Sáng kiến kinh nghiệm Dùng đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức đối xứng ba biến

 MỤC LỤC
 Trang
 PHẦN I: MỞ ĐẦU.......................................................................2
1/ Lí do chọn đề tài .............................................................................. 2 
2/ Mục đích nghiên cứu ........................................................................ 2
3/ Đối tượng nghiên cứu........................................................................ 2
4/ Phương pháp nghiên cứu................................................................... 2
 PHẦN II: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMI............3
I/ Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ............................................3
II/ Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm............3
III/ Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề.......................................4
IV/ Hiệu quả đạt được của sáng kiến kinh nghiệm................................20 
 PHẦN III: KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ........................................20
 1 - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
 - Phương pháp thực nghiệm
 PHẦN II. NỘI DUNG
I. Cơ sở lí luận:
 Phương pháp sử dụng ứng dụng của đạo hàm là phương pháp gần gũi với 
học sinh lớp 12 hơn cả trong quá trình giải quyết các bài toán chứng minh bất 
đẳng thức. Để sử dụng được phương pháp này học sinh cần phải nắm được 1 số 
vấn đề sau đây:
1.Công thức tính đạo hàm .
2. Qui tắc tìm điểm cực trị của hàm số.
3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên D
4. Lập được bảng biến thiên của 1 hàm số .
5. Các kiến thức cơ bản về bất đẳng thức: Tính chất cơ bản của bất đẳng thức, 
các bất đẳng thức cổ điển, các đánh giá thông dụng thường dùng về bất đẳng 
thức:
6. Có một số kĩ năng đánh giá biểu thức, kĩ năng biến đổi đại số, kĩ năng giải 
phương trình, kĩ năng xét dấu biểu thức, kĩ năng đưa hàm nhiều biến về hàm 1 
biến, kĩ năng chuẩn hóa bất đẳng thức thuần nhất đồng bậc...
II. Thực trạng của đề tài:
 Khi giảng dạy về phần bất đẳng thức cho bộ phận học sinh khá giỏi lớp 12 
ôn thi Đại học tôi bắt gặp bài toán: " Cho x, y, z là 3 số thực dương và 
 x y z 1.
 1 1 1
Chứng minh rằng: x2 y2 z2 82 "
 x2 y2 z2
 (Đại học KA- 2003)
 Với rất nhiều cách giải: Sử dụng bất đẳng thức cô-sy với kĩ thuật chọn 
điểm rơi, sử dụng phương pháp tiếp tuyến... , Nhưng một trong những lời giải 
tôi thấy ấn tượng là:
 1 80
Xét hàm số: h(t) t 2 .t , với t (0;1).
 t 2 82
 t 4 1 80 1
 h' (t) , h' (t) 0 t 
 1 82 3
 t 2 t 2
 t 2
Bảng biến thiên .
 t 0 1/3 1
 h' (t) - 0 +
 h(t)
 27 82
 41
 3 1 1 1
Chứng minh rằng: x2 y2 z2 82 "
 x2 y2 z2
Theo phân tích trên thì rõ ràng ta xét các hàm:
 1
 f ' ( )
 1 1 80
 g(t) t; f (t) t 2 ; x y z ; m 3 và 
 2 1
 t 3 g ' ( ) 82
 3
 1 80
 h(t f (t) mg(t) t 2 t
 t 2 82
Và lời giải đã được trình bày như ở phần II: Thực trạng của đề tài
 Khi phân tích như vậy, học sinh đã thấy lời giải hoàn toàn có lí do, sáng 
sủa, dễ hiểu, tư duy rõ ràng và gần gũi đối với kiến thức đã được lĩnh hội ở trên 
lớp khi học ứng dụng đạo hàm. Các em thấy phấn khởi và có nhu cầu tìm hiểu 
về phương pháp này.
 Trên cơ sở phân tích như vậy tôi đã đưa ra các bước để thực hiện giải bài 
toán bất đẳng thức dạng (**) với điều kiện (*) theo phương pháp dùng đạo hàm 
như sau:
2. Các bước thực hiện giải bài toán bất đẳng thức (**) với điều kiện (*) theo 
phương pháp dùng đạo hàm:
Bước 1: Đưa bất đẳng thức điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh ở đề bài 
về dạng (*) và (**).
Bước 2: Dựa vào bất đẳng thức điều kiện(*) và bất đẳng thức cần chứng minh 
(**) đặt hàm g(t), f (t) và h(t) f (t) mg(t) tương ứng,
 3g( ) C
 f ' ( )
Ở đó m ' (dựa vào điều kiện của x, y, z và bất đẳng thức điều kiện (*) 
 g ( )
 t D
để xác định D)
Bước 3: Lập bảng biến thiên cho hàm số h(t) rồi đánh giá: h(t) h( ) t D.
 f (t) mg(t) h( ) . Thay t lần lượt bởi x, y, z rồi công lại ta suy ra bất đẳng 
thức cần chứng minh.
 Để giúp học sinh nhận diện và phản xạ nhanh khi gặp dạng toán này. Tôi 
đã cố gắng chia dạng toán này thành 5 loại có ví dụ và phân tích đi kèm, có nhận 
xét và bài tập tượng tự để học sinh tự rèn luyện phương pháp .
3. Phân loại dạng toán .
Loại 1: Đề bài thể hiện sẵn hàm f (t) và g(t) .
 x y z 3
Ví dụ 1.1: Cho x, y, z 0 và x y z 1.Chứng minh rằng: 
 x 1 y 1 z 1 4
Phân tích và hướng dẫn giải:
+ Dựa vào điều kiện x, y, z 0 và x y z 1 x, y, z (0;1)
Dựa vào điều kiện và bất đẳng thức cần chứng minh xét hàm:
 5 15 1 3 1 15
+ Từ bảng biến thiên ta có: h(t) t (0; 3). t t 2 ,t (0; 3)
 8 t 4 8 8
Thay t lần lượt bởi x, y, z rồi cộng lại ta được:
 1 1 1 3 1 3.15 3 45 21
 (x y z) (x2 y2 z2 ) 
 x y z 4 8 8 8 8 4
Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: Để xét hàm điều kiện đơn giản hơn, dẫn đến xét hàm h(t) đơn giản 
hơn, ta hãy đánh giá điều kiện như sau:
Ta có: (x y z)2 3(x2 y2 z2 ) 9 x y z 3
Bài toán chuyển về: Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn x y z 3
 1 1 1 3 21
Chứng minh rằng: (x y z) .
 x y z 4 4
 1 3 1
Bằng phân tích như trên ta xét hàm: h(t) t t , t (0;3) khảo sát h(t) dễ 
 t 4 4
dàng hơn.
 Trong đề tài này cơ bản tôi xét bất đẳng thức đối xứng ba biến ,tuy nhiên 
ta có thể áp dụng cho bất đẳng thức nhiều biến hơn, thể hiện ở ví dụ sau.
Ví dụ 1.3: Cho a,b,c,d dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
 1
 6(a3 b3 c3 d 3 ) (a2 b2 c2 d 2 ) (MO- HongKong-2005)
 8
Phân tích: Từ điều kiện suy ra a,b,c,d (0;1) ,dự đoán dấu bằng xảy ra khi 
 1
 a b c d . Xét hàm h(t) f (t) mg(t) ,t (0;1)
 4
 1
 f ' ( )
 5 5
Với f (t) 6t3 t 2 ; g(t) t ;m 4 . Vậy hàm cần xét là: h(t) 6t3 t 2 t .
 1
 g ' ( ) 8 8
 4
 5
Bài giải:+ Từ giả thiết suy ra a,b,c,d (0;1) . Xét h(t) 6t3 t 2 t ,t (0;1)
 8
 1
 t 
 ' 2 5 4
 h (t) 18t 2t 0 
 8 5
 t (loai)
 36
Bảng biến thiên.
 t 0 1/ 4 1
 h' (t) - 0 +
 h(t) 1
 8
 1 5 1
Từ bảng biến thiên ta có: h(t) ,t (0;1) 6t3 t 2 t 2 t ,t 0;1 .
 8 8 8
Thay t lần lượt bởi a,b,c,d rồi cộng lại vế theo vế ta được:
 7 Với giá trị nhỏ nhất trên (0;1) là - 3 
 100
 4t 99 3
Ta có: nên việc chứng minh (2) đã trở lên đơn giản.
 t 2 2t 5 100t 100
Ví dụ 2.2: Cho a,b,c 0 và a b c 3 . 
Chứng minh rằng: a b c ab bc ca (1)
 (Vô địch Toám Nga 2002)
Phân tích: Do đề bài xuất hiện: ab bc ca ta nghĩ đến 2 điều :
Sử dụng chuỗi bất đẳng thức 3(ab bc ca) (a b c)2 3(a2 b2 c2 ) (a)
Hay sử dụng đẳng thức: (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca (b)
Hướng 1: Sử dụng đẳng thức (b) ta có: 
 2ab 2bc 2ca (a b c)2 (a2 b2 c2 ) 9 (a2 b2 c2 ) .
(1) 2( a b c) 2ab 2bc 2ca. 2( a b c) 9 (a2 b2 c2 )
 a2 b2 c2 2 a 2 b 2 c 9 (2)
Ta chứng minh (2) với điều kiện a,b,c 0 và a b c 3 là xong.
Xét hàm h(t) f (t) mg(t) ,t (0;3)
 f ' (1)
Với f (t) t 2 2 t , g(t) t; 1;m 3.
 g ' (1)
Vậy hàm cần xét là: h(t) t 2 2 t 3t. với t (0;3) .
 t 1
 ' 1 
 h (t) 2t 3 0 1 3 2
 t t 
 2
Bảng biến thiên:
 t 1 3 2
 0 1 3
 2
 h' (t) + 0 - 0 +
 h(t) 
 0 0
Nhìn vào bảng biến thiên ta có: h(t) 0,t (0;3) . t 2 2 t 3t , t (0;3) . 
Thay t lần lượt bởi a,b,c ta được:
 a2 b2 c2 2 a 2 b 2 c 3(a b c) 9 (2) được chứng minh hay (1) được 
chứng minh.
 (a b c)2
Hướng 2: Sử dụng chuỗi (a) ta có: ab bc ca 3 a b c.
 3
Ta chỉ cần chứng minh: a b c a b c với a b c 0 và a b c 3 là 
xong, hay cần chứng minh a a b b c c 0 (3).
 f ' (1) 1
Xét hàm : h(t) f (t) mg(t), với f (t) t t; g(t) t, t (0;3) ; m 
 g ' (1) 2
 9 4t 1 1
 t ,t (0;4) . Thay t lần lượt bởi a,b,c ta được 
 9t 4 16 4
 1 3
VT (2) (a b c) 1
 16 4
(2) được chứng minh hay (1) được chứng minh.
Loại 3: Bất đẳng thức thuần nhất đồng bậc với kĩ thuật chuẩn hóa làm xuất 
hiện hàm f (t) và g(t) . 
 Để nắm bắt được kĩ thuật này, trước hết ta xem xét những khái niệm có 
liên quan.
* Hàm số thuần nhất 3 biến:
 Hàm số f (x, y, z) của các biến x, y, z ¡ thỏa mãn điều kiện D được gọi là 
hàm số thuần nhất ba biến nếu với mọi bộ (x, y, z) thỏa mãn điều kiện D, với mọi 
số thực k sao cho (kx;ky;kz) thỏa mãn điều kiện D thì tồn tại số m sao cho:
 f (kx;ky;kz) k m f (x; y; z)
 Khi đó, ta nói hàm số f (x; y; z) là hàm số thuần nhất ba biến bậc m . Khái 
niệm hàm số thuần nhất cho n biến tương tự.
* Bất đẳng thức thuần nhất 3 biến:
 Bất đẳng thức dạng f (x; y; z) 0 trong đó f (x; y; z) là hàm số thuần nhất ba 
biến được gọi là bất đẳng thức thuần nhất ba biến. Khi đó các bất đẳng thức:
 f (x; y; z) 0 ; f (x; y; z) 0, f (x; y; z) 0 cũng được gọi là bất đẳng thức thuần nhất 
ba biến.
Khái niệm bất đẳng thức thuần nhất n biến tương tự.
* Phương pháp chuẩn hóa:
 Để hiểu được phương pháp chuẩn hóa, ta đi xem xét một mệnh đề sau đặc 
trưng cho bất đẳng thức thuần nhất:
+ Mệnh đề: Nếu f (x; y; z) là hàm thuần nhất bậc m thì với k ¡ , k 0 ta có:
 f (x; y; z) 0 tương đương f (kx;ky;kz) 0
+ Chứng minh: Vì hàm số f thuần nhất bậc m nên f (kx;ky;kz) k m f (x; y; z).
Do đó với k 0 ta có: f (kx;ky;kz) 0 k m f (x; y; z) 0
 f (x; y; z) 0 (điều phải chứng minh)
+ Phương pháp chuẩn hóa: Do có mệnh đề nói trên nên để chứng minh bất 
đẳng thức thuần nhất dạng: f (x; y; z) 0 ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức 
dạng: f (kx;ky;kz) 0 . Ở đó ta chỉ việc chọn k 0 thích hợp nào đó để 
 (kx;ky;kz) thỏa mãn một điều kiện đặc biệt giúp làm xuất hiện hàm g(t) và f (t) 
và giảm bớt đi sự vất vả trong việc biến đổi bất đẳng thức.
 Sử dụng mệnh đề nói trên, ta có thể thu hẹp phạm vi cần xét của các biến 
hơn so với yêu cầu bài toán. Việc chuyển bài toán chứng minh một bất đẳng 
thức thuần nhất về chứng minh bất đẳng thức trong phạm vị hẹp hơn của các 
biến như trên gọi là chuẩn hóa bất đẳng thức thuần nhất. Để thể hiện kĩ thuật 
chuẩn hóa bất đẳng thức thuần nhất nhằm làm xuất hiện hàm f (t) và g(t) ta đi 
phân tích thông qua các ví dụ sau:
 11