứng thú học tập môn Toán, hình thành năng lực tự học, khả 
năng sáng tạo cho học sinh. 
 Từ những ý tưởng và những lý do đã nêu trên, tôi quyết định chọn đề tài 
nghiên cứu: ‘‘Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng 
tạo cho học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao”. 
 1.2. Mục đích của đề tài 
 - Phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh. 
 - Phát triển năng lực sáng tạo cho học sinh. 
 1.3. Đối tượng nghiên cứu 
 - Học sinh lớp 12 . 
 - Học sinh ôn thi tốt nghiệp THPT, thi năng lực, thi HSG cấp tỉnh khối 12. 
 - Giáo viên giảng dạy môn Toán bậc THPT. 
 2 
 Phần II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 
 Chương 1. Cở sở lí luận và thực tiễn 
 1.1. Khái niệm 
 - Theo chương trình GDPT tổng thể năm 2018: “Năng lực là thuộc tính cá 
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện, 
cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính 
cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... thực hiện thành công một loại hoạt 
động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ thể”. 
- Từ định nghĩa này, chúng ta có thể rút ra những đặc điểm chính của năng lực là: 
 + Năng lực là sự kết hợp giữa tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn luyện 
của người học. 
 + Năng lực là kết quả huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các 
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,... 
 + Năng lực được hình thành, phát triển thông qua hoạt động và thể hiện ở 
sự thành công trong hoạt động thực tiễn. 
 1.2. Yêu cầu cần đạt về năng lực 
 - Theo GS.TS Nguyễn Minh Thuyết chương trình GDPT mới hình thành 
và phát triển cho học sinh những năng lực cốt lõi sau: 
 + Những năng lực chung được hình thành, phát triển thông qua tất cả các 
môn học và hoạt động giáo dục: Năng lực tự chủ và tự học, năng lực giao tiếp và 
hợp tác, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo. 
 + Những năng lực đặc thù được hình thành, phát triển chủ yếu thông qua 
một số môn học và hoạt động giáo dục nhất định: Năng lực ngôn ngữ, năng lực 
tính toán, năng lực khoa học, năng lực công nghệ, năng lực tin học, năng lực thẩm 
mĩ, năng lực thể chất. 
 - Theo chương trình GDPT môn Toán năm 2018, yêu cầu cần đạt về năng 
lực đặc thù là: Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực 
toán học (biểu hiện tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần 
cốt lõi sau: Năng lực tư duy và lập luận toán học; Năng lực mô hình hoá toán học; 
Năng lực giải quyết vấn đề toán học; Năng lực giao tiếp toán học; Năng lực sử 
dụng công cụ, phương tiện học toán. 
 1.3. Thực trạng của đề tài 
 Có thể nói rằng chủ đề hàm số là một chủ đề chiếm khối lượng lớn và khó 
trong chương trình môn Toán lớp 12 ở trường THPT. Khi giảng dạy chủ đề này 
ngoài các kiến thức cơ bản trong chương trình SGK ban cơ bản giáo viên thường 
lựa chọn các bài toán hay trong SGK và SBT nâng cao môn giải tích lớp 12, các 
 4 
 Chương 2. 
 Góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo cho 
 học sinh lớp 12 thông qua dạy học chủ đề tương giao. 
2.1. Một số kiến thức cơ bản 
 2.1.1. Đạo hàm của hàm hợp 
 Nếu hàm số u g x có đạo hàm tại x là u x , và hàm số y f u có đạo 
hàm tại u là yu thì hàm hợp y f g x có đạo hàm tại x là: y x y u . u x . 
 Một số hàm số thường gặp: Với u là một hàm số của x ta có: 
 nn 1 *
 + u n.. u u (n N,2 n ). 
 u 
 + u (u 0). 
 2 u
 2 
 u 2u . u u . u
 + uu 2 (u 0). 
 2 u2 2 uu
 2.1.2. Cực trị của hàm số 
 2.1.2.1. Điều kiện cần đạt cực trị 
 Định lý 1: Nếu hàm số y f x liên tục trên khoảng ab; có đạo hàm tại 
 x0 a; b và đạt cực trị tại điểm đó thì fx 0 0. 
 2.1.2.2. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 
 Định lý 2: Giả sử hàm số y f x liên tục trên K x00 h; x h và có 
đạo hàm trên K hoặc trên Kx\ 0, với h 0. 
 + Nếu fx 0 trên khoảng K x00 h; x và fx 0 trên x00; x h 
thì x0 là một điểm cực đại của hàm số fx . 
 + Nếu fx 0 trên khoảng K x00 h; x và fx 0 trên x00; x h 
thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số fx . 
 2.1.3. Số nghiệm phương trình f x m bằng số giao điểm của đồ thị 
 y f x và đồ thị ym (là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành 
đồng thời cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng m). 
 2.1.4. Số nghiệm phương trình f x g() x bằng số giao điểm của đồ thị 
 y f x và đồ thị y g() x . 
 6 
 1
Ta có số nghiệm thực của phương trình fx chính là số giao điểm của đồ 
 2
 1
thị hàm số y f() x với đường thẳng y . 
 2
Dựa vào đồ thị ta thấy đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại 2 điểm. 
Vậy phương trình có hai nghiệm. 
Ví dụ 2.2.3. [Trích đề thi thử Trường chuyên Phan Bội Châu năm 2020] 
Cho hàm số y f x liên tục trên R và có đồ thị như hình vẽ bên. Số nghiệm của 
phương trình fx 2 là: 
 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 
 Lời giải 
Từ đồ thị hàm số y f x suy ra đồ thị hàm số y f x như sau: 
- Giữ lại phần đồ thị phía trên trục Ox. 
- Lấy đối xứng phần đồ thị phía dưới trục Ox lên phía trên trục Ox. 
Ta thu được đồ thị hàm y f x như sau: 
 8 
- Ta có số nghiệm của phương trình 2 chính bằng số giao điểm của đồ thị hàm 
 số f t t32 6 t 9 t 6, t 0 và đường thẳng ym 2 . 
- Từ bảng biến thiên, suy ra phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm phân biệt 
 6 2mm 10 3 5 . 
 Vì mZ nên có 2 giá trị của m là m 4 và m 5. 
Bước 4. Đánh giá giải pháp . 
 - Để giải được bài toán trên học sinh cần giải quyết hai vấn đề quan trọng là: 
 Thứ nhất: Đặt ẩn phụ và chuyển về bài toán quen thuộc tìm số nghiệm của 
phương trình f t m . 
 Thứ hai: Tìm được mối liên hệ giữa x và ẩn phụ t. Lập bảng biến thiên của hàm 
số y f t suy ra số nghiệm f t m . 
Nhận xét: Bằng cách chuyển về bài toán đã cho về phương trình quen thuộc 
 chúng ta hướng dẫn cho học sinh giải các bài toán chứa tham số sau: 
Ví dụ 2.2.5. Cho hàm số y x32 x mx 1 có đồ thị C . Tìm tham số m để C 
cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt . 
 A. m 0 B. m 1 C. m 1 D. m 0 
 Lời giải : 
 Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C) và trục hoành là: 
 x3 x 2 mx 1 0 x 3 x 2 1 mx(1) 
+) Nhận thấy x 0 không là nghiệm của phương trình (1). 
 1 1
+) Với x 0, Phương trình (1) x2 x m . Đặt f( x ) x2 x , x 0. 
 x x
 1 (x 1)(2 x2 x 1)
Khi đó f'( x ) 2 x 1 ,  x 0; 
 xx22
 Ta có f'( x ) 0 x 1 
 10 
 Ta có: Phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt m 2. 
Kết hợp với điều kiện m nguyên và m  2022;2022 . Suy ra có 2020 giá trị m 
là: m 3;...;2022. 
Ví dụ 2.2.7. [Trích đề thi THPT QG năm 2018 - 2019] 
 x 3 x 2 x 1 x
Cho hai hàm số y và y x 2 x m (m là tham 
 x 2 x 1 x x 1
số thực) có đồ thị lần lượt là C1 và C2 . Tập hợp tất cả các giá trị của m để 
 C1 và C2 cắt nhau tại 4 điểm phân biệt là: 
A. ;2. B. 2; . C. ;2 . D. 2; . 
 Lời giải: 
Phương trình hoành độ giao điểm của C1 và C2 là: 
 x 3 x 2 x 1 x
 x 2 x m 
 x 2 x 1 x x 1
 x 3 x 2 x 1 x
 x 2 x m (1). 
 x 2 x 1 x x 1
 x 3 x 2 x 1 x
Đặt f x x 2 x. 
 x 2 x 1 x x 1
Tập xác định DR \ 1;0;1;2. 
 1 1 1 1x 2
 fx 1 
 x 2 2 x 1 2xx2 x 1 2 2
 1 1 1 1 xx 22 
 0, xD 
 x 2 2 x 1 2xx2 x 1 2 2
Bảng biến thiên 
 x -2 -1 0 1 2 
 fx'( ) + + + + + + 
 fx() 
 2 
 12