Sáng kiến kinh nghiệm Giúp học sinh lớp 12 hoàn thiện kĩ năng giải bài toán hình học tọa độ trong không gian về góc và khoảng cách có yếu tố lớn nhất, nhỏ nhất

 MỤC LỤC
I. Mở đầu......................................................................................................... .. .......1
1. Lý do chọn đề tài .. ................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu .. ..........................................................................................1
3. Đối tượng nghiên cứu .. .........................................................................................1
4. Phương pháp nghiên cứu .. ....................................................................................1
II. Nội dung................................................................................................................1
1. Cơ sở lý luận .. ......................................................................................................1
2. Thực trạng trước khi áp dụng đề tài .. .......2
3. Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề .... .......2
3.1 Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách .. ......2
3.2 Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến góc.. .........6
3.3 Dạng toán phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách.. ...9
3.4 Dạng toán phương trình đường thẳng liên quan đến góc.. ................................17
4 Hiệu quả áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm.. ................................19
III. Kết luận, kiến nghị.............................................................................................20 
1. Kết luận................................................................................................................20
2.Kiến nghị...20
Tài liệu tham khảo........................................................................................ ...21
 0 những kiến thức cơ bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao 
một cách tự nhiên (chứ không áp đặt ngay kiến thức nâng cao).
 Chuyên đề này, đa phần các ví dụ minh họa được trình bày dưới hai cách làm 
là phương pháp xác định vị trí của điểm từ đó tìm ra đặc điểm của mặt phẳng, 
đường thẳng và phương pháp hàm số.
2.Thực trạng trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Thuận lợi.
 - Học sinh đã được trang bị đầy đủ kiến thức, các bài tập thông thường đã 
thành thạo.
 - Học sinh hứng thú trong các tiết hình học tọa độ trong không gian.
2.2. Khó khăn.
 - Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị kiến thức, bài tập minh họa.
 - Nhiều học sinh đã quên kiến thức cơ bản trong hình học không gian, 
không biết vận dụng các kiến thức về véc tơ, bất đẳng thức, hàm số.
 - Đa số học sinh e ngại khi làm quen với các bài toán có yêu cầu về giá trị 
lớn nhất, nhỏ nhất.
3.Các sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách.
3.1.1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2,-1,1). Viết phương 
trình mặt phẳng (P) đi qua A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất
 Giải
Cách 1( Nhận biết vị trí điểm , mặt phẳng)
 O
 H
 P A
d(O,(P)=OH OA. Do đó d(O,(P) đạt GTLN bằng OA H  A OA  (P) nên 
  
mặt phẳng (P) cần tìm đi qua A và nhận OA (2 ;-1 ;1) là véc tơ pháp tuyến.
(P) : 2(x-2)-(y+1) +(z-1)=0 2x-y + z -6 =0
Nhận xét : Ở bài toán này có hai yếu tố cố định là hai điểm O, A. Do đó bài toán 
chỉ có một hướng là so sánh d(O,(P)) với OA. Bài toán này không có yêu cầu 
d(O,(P)) nhỏ nhất bởi vì (P) có thể đi qua điểm O, khi đó d(O,(P))=0, vả lại có vô 
số mặt phẳng như vậy.
Cách 2( Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki) 
 2 2 2
Giả sử mp(P) có véc tơ pháp tuyến nP (m,n, p)(m n p 0). Do A (P) nên
 2 cố định là điểm A và đường thẳng d. Do đó ta cần tạo ra một điểm cố định nữa 
từ hai yếu tố ban đầu này. Dễ thấy điểm cố định đó chỉ có thể là hình chiếu H 
của A lên d. Bài toán hướng đến so sánh d(d,(P)) với HA. 
 Ta cũng cần giải thích cho học sinh, tại sao đề bài lại không yêu cầu với 
trường hợp d(d,(P)) nhỏ nhất. Bởi vì nếu lấy mặt phẳng (P) đi qua A và d thì 
 d(d,(P)) =0, và bài toán trở nên tầm thường là viết phương trình mặt phẳng (P) 
đi qua A và d.
Cách 2 (Sử dụng kiến thức hàm số)
 2 2 2
Giả sử nP (A,B,C)(A B C 0) là véc tơ pháp tuyến của (P). Do A (P) nên
 (P) : A(x 10) B(y 2) C(z 1) 0 Ax By Cz 10A 2B C 0 . 
  
d có véc tơ chỉ phương u (2;1;3)
   d
 (P) / / d ud .nP 0 2A B 3C 0 B 2A 3C . 
 10A 2B 2C 5A 8C
 M (1;0;1) d d(d,(P) d(M ,(P)) 
 A2 B2 C 2 5A2 12AC 10C 2
 A
 5 8
 5A C
Nếu C=0 thì d(d,(P) 5 . Nếu C 0 d(d,(P)) 
 2 2
 5A A A
 5 12 10
 C C
 2
 A A
 80 64 2
 2 C C A 2 t 80t 64
 d (d,(P)) 2 . Đặt t d (d,(P)) f (t) 2
 A A C 5t 12t 10
 5 12 10
 C C
 7
 t 
 700t 2 140t 1568 5
 f (t) f (t) 0 
 2 2 8
 5t 12t 10 t 
 5
 -7 8
 t
 -∞ 5 5 +∞
 f'(t) + 0 - 0 +
 f(t)
 14 1 5
 5 -
 14
Vậy ở TH này maxd2 (d,(P)) 74 maxd(d,(P)) 74 
 7 A 7
Từ hai trường hợp trên ta thấymax(d,(P)) 74 t .
 5 C 5
 4 A
 1
 A 9 5 C
* C=0 =>d(A,(P) 9 . * C 0 d(A,(P)) 9
 2 2
 5A 5 A A
 5 8 5
 C C
 2
 A A
 2 1 2
 2 C C A 2 t 2t 1
 d (A,(P)) 81. 2 .Đặt t d (d,(P)) f (t) 81. 2
 A A C 5t 8t 5
 5 8 5
 C C
 2t 2 2 t 1
 f (t) 81. 2 f (t) 0 
 5t 2 8t 5 t 1
 t -∞ -1 1 +∞
 f'(t) - 0 + 0 -
 f(t) 18
 81
 81
 5
 5
 0
Vậy ở TH này maxd2 (A,(P)) 18 maxd(A,(P)) 3 2 
 A
Từ hai trường hợp trên ta thấymaxd(A,(P)) 3 2 t 1 1.
 C
Khi đó chọn A= 1 thì C= 1, B= - 4 (P) : x 4y z 3 0.
Nhận xét: Chỉ cần thay giả thiết mp(P) chứa đường thẳng d bằng giả thiết mp(P) 
đi qua hai điểm nào đó ta sẽ được một bài toán tương đương.
Ví dụ 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;5;3) và đường thẳng 
d có phương trình , M(1 ;0 ;2), N(3 ;1 ;4) . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua 
M,N sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất.
 Rõ ràng chỉ cần viết phương trình đường thẳng d đi qua M,N là ví dụ 4 trở thành ví 
dụ 3.
3.2. Dạng toán phương trình mặt phẳng liên quan đến góc.
3.2.1. Góc giữa hai mặt phẳng
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm mặt phẳng (Q) : x+2y-
 x 1 y 1 z 3
z+5=0 và đường thẳng d có phương trình : . Lập phương trình 
 2 1 1
mặt phẳng (P) chứa d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
 Giải
 6 Chỉ cần thay giả thiết (P) chứa d bằng giả thiết (P) đi qua hai điểm là ta có một 
phát biểu khác của bài toán trên.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) : x+2y-z+5=0 
và hai điểm M(-1 ;-1 ;3), N(1 ;0 ;4) . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai 
điểm M, N và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
3.2.2. Góc giữa mặt phẳng và đường thẳng
Bài toán: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với nhau. 
Viết phương trình mp (α) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất.(Có thể thay giả 
thiết (α) chứa ∆ 1 bằng các giải thiết tương đương như (α) đi qua hai điểm A,B 
hoặc (α) đi qua A và song song với ∆1 hoặc (α) đi qua A và vuông góc với mp(Q)
 PP giải
Giả sử ∆ 3 là đường thẳng bất kì song song với ∆ 2 và cắt 
∆1 tại M. Gọi I là trên ∆ 3 và H là hình chiếu vuông góc 
của I lên mp(α), kẻ IJ ∆1.Góc giữa (α) và ∆ 2 là góc 
 · ·
 IMH , góc giữa ∆1 và ∆2 là gócIMJ
Trong tam giác vuông HMJ có HM MJ nên
 · HM MJ ·
 cosIMH cosIMJ không đổi(góc giữa ∆1 và 
 IM IM
 · · ·
∆2) IMH IMJ . Suy ra góc IMH lớn nhất khi MJ = 
 ·
MH hay H ≡ J, khi đó IMH =(∆1,∆2) và (α) là mặt phẳng chứa ∆ 1 đồng thời vuông 
góc với mặt phẳng (∆1,∆2). Khi đó (α) nhận [u 1 ,[u 1 ,u 2 ]] làm véctơ pháp tuyến.
 x-2 y+1 z-1
Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4). 
 2 1 1
Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa A;B và tạo với d một góc lớn nhất.
 Giải:
  
 Đường thẳng d qua điểm M(2; -1; 1) có vtcpu (2; 1; 1) , AB (1;1;2) 
  
 => n = [u,AB] ( 3; 3;3) 3(1;1; 1).Mặt phẳng (α) qua điểm A và nhận 
  
[n,AB] (3; 3;0) 3(1; 1;0) làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình mp(α): 1(x – 3) -  1(y + 4) = 0 hay x – y – 7 = 0
Cách 2. (PP hàm số) Giả sử n (A,B,C)(A2 B2 C 2 0) là véc tơ pháp tuyến của 
  
(α). d có véc tơ chỉ phương u (2; 1;1)
   d
 A,B ( ) AB.n 0 A B 2C 0 A B 2C .
Gọi là góc giữa mặt phẳng (P) và d , khi đó 
 2A B C B C
 sin 3 . Ta tìm điều kiện để sin lớn nhất
 A2 B2 C 2 2B2 4BC 5C 2
 3 B2 2BC C 2 B
* C=0 thì sin . * C 0 sin 3 3 f (t),t 
 2 2B2 4BC 5C 2 C
 8