Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh nhận dạng và phương pháp giải các bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

 PHẦN 1: MỞ ĐẦU
 1.1. Lý do chọn đề tài
 Trong chương trình Hình học 12, bài toán viết phương trình đường thẳng 
trong không gian là bài toán hay và không quá khó. Để làm tốt bài toán này đòi 
hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức hình học không gian, mối quan hệ giữa 
đường thẳng, mặt phẳng. Là dạng toán luôn có mặt trong các đề thi tốt nghiệp 
THPT và thi vào Cao đẳng, Đại học nên yêu cầu học sinh phải làm tốt được 
dạng toán này là hết sức cần thiết.
 Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi đội ngũ các thầy cô giáo phải tích 
cực học tập, không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn, đổi mới phương pháp 
dạy học theo hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động và sáng tạo của học 
sinh, bồi dưỡng khả năng tự học, khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế, đem 
lại sự say mê, hứng thú học tập cho học sinh.
 Trong quá trình giảng dạy tôi thấy học sinh còn gặp nhiều lúng túng trong 
việc giải quyết một bài toán hình học tọa độ nói chung, có thể có rất nhiều 
nguyên nhân dẫn đến tình trạng nói trên, nhưng theo tôi, nguyên nhân chủ yếu là 
khi học hình học toạ độ, học sinh chỉ “giải hình học bằng đại số” mà không để ý 
đến các tính chất hình học.
 Các phương pháp giải còn mang tính chất chủ quan, rời rạc, gặp bài toán 
nào thì chỉ chú trọng tìm cách giải cho riêng bài toán đó mà không có một cách 
nhìn tổng quát. Chính vì vậy dẫn đến tình trạng các em bị lúng túng trước các 
câu hỏi mặc dù các câu hỏi đó chỉ xoay quanh một vấn đề: Viết phương trình 
đường thẳng trong không gian. 
 Với vai trò là một giáo viên dạy Toán và qua nhiều năm giảng dạy, để trao 
đổi cùng các thầy cô đồng nghiệp với mong muốn tìm ra hướng giải quyết đơn 
giản nhất cho một bài toán, làm cho học sinh nhớ được kiến thức cơ bản trên cơ 
sở đó để sáng tạo. 
 Tôi xin trình bày một số kinh nghiệm của mình về việc giải quyết bài toán 
Viết phương trình đường thẳng trong không gian đó là:
 "GIÚP HỌC SINH NHẬN DẠNG VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI 
TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN".
 Với ý tưởng trên, tôi đã phân ra các dạng bài tập viết phương trình đường 
thẳng từ dễ đến khó để học sinh tiếp cận một cách đơn giản, dễ nhớ và từng 
bước giúp học sinh hình thành tư duy tự học, tự giải quyết vấn đề. Ngoài ra, 
giúp cho các em làm tốt các bài thi tốt nghiệp cũng như thi vào các trường Cao 
đẳng và Đại học.
 1 PHẦN 2: NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lý luận
 Kiến thức cơ bản: Trong chương trình Sách giáo khoa Hình Học Lớp 12 
Chuẩn thì phư¬ng tr×nh của đường thẳng trong không gian có hai dạng đó là: 
Phương trình tham số và phương trình chính tắc.
 ĐÓ viÕt phư¬ng tr×nh của đường thẳng trong không gian cÇn ph¶i x¸c 
®Þnh hai yÕu tè:
 + Mét ®iÓm mµ đường thẳng ®i qua.
 + Mét vÐc t¬ chỉ phương của đường thẳng.
 Khi đó, nếu đường thẳng đi qua ®iÓm M x0 ; y0 ; z0 và nhËn vÐc t¬ 
 u a;b;c lµm vÐc t¬ chỉ phương thì:
 x x0 at
Phương trình tham số của đường thẳng có dạng: y y0 bt (t là tham số)
 z z0 ct
Phương trình chính tắc của đường thẳng có dạng : 
 x x y y z z
 0 0 0 a.b.c 0 
 a b c
Kiến thức có liên quan: 
1. Phương trình tổng quát của ( ) có dạng: 
 Ax By Cz D 0 a2 b2 c2 0 
2. Nếu ( )có phương trình: Ax By Cz D 0 thì véc tơ pháp tuyến của ( )
 là n A;B;C 
3. Nếu( )đi qua điểm M x0 ; y0 ; z0 và nhận n A;B;C là véc tơ pháp tuyến 
thì phương trình của( ) là : A(x x0 ) B(y y0 ) C(z z0 ) 0
4. Nếu( )chứa hay song song với giá của hai vectơ không cùng phương 
 a a1;a2 ;a3 , b b1;b2 ;b3 thì véc tơ pháp tuyến của ( )là : 
 n a;b a2b3 a3b2 ;a3b1 a1b3;a1b2 a2b1 
5. Cho A x ; y ; z và điểm B x ; y ; z 
 A A A B B B
 - Vectơ AB = x B xA; yB y A; zB z A 
 x x y y z z
 - Toạ độ trung điểm I của AB là: I ( A B ; A B ; A B )
 2 2 2
Chú ý: Trªn c¬ së kiÕn thøc h×nh häc kh«ng gian líp 11, cã c¸c c¸ch x¸c ®Þnh 
đường thẳng như sau:
 - Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iÓm phân biệt cho trước.
 - Cã mét vµ chØ mét đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
 ... Ngoµi ra cßn rÊt nhiÒu c¸ch x¸c ®Þnh đường thẳng kh¸c n÷a.
 3 Chú ý: Trong bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian tôi 
đặc biệt chú ý đến các điều kiện xác định của đường thẳng trong không gian đó 
là:
 - Cã mét vµ chØ mét đường thẳng ®i qua hai ®iÓm phân biệt cho trước.
 - Cã mét vµ chØ mét đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng.
 Từ đó, tôi hướng cho học sinh giải quyết bài toán viết phương trình 
đường thẳng trong không gian theo hai cách sau:
 Cách 1: Tìm hai điểm mà đường thẳng đi qua.
 Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
 Một vấn đề đặt ra ở đây là: Phương trình dạng tổng quát của đường thẳng 
không được trình bày trong sách giáo khoa, vậy nếu học sinh vẫn để dưới dạng 
tổng quát thì có được chấp nhận hay không? nếu không được chấp nhận thì làm 
thế nào?
 Cách khắc phục không có gì khó khăn, ta có thể hướng dẫn học sinh chuyển 
về dạng tham số thông qua ví dụ sau:
 Ví dụ 1: (Cách thứ nhất) Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng 
 ( ) : x y 2z 5 0 và ( ) 2x y z 1 0 .
 Ta có thể đặt bất kì một ẩn làm tham số
 x y 3 2t 0 3x 3 3t 0 x 1 t
 Đặt: z 1 t 
 2x y t 0 2x y t 0 y 2 t
 x 1 t
 Vậy ta có phương trình dạng tham số của : y 2 t t R 
 z 1 t
 Ví dụ 2: (Cách thứ hai) Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng 
 ( ) : x y 2z 5 0 và ( ) 2x y z 1 0 .
 x y 3 x 1
 +) Với z 1 ta có: I đi qua M 1; 2;1 .
 2x y 0 y 2
 +) Đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng nên có một véctơ chỉ 
phương là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó: 
    
 u n ,n 3;3;3
  
 x 1 3t
 Vậy có phương trình dạng tham số: y 2 3t t R 
 z 1 3t
 Ngoài ra trong từng trường hợp cụ thể, với các mối quan hệ trong từng bài 
toán cũng cần hướng cho học sinh sáng tạo, tìm tòi cách giải mới.
 5 2
 t ' 
 15
 t ' 3k tk t ' 3k tk 0 
   8
 QA k PA 2 2t ' k tk 2t ' k tk 2 k 
 15
 4 t ' 4k tk t ' 4k tk 4
 26 1
 tk 
 15 P
 2  2 34 58 
 Với t ' ta có: QA ; ; . A
 15 15 15 15 
 Đường thẳng có véc tơ chỉ phương: u 1; 17;29 
 Q 2
 x 2 y 1 z 3
 phương trình : 
 1 17 29
 Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
 +) Đường thẳng cắt đường thẳng 1 nên xác định một mặt phẳng .
 +) Đường thẳng cắt đường thẳng 2 nên xác định một mặt phẳng  .
 Vậy đường thẳng là giao của hai mặt phẳng và  .
 Giải: Gọi là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau và 1 .
   
 Khi đó có hai véc tơ chỉ phương là: AM 3;1; 4 và u1 1; 1;1 
    
 n AM ;u 3; 7; 4
 suy ra véc tơ pháp tuyến của : 1 .
 Gọi  là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau và . Khi đó 
   2
  có hai véc tơ chỉ phương là AN 0;2; 4 và u2 1;2;1 
    
 ( ) n AN;u 10;4;2
 véc tơ pháp tuyến của :  2 
   
 u n ;n 2; 34;58
 véc tơ chỉ phương của là:  
 x 2 t
 phương trình : y 1 17t
 z 3 29t
 Ví dụ 2: Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi qua 
 x 6 2t
 x 1 y 2 z 3
A 1;2;3 đồng thời vuông góc với d1 và cắt d2 biết d1 : y 1 4t , d2 : .
 2 1 1
 z 4 t
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào? 
 1) Đề cho:
 +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A 1;2;3 .
 7 Ví dụ 3: Trong không gian tọa độ Oxyz. Viết phương trình đường thẳng đi 
 x 3 t
qua A 3; 2; 1 vuông góc và cắt đường thẳng d : y 4 5t
 z 1 2t
Phân tích bài toán: Đề bài đã cho các đại lượng nào, cần xác định đại lượng nào?
 1) Đề cho:
 +) Điểm đi qua của đường thẳng cần tìm : A 3; 2; 1 .
 +) Đường thẳng d đi qua điểm M 3;4; 1 và có véctơ chỉ phương u 1; 5;2 .
 +) Quan hệ: Đường thẳng cắt d . Đường thẳng vuông góc với d .
 2) Cần xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng .
Cách giải:
Cách 1: Xác định hai điểm mà đường thẳng đi qua.
 +) Đường thẳng cắt đường thẳng d tại P P d P(3 t;4 5t; 1 2t) .
     
 +) Đường thẳng vuông góc với d nên AP  u1 AP.u1 0 .
 Suy ra đường thẳng chính là đường thẳng PA .
Cách 2: Xác định hai mặt phẳng cùng chứa đường thẳng cần tìm
 +) Đường thẳng cắt đường thẳng d nên xác định một mặt phẳng .
 +) Đường thẳng vuông góc với d nên xác định một mặt phẳng  qua A 
và vuông góc với d . Vậy đường thẳng là giao của hai mặt phẳng và  .
  
Giải: Ta có: AM 0;6;0 , gọi là mặt phẳng qua A và chứa d 
   
 có véc tơ pháp tuyến là : n AM ,u 12;0; 6
Gọi  là mặt phẳng qua A và vuông góc với d 
  
  có véc tơ pháp tuyến là : n u 1; 5;2 
    
 u n ;n 30; 30; 60
Vậy đường thẳng cần tìm có chỉ phương: 1  
 x 3 y 2 z 1
Phương trình của đường thẳng : .
 1 1 2
Nhận xét: Qua các ví dụ trên cho thấy, mỗi bài toán không phải chỉ có một 
cách giải mà trong từng trường hợp cụ thể, học sinh có thể định hướng cho 
mình nhiều cách giải khác nhau, phù hợp với đặc điểm của bài toán đó. 
 9