Sáng kiến kinh nghiệm Giải hệ phương trình bằng phương pháp xét hàm số độc lập

 MỤC LỤC
 Nội dung Trang
 Mục lục ............................................................................................ ........ 1
 1.MỞ ĐẦU............................................................................................... 2
 1.1 Lý do chọn đề tài.......................................................................... 2
 1.2. Mục đích nghiên cứu................................................................. 2
 1.3. Đối tượng nghiên cứu................................................................... 2
 1.4. Phương pháp nghiên cứu.............................................................. 2
 2. NỘI DUNG........................................................................................... 3
 2.1. Cơ sở lí luận..................................................................................... 3
 2.1.1. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm 3
 3
 2.1.2. Quy tắc xét dấu một biểu thức..
 3
 2.1.3. Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số. 3
 2.2. Thực trạng vấn đề ............................................................................. 4
 2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện........................................................... 5
 2.3.1. Các bước thực hiện ................................................................ 6
 2.3.2 Bài toán tổng quát..................................................................... 6
 2.3.3 Ví dụ minh họa.......................................................................... 6
 2.3.4 Bài tập rèn luyện........................................................................ 15
 2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.................................................. 16
 3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 17
 Tài liệu kham khảo.................................................................................... 18
 Phục lục . 19
. 1 2. NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lí luận:
 2.1.1. Quy tắc xét sự biến thiên bằng đạo hàm
Định lý: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng a;b . Khi đó
 • f ' x 0 x a;b f đồng biến trên a;b ;
 • f ' x 0 x a;b f nghịch biến trên a;b ;
 • f ' x 0 x a;b f không đổi trên a;b .
Nhận xét: Từ đinh lý trên, ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu 
của đạo hàm. Như vậy ta cần nắm được
 • Quy tắc xét dấu của nhị thức bậc nhất;
 • Quy tắc xét dấu của tam thức bậc hai;
 • Quy tắc xét dấu của một biểu thức.
 2.1.2. Quy tắc xét dấu một biểu thức
Giả sử hàm y g x không xác định hoặc triệt tiêu tại các điểm x1 , x2 , , xn đôi một 
khác nhau và x1 x2  xn . Ký hiệu I là một trong các khoảng ; x1 , x1; x2 , , 
 xn 1; xn , xn ; . Khi nó nếu g liên tục trên I thì không đổi dấu trên đó.
2.1.3.Tìm giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất của hàm số.
 Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một hàm số, ta có hai quy 
tắc sau đây:
 2.1.3.1. Quy tắc 1 (Sử dụng định nghĩa)
 Giả sử f xác định trên D  /R . Ta có
 f x M x D f x m x D
 M max f x ; m min f x .
 x D x D
 x0 D : f x0 M x0 D : f x0 m
. 3 giám hiệu và đội ngũ giáo viên luôn trăn trở tìm tòi , đổi mới phương pháp giảng dạy 
nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện cho học sinh .Nhà trương không chỉ chú 
trọng truyền thụ tri thức mà còn phát triển tư duy cho học sing thông qua các bài học, làm 
hành trang vững chắc cho các em bước vào tương lai. Khi gặp bài hệ phương trình giải 
bằng phương pháp hàm số có thêm điều kiện kèm theo thì học sinh gặp khó khăn khi giải 
quyết, đặc biệt là học sinh trung bình và yếu.Khi giải các bài toán về hệ phương trình có 
sử dụng phương pháp hàm số, nếu tiến hành theo các bước cơ bản không được thì tâm lý 
học sinh thường nản và bỏ qua . Theo số liệu thống kê trước khi dạy đề tài này ở hai lớp 
12T1,12T2 rường THPT Quảng Xương 1 năm học 2015-2016.
 Kết quả thu được như sau:
 Năm học Lớp Sĩ số Số học sinh giải được trước khi thực hiện đề tài
 12T1 40 7
 2015-2016
 12T2 44 5
 Từ thực trạng trên, để giúp các em có cách nhìn toàn diện và giải quyết các bài toán 
dạng trên một cách nhanh gọn tôi xin trình bầy nội dung sáng kiến kinh nghiệm:
2.3. Giải pháp và tổ chức thực hiện.
2.3.1. Các bước thực hiện : 
 Để giải quyết các khó khăn còn tồn tại ở trên, đồng thời vẫn đảm bảo tính liên tục và 
nhất quán trong quá trình tiếp thu kiến thức của học sinh theo mạch kiến thức của PPCT 
môn Toán, việc tiến hành giải quyết bài toán được tiến hành theo trình tự sau đây :
 B1. Phân tích bài toán, lựa chọn cách tiếp cận theo thứ tự ưu tiên : 
 Sử dụng các kĩ thuật (Cộng đại số, thế,liên hợp) Để tách hàm độc lập.
 B2. Xác định hàm số cần khảo sát và tập khảo sát D của nó. 
 B3. Căn cứ vào kết quả khi khảo sát hàm số để kết luận bài toán.
2.3.2. Bài toán tổng quát:
 F(x, y) 0 (1)
Giải hệ phương trình : (I)
 G(x, y) 0 (2)
. 5 * Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy để xử lý điều kiện của ẩn ta có dạng tổng quát của điều 
 u x 2n a; 2n a 
 2n 2m 
kiện u x v x a (a 0) ngoài ra ta có thể xử lý điều kiện 
 v x 2m a; 2m a 
bằng một phương pháp khác thông qua ví dụ sau đây.
 x2 (4x 1) 4y2 (4y 1) y 16 (1)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 2 2 1 
 x 4y x 2y (2)
 2
Lời giải Ta có: 
 1
 2 x2 x 4y2 2y 0
 2
 2 1 2 3 1 
Coi x là ẩn, y là tham số ta có: x 1 (4y 2y ) 0 16y 8y 3 0 y ; 
 2 4 4 
 1
Tương tự: 2 4y2 2y x2 x 0 
 2
 2 1 2 1 3 
Ta có: y 1 4(x x ) 0 4x 4x 3 0 x ;
 2 2 2 
 1 4x3 x2 16y3 4y2 y 16
 1 3 
Xét hàm f x 4x3 x2 với x ; 
 2 2 
 x 0
 f ' x 12x2 2x; f ' x 0 1 
 x 
 6
 1 1 1 1 3 63
Ta có: f ; f ; f (0) 0; f 
 2 4 6 108 2 4
 63
Do hàm số liên tục trên tập xác định nên: f x (*1)
 4
 3 1 
Xét hàm g(y) 16y3 4y2 y 16 với y ; 
 4 4 
 1
 y 
 2 12
 g '(y) 48y 8y 1; g '(y) 0 
 1
 y 
 4
. 7 Từ (*1) và (*2) ta thấy hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
* Nhận xét: Trong một số hệ phương trình việc tìm điều kiện của ẩn số dựa vào xét tổng 
của các căn thức bậc chẵn và điều kiện có nghiệm của phương trình chứa căn. Ta xét các 
ví dụ sau đây:
 x 1 x 2y 1 (1)
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình 
 3 3 2 2
 x y 6x y 11x 2y 8 0 (2)
Lời giải
 x 1
Điều kiện: 
 x 2y 0
 x 1 1 0 x 1 1 1 x 0
Từ (1) ta có 
 x 2y 1 x 2y 1 x 0 y 1
 2 x3 6x2 11x 8 y3 y2 2y 
Xét hàm f x x3 6x2 11x 8 trên  1;0 
f ' x 3x2 12x 11 0 với mọi x  1;0 
Hàm số đồng biến trên tập xác định nên f x f 1 2 (*1)
Xét hàm g y y3 y2 2y trên 0;1 
g '(y) 3y2 2y 2 0 với mọi y 0;1 
Hàm số đồng biến trên tập xác định nên g y g 1 2 (*2)
 x 1
Từ (*1) và (*2) ta có . Thay vào ta thấy thỏa mãn
 y 1
Vậy nghiệm của hệ là x; y 1;1 
 x x2 2xy x 2y 4 x 2y 0 (1)
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình 
 3 2 2 3
 x 5x (x y) 11x 8 y 2(x 1)y (2)
Lời giải
 x2 2xy x 2y 0
Điều kiện: 
 x 2y 0
Khi đó từ (1) x (x 2y)(x 1) 4 x 2y 0 
. 9 Xét hàm g(y) y3 3y2 35y 5 trên 0;1 ; g '(y) 3y2 6y 35 0 y 0;1 
 1 782
Hàm số nghịch biến nên g(y) g *2 
 9 789
Từ (*1) và (*2) suy ra hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình vô nghiệm
 x 2 2 x 7 (2y3 1) 3y 1 8 (1)
Ví dụ 7: Giải hệ phương trình 
 3 3
 (x 1) 81y 3y 5 x 24y (2)
Lời giải
 x 2
Điều kiện 1 
 y 
 3
Ta có: 2 (x 1)3 x 81y3 3 y 24y 5 3 
 1 3 1
Xét f (y) 81y3 3y 24y 5 với y ; ; f '(y) 243y2 24 0 y 
 3 2 y 3
 1 
Hàm số đồng biến nên f (y) f 1 
 3 
Để (3) có nghiệm thì (x 1)3 x 1 x(x 1)(x 2) 0 x ;01;2 
Suy ra x  2;01;2 
 1 1
Xét hàm g(x) x 2 2 x 7 với x 2 ; g '(x) 0x 2 
 2 x 2 x 7
Hàm số đồng biến nên g(x) g(2) 8 
 1
Để (1) có nghiệm thì (2y3 1) 3y 1 8 8 (2y3 1) 3y 1 0 y x 2 
 3
 x 2
Thay 1 ta thấy thỏa mãn hệ
 y 
 3
 1 
Vậy nghiệm của hệ là x; y 2; 
 3 
. 11 Lời giải
Khi đó phương trình (1) x2 x(y 3) y2 4y 4 0 
 7 
 (y 3)2 4(y2 4y 4) 0 y 1; 
 3 
Ta có phương trình (1) y2 y(x 4) x2 3x 4 0 
 4 
 (x 4)2 4(x2 3x 4) 0 x 0; 
 3 
 3 3 4 2 247
 3x 3y 20x 2xy 2y 39x 0
(I) 9 
 2 2
 2x 2y 2xy 8 8y 6x 0
 175
 3x3 2x2 20x4 45x 3y3 8y 
 9
 4 
Xét hàm f (x) 3x3 20x4 2x2 45x trên 0; ; f '(x) 80x3 9x2 4x 45 0x 0 
 3 
* Nhận xét: Qua ví dụ trên ta thấy, lúc đầu hệ chưa xuất hiện hàm độc lập do có tích xy 
xuất hiện ở cả hai phương trình. Bằng phương pháp cộng đại số ta đưa được về phương 
trình có các biến độc lập, khi đó việc giải hệ tương tự như các ví dụ trên.
 7 
Hàm số đồng biến nên g(y) g 0 *2 
 3 
 x 0
Từ (*1) và (*2) ta có nghiệm hệ là 7 . Thay vào thỏa mãn
 y 
 3
 7 
Vậy nghiệm của hệ phương trình là x; y 0; .
 3 
 4x2 x2 1 1 x2 y3 3y 2 1
Ví dụ 10: Giải hệ phương trình 
 2
 x2 y2 1 x2 2y 2
Lời giải
 2
Ta có phương trình (2) x2 y2 y2 1 x2 2y y2 (x2 y2 )2 (y 1)2 x2 y2 
. 13