Sáng kiến kinh nghiệm Giải các bài toán PT, HPT, BPT, HBPT chứa tham số bằng phương pháp ứng dụng đạo hàm dùng để bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA
 TRƯỜNG THPT TRƯỜNG THI
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT, HPT, BPT, HBPT CHỨA 
THAM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 
 DÙNG ĐỂ BỒI DƯỠNG HỌC SINH KHÁ, GIỎI
 Người thực hiện : Cao Thị Hằng
 Chức vụ : Giáo viên
 SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
 THANH HÓA, NĂM 2017
 1 CHỮ VIẾT TẮT
Bất phương trình BPT
Hệ bất phương trình HBPT
Hệ phương trình HPT
Học sinh giỏi HSG
Phương trình PT
Trung học phổ thông THPT
 3 - Đưa ra phương pháp giải gồm hai dạng cùng với các bước rõ ràng, cụ thể 
để học sinh nắm bắt, vận dụng linh hoạt các ví dụ và bài tập. Giúp học sinh hình 
thành một tư duy thuật toán và ý thức phân tích nhận dạng bài toán. Ngoài việc 
sử dụng đạo hàm thì còn phải áp dụng linh hoạt các mệnh đề (phần kiến thức 
vận dụng) để giải.
 I. NỘI DUNG
 2.1. Cơ sở lí luận
 2.1.1. Lí luận chung
 Quá trình dạy học với các nhiệm vụ cơ bản là hình thành tri thức, rèn luyện 
các kỹ năng hoạt động nhận thức, hình thành thái độ tích cực...được xây dựng 
trên quá trình hoạt động thống nhất giữa thầy và trò, trò và trò, tính tự giác, tích 
cực tổ chức, tự điều khiển hoạt động học nhằm thực hiện tốt các nhiệm vụ đã 
được đề ra.
 -Trong quá trình dạy học người thầy phải khơi gợi để tự mỗi học sinh phát 
huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo phù hợp với đặc trưng môn học. 
Tăng khả năng hợp tác, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, đem 
lại niềm vui hứng thú học tập cho mỗi học sinh.
 2.1.2. Kiến thức vận dụng1:
 * Định nghĩa đạo hàm, các quy tắc tính đạo hàm, các công thức tính đạo 
hàm của các hàm số thường gặp, công thức tính đạo hàm của hàm hợp.
 * Một số mệnh đề quan trọng cần nắm trong giải bài toán về PT, HPT, 
BPT, HBPT chứa tham số:
 Cho hàm số y = f (x) liên tục trên tập D
 MĐ1: Số nghiệm của phương trình f(x) =g(x) bằng số giao điểm của hai đồ 
thị hàm số y = f(x) và y = g(x).
 MĐ2: Phương trình f(x) = m có nghiệm
 x D min f (x) m max f (x)
 x D x D
 MĐ3: BPT f(x) m có nghiệm x D min f (x) m
 x D
 MĐ4: BPT f(x) m nghiệm đúng vớx D max f (x) m
 x D
 MĐ5: BPT f(x) m có nghiệm x D max f (x) m
 x D
 MĐ6: BPT f(x) m, nghiệm đúng với mọix D min f (x) m
 x D
 MĐ7: Cho hàm số y = f(x) đơn điệu trên tập D Khi đó
 f(u) = f(v)⟺ u = v (với mọi u, v ∈ D)
1 Trong mục 2.1.2: Tác giả tham khảo từ TLTK số [1] ;[2].
 2 Xét các số thực x, y thỏa mãn x y 1 2 x 2 y 3 * . Tìm m để 
3x y 4 x y 1 27 x y 3 x2 y2 m đúng với mọi x,y thỏa mãn (*)
 Lời giải: Đk: x 2, y 3 
 Ta có (*) (x y 1)2 4 x y 1 2 x 2 y 3 ** 
 Vì 2 x 2 y 3 0 nên từ (**) suy ra x y 1 2 4 x y 1 
 x y 1 0 x y 1 0 vì x y 1) 0 x y 1
 x y 1 4 x y 1 4 x y 3
 Vì x2 2x do x 2 , y2 1 2y nên x2 y2 1 2 x y . Do đó:
 3x y 4 x y 1 27 x y 3 x2 y2 3x y 4 (x y 1)27 x y 6 x y 3
Đặt t=x+y, ta có t=-1 hoặc 3 t 7
 Xét hàm số f t 3t 4 t 1 27 t 6t 3. 
 2188
 Ta có: f 1 ; f t 3t 4 ln3 27 t t 1 27 t ln2 6;
 243
 t 4 2 7 t
 f t 3 ln 3 t 1 ln2 2 2 ln2 0,t 3;7
 Suy ra (t) đồng biến trên (3;7). Mà (푡)liên tục trên [3;7] và 
 ′ ′
 f 3 f 7 0 do đó f t 0 có nghiệm duy nhất t0 3;7 
 Bảng biến thiên:
 푡 3 푡0 7
 (푡) - 0 + 
 ′
 (푡) 148
 -4 
 3
 (푡0)
 148
 Suy ra 3x y 4 x y 1 27 x y 3 x2 y2 với mọi x, y thỏa mãn 
 3
 148
(*). Đẳng thức xảy ra khi x=2, y=1. Vậy m 
 3
 Ví dụ 24: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
4 Ví dụ 2: Tác giả tham khảo từ TLTK số [3];[4].
 4 Ví dụ 35: (Câu IV.2 khối A năm 2008)
 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực 
phân biệt: 4 2x 2x 2 4 6 x 2 6 x m
 Lời giải: 
 Điều kiện 0 x 6
 4 4
 Đặt f (x) 2x 2x 2 6 x 2 6 x;x 0;6
 1 1 1 1 1 
 f '(x) , x (0;6)
 Ta có 3 3 
 2 4 4 2x 6 x 
 2x 6 x 
 1 1 1 1
 u(x) ;v(x) ,x (0;6)
 Đặt 3 3
 4 2x 4 6 x 2x 6 x
 u(x), v(x) 0, x (0, 2) f '( x ) 0,  x (0, 2)
 u(2) v(2) 0 f '( x ) 0,  x (2, 6)
 u(x), v(x) 0, x (2, 6) f '(2) 0,
 (Nghĩa là: u (2) = v (2) = 0 =>f’ (2) = 0 và u(x),v(x) luôn dương khi 
 x (0;2) và âm khi x (2;6) ). Do đó ta có bảng biến thiên:
 X 0 2 6
 f ′ (x) + 0 -
 6 3 2
 4
 f(x) 2 6 2 6
 4 12 2 3
 Từ bảng biến thiên suy ra các giá trị cần tìm là: 2 6 2 4 6 m 3 2 6.
 Nhận xét:
 Trong các ví dụ trên, chúng ta thấy một điểm chung là trong các PT, biến 
m đã được cô lập cho nên bước 1 (trong phương pháp giải) không phải làm. 
Nhưng trên thực tế có rất nhiều PT mà biến m chưa được cô lập. Khi đó ta phải 
thực hiện bước 1 một cách khéo léo để cô lập biến m (có nhiều mức độ) thì mới 
có thể tiến hành các bước tiếp theo được. Ta xét ví dụ sau:
5 Ví dụ 3: Tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số [5]
 6 Đặt t x x 2 (t 4 do x 2) t 2 x2 x 2x x 2 2.
 t
 Bất phương trình (2) biểu thị theo t là m(t 2 25) t m .
 t 2 25
 t t 1
 Đặt g(t) 2 g(t) , dấu "=" xảy ra khi t 5.
 t 25 2 t 2.25 10
 1
 Suy ra max g(t) g(5) .
 t [4; ) 10
 Yêu cầu của bài toán khi đó trở thành tìm m để bất phương trình 
 t
 m có nghiệm trên nửa khoảng [4; ).
 t 2 25
 1 1
 Ta có m g(t) có nghiệm t [4; ) max g(t) m . Vậy m .
 t [4; ) 10 10
 Ví dụ 68: ( Câu II.2 khối A năm 2007)
 Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 
 3 x 1 m x 1 2 4 x 2 1
 Lời giải: Điều kiện: x ≥ 1 .
 x 1 x 1
 Phương trình đã cho 3 2 4 m (1) .
 x 1 x 1
 x 1 2
 Đặt t 4 4 1 [0;1). Khi đó (1) trở thành 3t 2 2t m (2)
 x 1 x 1
 Xét hàm số f (t) 3t 2 2t trên nửa đoạn [0;1)
 1
 Ta có f '(t) 6t 2; f '(t) 0 t .
 3
 Ta có bảng biến thiên:
 0 1 1
 t
 3
 f (t) + 0 -
 1
 3
 f(t)
 0 -1
 Do đó phương trình đã cho có nghiệm thực (thỏa mãn x 1 ) khi và chỉ khi 
 1
phương trình (2) có nghiệm t [0;1) 1 m 
 3
8 Ví dụ 6: Tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số [5].
 8 Nhận xét:
 • Trong bài này ta đã linh hoạt trong việc đánh giá, nhận xét để tìm ra tập 
giá trị của biến t. Cánh làm này trong một số tình huống nên được phát huy vì 
nó có thể nhanh gọn hơn việc dùng đạo hàm khảo sát hàm số. Tuy nhiên cũng 
giống như nhận xét trong ví dụ 2, cách làm này không phải lúc nào cũng thực 
hiện được. Vì vậy cách dùng đạo hàm vẫn là tổng quát nhất.
 • Đối với các bài toán về Hệ PT chứa tham số thì bước đầu ta phải vận 
dụng các phương pháp cơ bản để giải Hệ PT (như phương pháp: Biến đối tương 
đương; thế; đặt ẩn phụ; dùng hàm số; đánh giá...). Rồi sau đó cũng quy về các 
bài toán PT có chứa tham số như trên. Ta xét ví dụ sau:
 Ví dụ 810: ( Câu V- khối D năm 2011)
 2x3 (y 2)x2 xy m
 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 
 2
 x x y 1 2m
 Lời giải:
 (x2 x)(2x y) m
 Hệ phương trình đã cho tương đương với 
 2
 (x x) (2x y) 1 2m
 1
 Đặtu x2 x,u ;v 2x y. Hệ phương trình đã cho trở thành
 4
 uv m u2 (2m 1)u m 0(1)
 u v 1 2m v 1 2m u
 1
 Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (1) có nghiệm thoả mãn u 
 4
 1 u2 u
 Với u , ta có: (1) m(2u 1) u2 u m 
 4 2u 1
 u2 u 1
 Xét hàm số vớif (u) ; ta; có: u 
 2u 1 4
 2u2 2u 1 1 3
 f '(u) ; f '(u) 0 u 
 (2u 1)2 2
10 Ví dụ 8: Tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số [5].
 10 g '(x) 0 x 0. g(0) 6; g( 2) g(2) 16
 min g(x) 16; max g(x) 6.
 x  2;2 x  2;2
 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi 16 m 6.
 Đối với các bài toán về BPT chứa tham số thì phương pháp cơ bản cũng 
tương tự như các bài toán vê PT chứa tham số như trên. Tuy nhiên ta cần bám 
sát và vận dụng các mệnh đề: MĐ3, MĐ4, MĐ5, MĐ6 trong phần kiến thức vận 
dụng. Ta xét ví dụ sau:
 Ví dụ 1012: (HSG - Thanh Hóa năm học 2009 - 2010)
 Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình (x 4)(6 x) x2 2x m
 nghiệm đúng với mọi x  4;6
 Lời giải:
 Đặt t = (x 4)(6 x) x2 2x 24 25 (x 1)2 0 t 5
 t 2 x2 2x 24 x2 2x 24 t 2
 Bất phương trình trở thành: t 24 t 2 m ; t 0;5
 Xét hàm số f(t) = -t2 +1 + 24 trên đoạn [0 ;5]
 Ta có bảng biến thiên :
 1
 t 0 5
 2
 f’(t) + 0 -
 97
 4
 f(t)
 24 4
 Từ đó suy ra bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  4;6 m min f (x) 4
 0;5
 Vậy các giá trị cần tìm của m là: m 4
 -Cũng giống như các ví dụ về PT chứa tham số. Trong phần BPT chứa 
tham số thì hướng giải chủ đạo cũng là tìm cách đặt ấn phụ đế đơn giản hóa bài 
toán, sau đó dùng đạo hàm. Tuy nhiên trong một số trường hợp thì vẫn rất cần 
sự linh hoạt trong cách giải.
12 Ví dụ 10: Tác giả tham khảo nguyên văn từ TLTK số [6].
 12