Sáng kiến kinh nghiệm Gỡ “nút thắt” cho bài toán hình học tọa độ phẳng trong các đề thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh bậc THPT

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG III
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 TÊN ĐỀ TÀI
 GỠ “NÚT THẮT ” CHO BÀI TOÁN HÌNH HỌC 
TỌA ĐỘ PHẲNG TRONG CÁC ĐỀ THI THPT QUỐC GIA
 VÀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CẤP TỈNH BẬC THPT
 Người thực hiện:Trần Văn Lực
 Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
 SKKN thuộc lĩnh mực (môn): Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2016 PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình 
học phổ thông đó là phương pháp toạ độ trong mặt phẳng, đây là phần tiếp nối 
của hình học phẳng ở cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải 
tích.Do đó trong các đề thi THPT Quốc gia và thi học sinh giỏi bậc THPT đều 
có một bài toán phân loại rất khó của hình học tọa độ trong mặt phẳng nhằm 
khai thác mối liên hệ ràng buộc giữa hình học tọa độ trong mặt phẳng ở lớp 10 
và kiến thức của hình học phẳng ở bậc THCS. Như vậy mỗi bài toán hình học 
toạ độ trong mặt phẳng đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào 
đó. Tuy nhiên khi giải các bài toán hình học toạ độ học sinh thường không chú 
trọng đến bản chất hình học của bài toán ấy.Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị 
cho học sinh một hệ thống phương pháp suy luận giải toán hình học toạ độ trong 
mặt phẳng từ các tính chất của hình học phẳng . Với ý định đó, trong sáng kiến 
kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách định hướng tìm lời giải bài toán hình 
học toạ độ trong mặt phẳng dựa trên bản chất hình học phẳng của bài toán .Đó là 
tôi nghiên cứu đề tài:Gỡ “nút thắt” cho các bài toán hình học tọa độ phẳng trong 
các đề thi THPT Quốc gia và thi HSG môn Toán cấp Tỉnh bậc THPT.
2 . Mục đích nghiên cứu 
 Định hướng cho học sinh cách giải bài toán hình học tọa độ trong mặt 
phẳng từ việc nắm vững và vận dụng linh hoạt các tính chất của hình học phẳng 
giúp học sinh tư duy lôgic giải nhanh và hiệu quả các đề thi THPT Quốc gia và 
thi học sinh giỏi môn Toán bậc THPT. Việc đưa nội dung này nhằm khai thác 
các tính chất hình học phẳng để tìm tòi lời giải bài toán hình học toạ độ phẳng 
dựa trên việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán . Qua đó 
giúp học sinh nhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt 
phẳng luôn chứa đựng một bài toán hình phẳng tương ứng”giúp học sinh nắm 
vững mối liên hệ mật thiết giữa hai vấn đề của bộ môn hình học phẳng. Từ đó 
giúp học sinh nâng cao tư duy trong việc phân tích bản chất của bài toán hình 
học phẳng chứa đựng trong các bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng tương 
ứng thông qua 15 tính chất và 12 bài tập minh họa .
3. Đối tượng nghiên cứu
 + Phương pháp giải bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng thông qua 
việc vận dụng các tính chất của hình học phẳng.
 +Các bài tập hình học tọa độ trong mặt phẳng từ các đề thi HSG Toán cấp 
tỉnh bậc THPT và các đề thi Toán THPT Quốc gia.
4. Phương pháp nghiên cứu
 Từ việc trang bị một số tính chất cơ bản trong hình học phẳng giảng dạy 
cho học sinh giải các bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, chỉ ra bản chất 
và liên hệ với các tính chất của hình phẳng tương ứng, từ đó phân tích ngược lại 
cho bài toán vừa giải.
 Trước hết cần chú ý chuyển bài toán toạ độ về bài toán hình phẳng trên cơ 
sở các dữ kiện bài toán đã cho.
 Sau đó ta sẽ phân tích tính chất hình học trên hình phẳng để định hướng 
tìm lời giải bài toán.
 Trang 1 4. Nội dung đề tài
 a) Các tính chất quen thuộc của hình học phẳng:
 Tính chất 1: Cho ABC có 3 đường cao AA’, BB’, CC’ đồng quy tại H. Gọi 
 M, N, P là trung điểm của 3 cạnh BC, CA, AB và E, F, D là trung điểm của AH, 
 BH, CH thì 9 điểm A’, B’, C’, M, N, P, E, F, D cùng thuộc một đường tròn 
 (Đường tròn 9 điểm).
 Chứng minh: 
 Xét phép vị tự V 1 
 H; 
 2 
 A B1
 A E
 N N
 B' 1
 C1 E B F
 C' B1 B'
 N N C D 
P1 1 C C'
 P H A A' 1
 1 P P
 F M M 1
 D 1
 Nên đường tròn (ABC)thành đường tròn đi 
 C
 B A' M qua A’, B’, C’, M, N, P, E, F, D .Hay 9 
 điểm A’, B’, C’, M, N, P, E, F, D cùng 
 thuộc đường tròn.
 A1 M1
 Tính chất 2: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi P, Q lần lượt là 
 trung điểm của các đoạn thẳng BH, AH AP  CQ
 Hệ quả: Hình chữ nhật ABCD, H là hình chiếu của A trên BD và E , F ,Q là 
 trung điểm của BC, HD , AH thì BQFE là hình bình hành và AF vuông góc với 
 EF.
 Chứng minh:
 + Ta có PQ là đường trung bình của AHB B
 PQ P AB, mà AB  AC PQ  AC và
 AH  BC Q là trực tâm APC AP  CQ P
 H
 Q
 A C
 Trang 3 Tính chất 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD, M là một điểm trên AB 
sao cho AB = 4.AM DM  AC.Nếu N ,K ,P là trung điểm AB, HC ,DH
 KN  DK
Tứ giác APKN là hình bình hành và P là trực tâm tam giác ADK.
Chứng minh:
 o M
Ta có: Dµ 1 Mµ 1 90 Mà: A B
 1
 DC 1 AM 1 2
 tan Aµ 1 ,tan Dµ 1 
 AB 2 AD 2 H
 Aµ 1 Dµ 1
 o
 Aµ 1 Mµ 1 90 AHM vuông 
tại H AC  DM 1
 D C
Tính chất 7: Trong 1 hình thang cân có 2 đường chéo AD và BD vuông góc thì 
 IA AB
độ dài đường cao bằng độ dài đường trung bình EF và .
 ID CD
Hướng dẫn chứng minh:
+ NM = NI + IM A N B
+ Do ABCD là hình thang cân, AC  BD
tại I AIB, BIC vuông cân IN, IM là các 
đường cao tương ứng đồng thời là trung tuyến. I
 AB CD E F
 NI ;IM 
 2 2
 AB CD
 NI IM EF
 2
 NM EF D M D
 Trang 5 Tính chất 10: (Đường thẳng Ơ – le) Cho ABC nội tiếp đường tròn (O),
 gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , 
OA cắt (O) tại A’ thì BHCA’ là hình bình hành, G cũng là trọng tâm tam giác 
AHA’ và:      
1. AH 2.OM OH OA OB OC
   , 
2. OH 3.OG ,3 điểm O, G, H thẳng hàng 
Chứng minh:
1. Tứ giác BHCA có các cặp cạnh đối đôi 
một vuông góc nên BHCA’ là hình bình A
hành suy ra OM là đường  trung bình của 
tam giác AA’H vậy AH 2.OM H
Do M là trung điểm BC ,ta có:    
 OA OB OC OA 2.OM OA AH OH G
 H O
2. Do G là trọng  tâm AB C
 C
 OA OB  OC 3 .OG
 M
 OA 2.OM 3.OG B
    
 OA AH 3.OG A'
   
 OH 3.OG
Vậy 3 điểm O, G, H thẳng hàng.( Cùng thuộc đường thẳng Ơ – le) 
Tính chất 11: Cho ABC gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm 
đường tròn nội tiếp ABC , AI cắt đường tròn (O) tại D thì OD vuông góc với 
BC và tam giác BDI cân DB = DI = DC.
Gọi E là giao của AI với BC và F đối xứng với I qua D thì F là tâm đường tròn 
bàng tiếp góc A và BD là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE.
 A Chứng minh: Do D là điểm chính giữa cung BC 
  
 Ta có I1 Aµ 1 Bµ 1 (do I1 là góc ngoài ABI )
 1 2
 Và Bµ 1 Bµ 2 (do AI là phân giác ABC ), mà :
 »
 sdBC 
 Aµ 2 Bµ 3 I1 Bµ 2 Bµ 3 I·BD IBD
 2 
 I O cân tại D DI DB .
 µ µ » »
 1 1 Ta lại cóA1 A2 BC DC BD DC 
 2 DB= DI = DC.
 B
 3 C
 D
 Trang 7 Tính chất 14. Cho (O) một dây cung AB với I trung điểm. Qua I xét 2 dây cung 
MN và PQ tùy ý sao cho các dây này cắt AB ở E và F. Chứng minh rằng I trung 
điểm EF. (Định lý con bướm)
Chứng minh:
 Gọi K, T lần lượt là trung điểm của dây 
 MP, NQ. Ta có tứ giác OIEK và OIFT nội 
 M tiếp. Suy ra: EOI EKI;FOI ITF . 
 Mặt khác tam giác IMP đồng dạng với 
 Q INQ và IK, IT lần lượt là 2 trung tuyến. 
 Suy ra: EKI ITN .
 O Do đó: EOI FOI. Vậy tam giác OEF 
 K có OI vừa là phân giác vừa là đường cao 
 T nên nó là tam giác cân. Suy ra IE = IF.
 F B
 A E I
 P N
Tính chất 15. Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H (D 
thuộc AC; E thuộc AB). Lấy I là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông 
góc với HI cắt AB, AC ở M, N. Chứng minh HM = HN.
 Chứng minh :
 Kẻ đường tròn đường kính BC. Ta có tứ 
 A giác BCDE nội tiếp theo bài toán con bướm có d 
 vuộng góc với IH nên HM = HN.
 E D
 H N
 M
 B I C
 Trang 9 Ta có A A(a;1 3a) , 
và AO  MN
 AO.MN 0 a 1 A(1; 2)
 Đường thẳng AB :
 AB: x – 1 = 0.
 Đường thẳng AC :
 AC: x + y + 1 = 0.
Đường cao BM :
 BM: x - y + 1 = 0.
B = AB  BM
 B(1;2), 
 C(-2;1)
Bài 3 : ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = 5. Trực tâm H(-1 ;-
1), độ dài BC = 8. Hãy viết phương trình BC.
 Hướng dẫn giải :Theo tính chất 10
 Kẻ đường kính AD BHCD là hình bình 
 A hành MI là đường trung bình của 
 AHD AH=2.MI
 gọi A(x ;y)
 Ta có: 
 H I AH 2.MI 2. CI2 BM2 2. 52 42 6
 AI 5
B x 1
 M C A( 1;5) D(5; 3) M(2; 2) 
 y 5
 D (do I là trung điểm AD, M là trung điểm HD)
 Đường thẳng BC đi qua M, vuông góc với 
AH nên có phương trình là : 
BC: y + 2 = 0.
Bài tập 4: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A 1;4 , tiếp 
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D , đường phân 
giác trong của ·ADB có phương trình x y 2 0 , điểm M 4;1 thuộc cạnh AC . 
Viết phương trình đường thẳng AB .
Hướng dẫn: 
 Trang 11