Sáng kiến kinh nghiệm Dùng kiến thức tổ hợp thuần túy hướng dẫn học sinh giải bài toán tính tổng các số tổ hợp

 PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Các bài toán tổ hợp (hay còn gọi là các bài toán về giải tích tổ hợp) chiếm 
một vị trí quan trọng trong việc phát triển tư duy, tính sáng tạo của học sinh. Do 
sự lý thú của các bài toán này nên chúng luôn xuất hiện trong các kì thi học sinh 
giỏi, thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng. Trong nội dung này, có 
bài toán tính các tổng liên quan đến số tổ hợp. Khi gặp bài toán thuộc loại này, 
học sinh thường rất ngại tìm cách giải, có tâm lí sợ và rất dễ có tư tưởng bỏ qua 
bài toán. Bằng kinh nghiệm giảng dạy, tôi rút ra được một số nguyên nhân sau 
đây dẫn đến các em học sinh có tâm lí sợ các bài toán về tính các tổng liên quan 
đến số tổ hợp:
- Vì thời lượng dành cho nội dung này quá ít, nên học sinh chỉ mới được làm 
quen với một số bài toán ở mức độ đơn giản.
- Các tài liệu viết về tổ hợp trình bày nhiều cách giải bài toán này, trong đó có 
cách kết hợp kiến thức tổ hợp với đạo hàm hoặc tích phân. Điều đó tạo ra sự khó 
khăn nhất định cho học sinh vì lí do kiến thức về tổ hợp được học ở học kì I, còn 
đạo hàm được trình bày ở cuối học kì II của lớp 11, tích phân được học ở cuối 
chương trình lớp 12.
- Hệ thống bài tập minh hoạ cho mỗi phương pháp tính các tổng liên quan đến 
số tổ hợp chưa phong phú, chưa đưa các em tới nhiều tình huống. 
- Các bài tập mà các em được tiếp cận chưa phản ánh được bản chất và dấu hiệu 
của mỗi phương pháp tính các tổng liên quan đến số tổ hợp. 
- Khi dạy học sinh tìm lời giải bài toán tính các tổng liên quan đến số tổ hợp, các 
thầy cô giáo chưa hướng dẫn học sinh hoạt động một cách tích cực, chưa phát 
huy được tính tự giác, năng lực sáng tạo của học sinh.
 Trong giai đoạn hiện nay, việc đổi mới phương pháp dạy học toán ở 
trường trung học phổ thông chủ yếu theo hướng phát huy cao độ nỗ lực cá nhân 
học sinh, cá nhân hoá việc dạy học, tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh. 
Một trong những hoạt động quan trọng của học sinh trong quá trình giải toán đó 
là hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động phân loại các bài toán, hoạt động 
tìm tòi, suy nghĩ lời giải các bài toán nhằm nắm vững các khái niệm, các tính 
chất, các phương pháp, các thuật toán, các công thức. 
 Vấn đề đặt ra ở đây là nếu chỉ dùng kiến thức tổ hợp thuần túy thì có giải 
được các bài toán tính các tổng liên quan đến số tổ hợp không. Sau nhiều trăn 
trở, tìm tòi, tôi đã có câu trả lời: Có một công thức đơn giản liên quan đến số tổ 
hợp có thể giúp ta giải được loại toán này khi kết hợp nó với nhị thức Niu-tơn, 
có thể ví von công thức này giống như một “bảo bối” của người giải toán tổ hợp. 
Nó sẽ được đề cập trong phần 2, mục I.3. Để giúp học sinh vận dụng công thức 
này một cách linh hoạt, giáo viên cần giúp các em nhận dạng được những bài 
toán nào dùng được công thức đó. Cần giúp các em nhìn nhận, biến đổi công 
thức đó dưới nhiều hình thức khác nhau để giải được nhiều bài toán khó hơn, lạ 
hơn. Cần có một hệ thống bài tập phong phú, phân loại để học sinh được rèn 
luyện kỹ năng. Từ đó góp phần phát triển cho học sinh năng lực tìm tòi, suy nghĩ 
 1 2n 0 1 2 2 3 3 2n 2n
 (1 x) C2n C2n x C2n x C2n x ... C2n x
 2n 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2n 2n
 (1 x) C2n C2n x C2n x C2n x ... C2n x C2n x
 2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1
 (1 x) C2n 1 C2n 1x C2n 1x C2n 1x ... C2n 1 x
 2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 2n 2n 1 2n 1
 (1 x) C2n 1 C2n 1x C2n 1x C2n 1x ... C2n 1x C2n 1 x
 (1 x)2n (1 x)2n
 C 0 C 2 x2 C 4 x4 ... C 2n x2n
 2 2n 2n 2n 2n
 (1 x)2n (1 x)2n
 C1 x C3 x3 ... C 2n 1x2n 1
 2 2n 2n 2n
 (1 x)2n 1 (1 x)2n 1
 C 0 C 2 x2 ... C 2n x2n
 2 2n 1 2n 1 2n 1
 (1 x)2n 1 (1 x)2n 1
 C1 x C3 x3 ... C 2n 1x2n 1
 2 2n 1 2n 1 2n 1
 0 1 2 3 n n
 Cn Cn Cn Cn ... Cn 2
 0 1 2 3 n n
 Cn Cn Cn Cn ... ( 1) Cn 0
 0 2 4 1 3 5 n 1
 Cn Cn Cn ... Cn Cn Cn ... 2 .
3. Công thức quan trọng dùng trong đề tài
 k k 1 *
 kCn nCn 1 (n ¥ ,n 2; k 1,2,...,n) (I)
 k 1 k *
 (k 1)Cn 1 (n 1)Cn (n ¥ ; k 0,1,...,n) (II)
 1 1
 C k C k 1 (n ¥ *; k 0,1,...,n) (III)
 k 1 n n 1 n 1
Chú ý. 
- Các công thức này tương đương nhau, chỉ khác nhau về hình thức viết. Để dễ 
nhớ, chúng ta chỉ cần nhớ công thức (I). Tùy việc áp dụng vào bài toán cụ thể, 
có thể từ công thức (I) biến đổi thành các công thức (II), (III) để sử dụng cho 
phù hợp.
- Công thức (I) được chứng minh hết sức đơn giản như sau
Với n ¥ *,n 2 và k 1,2,...,n ta có 
 n! k.n.(n 1)! (n 1)!
 kC k k. n. nC k 1 (đpcm)
 n k!(n k)! k(k 1)!(n k)! (k 1)!(n k)! n 1
Trong công thức (I), thay n bởi n 1 và thay k bởi k 1 ta thu được công thức 
(II).
Công thức (III) có được từ công thức (II) bằng cách chia cả hai vế cho 
 (n 1)(k 1) .
4. Dấu hiệu nhận biết dùng các công thức (I), (II), (III) để đưa một tổng liên 
quan đến số tổ hợp về một tổng quen thuộc
 Sử dụng các công thức (I), (II), (III) cho chúng ta một phương pháp hay 
và rất có hiệu quả để giải bài toán tính tổng liên quan đến số tổ hợp. Các bài 
toán tính tổng liên quan đến số tổ hợp có thể áp dụng được phương pháp này, 
nếu như số hạng tổng quát của các tổng đó có thể biến đổi thành biểu thức ở vế 
 3 Các tài liệu viết về phương pháp sử dụng các công thức (I), (II), (III) chưa 
nhiều, chưa đi sâu nghiên cứu các bài toán tính tổng có liên quan đến số tổ hợp 
giải được bằng phương pháp sử dụng các công thức (I), (II), (III) nên chưa thực 
sự thuận lợi cho thầy và trò trong việc dạy và học về loại toán này, chưa xây 
dựng được hệ thống các bài tập đa dạng, phong phú để khắc sâu phương pháp sử 
dụng các công thức (I), (II), (III), để học sinh có cơ hội rèn luyện kĩ năng giải 
toán, tạo nên sự nhạy bén trong nhiều tình huống học tập. 
III. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN
 Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép thành 
những nhóm bài toán giải được bằng cùng một phương pháp là một việc làm hết 
sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập sách giáo khoa môn 
toán phổ thông và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và 
kinh nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài toán, 
vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho học sinh 
khi giải toán.
 Để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, tôi đã áp dụng đề tài tại các 
lớp 12A2, 12A3 trong hai năm học 2014-2015, 2015-2016. Khi được tiếp cận với 
chuyên đề này, học sinh học tập rất hứng thú và có hiệu quả. Bằng cách kiểm 
tra, đối chứng tôi nhận thấy chuyên đề này đã góp phần nâng cao kĩ năng giải 
toán cho các em học sinh, giúp các em nhạy bén trong việc sử dụng các công 
thức (I), (II), (III).
 Để thấy được vai trò quan trọng của các công thức trên, sau đây tôi xin 
trình bày một số ví dụ vận dụng. Các ví dụ này được trích từ các đề thi Đại học 
(ví dụ 7, 9, 17), thi thử đại học, thi học sinh giỏi và đều được giải chi tiết, kèm 
theo những phân tích và nhận xét để học sinh thấy được ứng dụng rộng rãi, cái 
hay, cái đẹp của các công thức (I), (II), (III).
Ví dụ 1. Tính tổng 
 1 2 3 n 1 n
 S 1Cn 2Cn 3Cn ... (n 1)Cn nCn .
Lời giải. Tổng cần tính hết sức quen thuộc. Sau đây tôi xin đưa ra 3 cách giải 
 k k 1
bài toán này, trong đó có cách giải sử dụng công thức kCn nCn 1 . Từ đó có thể 
bình luận về ưu nhược điểm của từng cách.
 k
Cách 1. Số hạng tổng quát của tổng S là kCn , với k 1,2,...,n .
Số hạng tổng quát này làm ta nhớ đến công thức 
 k k 1 *
 kCn nCn 1 (n ¥ ,n 2; k 1,2,...,n) .
Áp dụng công thức này, ta biến đổi được tổng S như sau
 1 2 3 n 1 n 0 1 2 n 1 n 1
 S 1Cn 2Cn 3Cn ... (n 1)Cn nCn n Cn 1 Cn 1 Cn 1 ... Cn 1 n.2 .
 k n k
Cách 2. Sử dụng công thức Cn Cn với k 0,1,...,n , ta viết lại tổng đã cho như 
sau:
 0 1 2 n 1
 S nCn (n 1)Cn (n 2)Cn ... 1Cn .
Như vậy, ta có
 1 2 3 n 1 n
 S 1Cn 2Cn 3Cn ... (n 1)Cn nCn
 5 n 0 1 2 2 3 3 n n
Ta có (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x ... Cn x (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được 
 n 1 1 2 3 2 n n 1
 n(1 x) Cn 2Cn x 3Cn x ... nCn x (2)
Lấy đạo hàm hai vế của (2) ta được 
 n 2 2 3 4 2 n n 2
 n(n 1)(1 x) 1.2Cn 2.3Cn x 3.4Cn x ... (n 1)nCn x (3)
Trong (3), cho x 1 ta được
 2 3 4 n n 2
 S 1.2.Cn 2.3.Cn 3.4.Cn ... (n 1).nCn n(n 1).2 .
Rõ ràng lời giải trên mang tính kĩ thuật cao và khó đối với nhiều học sinh.
 3 4 n
Ví dụ 5. Tính tổng S 1.2.3.Cn 2.3.4.Cn ... (n 2)(n 1)nCn .
 k k 1
Lời giải. Áp dụng công thức kCn nCn 1 nhiều lần để biến đổi số hạng tổng quát 
của S như sau:
 k k 1 k 1 k 2
 (k 2)(k 1)kCn (k 2)(k 1)nCn 1 n(k 2)(k 1)Cn 1 n(k 2)(n 1)Cn 2
 k 2 k 3
 n(n 1)(k 2)Cn 2 n(n 1)(n 2)Cn 3 .
Suy ra 
 0 1 2 n 3 n 3
 S n(n 1)(n 2) Cn 3 Cn 3 Cn 3 ... Cn 3 n(n 1)(n 2).2 .
Ví dụ 6. Tính tổng 
 2 1 2 2 2 3 2 n
 S 1 Cn 2 Cn 3 Cn ... n Cn với n ¥ và n 2 .
 2 k
Lời giải. Xét số hạng tổng quát của tổng S là k Cn , với k 2,3,4,...,n .
 k
Trong số hạng tổng quát này có biểu thức kCn .
 k k 1
Từ đó áp dụng công thức kCn nCn 1 , ta có
 2 k k k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k 1
 k Cn k.kCn k.nCn 1 n[(k 1) 1]Cn 1 n(k 1)Cn 1 nCn 1 n(n 1)Cn 2 nCn 1
 2 k k k k k 2 k 1
Hoặc: k Cn [k(k 1) k]Cn (k 1)kCn kCn n(n 1)Cn 2 nCn 1 
 2 1 0
Áp dụng kết quả này và chú ý 1 Cn nCn 1 , ta có
 2 1 2 2 2 3 2 n 0 1 n 2 0 1 n 1
 S 1 Cn 2 Cn 3 Cn ... n Cn n(n 1) Cn 2 Cn 2 ... Cn 2 n Cn 1 Cn 1 ... Cn 1 
 n(n 1).2n 2 n.2n 1 n(n 1).2n 2 .
Nhận xét. Sau đây là hai cách tính tổng trên bằng cách kết hợp kiến thức tổ hợp 
với đạo hàm.
 2 k k k k
1) Ta có k Cn [k(k 1) k]Cn (k 1)kCn kCn nên
 2 1 2 2 2 3 2 n
 S 1 Cn 2 Cn 3 Cn ... n Cn
 2 3 4 n 1 2 3 n
 1.2.Cn 2.3.Cn 3.4.Cn ... (n 1).nCn 1Cn 2Cn 3Cn ... nCn 
 n(n 1).2n 2 n.2n 1 n(n 1).2n 2
Cách giải này sử dụng các tổng ở Ví dụ 1 và Ví dụ 4. Đây là kĩ thuật tách tổng 
cần tính thành hai tổng quen thuộc. Nhưng bản chất của cách giải vẫn là kết hợp 
kiến thức tổ hợp với đạo hàm nên không hề đơn giản đối với học sinh.
 n 0 1 2 2 3 3 n n
2) Ta có (1 x) Cn Cn x Cn x Cn x ... Cn x (1)
Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được 
 n 1 1 2 3 2 n n 1
 n(1 x) Cn 2Cn x 3Cn x ... nCn x (2)
Nhân hai vế của (2) với x 0 ta được 
 7