Sáng kiến kinh nghiệm Định hướng cho học sinh lớp 12 trường THPT Hậu Lộc 3 giải nhanh một số bài toán số phức ở mức độ vận dụng

 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ 
 TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 3
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỊNH HƯỚNG CHO HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT HẬU 
 LỘC 3 GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN SỐ PHỨC Ở MỨC 
 ĐỘ VẬN DỤNG
 Người thực hiện: Phạm Văn Châu
 Chức vụ: Giáo viên
 SKKN thuộc môn: Toán
 THANH HOÁ, NĂM 2017 1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
 Trong chương trình SGK và nội dung thi tốt nghiệp cũng như thi tuyển 
sinh đại học trước đây thì các dạng toán về số phức được đưa ra rất căn bản, đa 
phần chỉ ở mức độ nhận biết, hoặc thông hiểu. Các câu hỏi mang tính vận dụng 
gần như không xuất hiện. Vì thế, khi Bộ giáo dục và Đào tạo lần lượt đưa ra các 
đề minh họa môn Toán cho kì thi THPT Quốc gia sắp tới, thì nhiều giáo viên và 
đa số học sinh gặp khó khăn trong việc tìm lời giải của các bài số phức ở mức độ 
vận dụng. Ngoài ra, các tài liệu tham khảo cho những dạng toán trên hầu như 
chưa có và chỉ xuất hiện rời rạc ở những bài toán đơn lẻ. Do đó việc tổng hợp và 
đưa ra phương pháp giải nhanh các dạng toán trên là rất cần thiết cho học sinh 
trong quá trình ôn thi THPT quốc gia. Xuất phát từ thực tế trên, với một số kinh 
nghiệm trong quá trình giảng dạy và tham khảo một số tài liệu, tôi mạnh dạn 
chọn đề tài “ Định hướng cho học sinh lớp 12 trường THPT Hậu Lộc 3 giải 
nhanh một số bài tập số phức ở mức độ vận dụng” nhằm giúp các em hiểu và 
có kỹ năng giải quyết tốt các bài tập để đạt kết quả tốt nhất trong các kì thi.
1.2. Mục đích nghiên cứu
 Thông qua việc nghiên cứu các bài toán tổng quát giúp học sinh hiểu định 
hướng được cách làm bài tập, từ đó giải quyết một số bài toán số phức mức độ 
vận dụng một cách chính xác và nhanh chóng. Từ đó kích thích khả năng tư duy, 
sự ham hiểu biết của học sinh đối với môn học.
1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức chương số phức trong chương trình toán THPT.
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh bài toán tập hợp điểm biểu 
diễn số phức trong mặt phẳng liên quan đến đường tròn
- Hệ thống và hướng dẫn phương pháp giải nhanh một số bài toán tìm giá trị lớn 
nhât, giá trị nhỏ nhất của modun số phức.
1.4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lí thuyết.
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm.
- Phương pháp tổng hợp.
- Phương pháp thống kê, so sánh.
 2. NỘI DUNG
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Những kiến thức cơ bản phần số phức
 1 * Định nghĩa: Modun của số phức z a bi, a,b R là một số thực không 
âm a2 b2 và được kí hiệu là z
* Tính chất:
 z ' z '
+ z z.z ;+ z z ; + z.z ' z . z ' ; + , z 0; + z z ' z z ' . 2
 z z
6. Phép chia cho số phức khác 0
a. Định nghĩa:
 1
+ Số phức nghịch đảo của số phức z khác 0 là số z 1 z
 z 2
 z '
+ Thương của của phép chia z ' cho z khác 0 là tích của z ' với số phức 
 z
 z '
nghịch đảo của z , tức là z '.z 1
 z
 z ' z '.z z '.z
b. Chú ý: Nếu z 0 thì 1
 z z 2 z.z
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Đối với giáo viên
 - Trước đây số phức trong chương trình thi quốc gia ( từ năm 2009 – 
2016) chỉ dừng lại ở mức độ cơ bản và trên cơ bản một chút ( nhận biết, thông 
hiểu). Vì vậy việc giảng dạy và nghiên cứu của giáo viên chỉ dừng lại ở một 
mức độ cụ thể giúp các em làm tôt phần kiến thức cơ bản.
 - Hiện tại với đề án thi mới của bộ giáo dục. Thông qua các đề minh họa 
của Bộ đưa ra và các đề thi thử của các sở, các trường, các câu hỏi trong phần số 
phức đã xuất hiện nhiều hơn. Đặc biệt những câu khó, hoặc rất khó và lạ ( mức 
độ vận dụng cao) mà trước đây chưa xuất hiện thì nay xuất hiện tương đối nhiều. 
Tuy nhiên lại chưa có nhiều tài liệu nghiên cứu về vấn đề này vì vậy nguồn tham 
khảo của giáo viên còn hạn chế.
 - Các giáo viên chưa có nhiều thời gian nghiên cứu những dạng toán mới, 
vì vậy chưa có nhiều kinh nghiệm trong giảng dạy và định hướng cho học sinh 
giải những bài toán số phức khó.
2.2.2. Đối với học sinh
 - Trường THPT Hậu Lộc 3 đóng trên địa bàn có nhiều xã khó khăn về 
kinh tế, khó khăn trong việc học tập vì vậy kiến thức cơ sở về môn toán của các 
em hầu hết tập trung ở mức độ trung bình.
 3 Ta có: 
 x y 1 i x y 1 i 3 4i 
 w 3 4i z i x yi 3 4i z i z z 
 3 4i 3 4i 3 4i 
 3x 4 y 1 4x 3 y 1 i
 z 
 25
 2 2
 3x 4 y 1 4x 3 y 1 
Theo giả thiết z 4 16
 252
 9x2 24x y 1 16 y 1 2 16x2 24x y 1 9 y 1 2
 16
 252
 2 2
 25x 25 y 1 2
 16 x2 y 1 400
 252
suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm I 0;1 bán kính 
 R 20 . Chọn đáp án C.
* Giờ ta sẽ tiếp cận giải bài toán bằng hướng khác
Cách 1: Xuất phát tư giả thiết:
Ta sẽ biến đổi giả thiết sao cho xuất hiện điều cần đi tìm, đó là xuất hiện w bằng 
cách thêm bớt ( ta sẽ nhân thêm vào z với số 3 4i rồi cộng thêm i )
Từ giả thiết:
 3 4i z i i w i w i w i
 z 4 4 4 4 4
 3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 3 4i 3 4i
 w i 20
Theo bài toán cơ bản ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm 
 I 0;1 , bán kính R 20 . Chọn đáp án C.
Cách 2: Xuất phát từ câu hỏi của đề bài:
Ta sẽ rút z từ câu hỏi của đề bài rồi thay vào giả thiết
 w i
Ta có: w 3 4i z i z 
 3 4i
 w i w i
Ta thay vào giả thiết: z 4 4 4 w i 20
 3 4i 3 4i
Theo bài toán cơ bản ta có tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm 
 I 0;1 , bán kính R 20 . Chọn đáp án C
Nhận xét: Qua cách giải thông thường và cách tiếp cận mới ta thấy:
- Cách thông thường trình bày dài hơn, tính toán phức tạp hơn nên mất nhiều 
thời gian. Đặc biệt không phù hợp với xu thế của những bài toán thi trắc 
nghiệm.
 5 Kết luận: Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức w z z2 là đường tròn 
tâm là điểm biểu diễn của số phức z1 z2 và bán kính R 4 .
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 i 7 . Biết rằng tập hợp các diểm biểu 
diễn các số phức w 3 4i z là một đường tròn. Tâm I và bán kính R của 
đường tròn đó là:
A. I 7; 1 ,R 5 B. I 1;7 ,R 25 C. I 7;1 ,R 35 D. I 1`; 7 ,R 15
Giải:
 w
* Cách 1: Từ w 3 4i z z 
 3 4i
 w w 7 i 
Ta có: 1 i 7 7 w 7 i 3 4i 7 w 7 i 35 
 3 4i 3 4i
Đường tròn biểu diễn w có tâm I 7;1 ,bán kính R 3 4i 7 35 .Chọn đáp án C
* Cách 2: Ta có: z 1 i z 1 i 7 w 3 4i z
 R 
 z1 z2
Áp dụng kết quả 1 ta có :
Tâm đường tròn biểu diễn w là điểm biểu diễn số phức 3 4i 1 i 7 i , 
tức I 7;1 , bán kính R 3 4i 7 35 . Chọn đáp án C
Nhận xét: Điểm chú ý của bài toán này ở cách 2 là các em cần xác định chính 
xác z1; z2;R . Đặc biệt z1 1 i chứ không phải z1 1 i .
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 3. Biết rằng tập hợp các điểm biểu 
 z
diễn các số phức w là đường tròn. Tâm I và bán kính R của đường tròn 
 2 3i
đó là:
 6 1 8 1 
A. I ; ;R 3 13 B. I ; ;R 3 13
 13 13 13 13 
 6 1 3 13 8 1 3 13
C. I ; ;R D. I ; ;R 
 13 13 13 13 13 13
 Giải:
 z
* Cách 1: Từ w z 2 3i w . Tacó:
 2 3i
 1 2i 8 1 
 2 3i w 1 2i 3 2 3i w 3 2 3i w i 3
 2 3i 13 13 
 8 1 3 8 1 3 13
 w i w i 
 13 13 2 3i 13 13 13
 7 z 1 i 2 z 1 i 2 z 1 i 2 z 1 i 2và w z 2 3i
   
 z1 z2
Áp dụng kết quả 4 ta có :
- Tâm đường tròn cần tìm là điểm biểu diễn số phức 1 i 2 3i 3 2i , tức 
 I 3; 2 . Chọn đáp án C.
* Nhận xét: Mấu chốt bài toán này là biến đổi sao cho giả thiết và phần kết 
luận phải có chung z hoặc z . Và ta biến đổi giả thiết để dàng hơn dựa vào tính 
chất số phức liên hợp.
Bài toán 2: Cho z1, z2 C, z2 0 số phức z thỏa mãn z z1 R . Tìm tập hợp 
các điểm biểu diễn số phức 
Giải:
 w z3
Từ w z2 z z3 z thay vào giả thiết
 z2
 w z3 w z3 z1z2
 z z1 R z1 R R w z3 z1z2 z2 R .
 z2 z2
Kết luận: Tập hợp điểm biểu diễn số phức w là đường tròn, tâm là điểm biểu 
diễn cho số phức z2 z1 z3 , bán kính z2 R 5 
Nhận xét: Thực chất của bài toán 2 là bài toán tổng quát cho bốn kết luận ở bài 
toán 1 trên. Vì vậy học sinh cũng có thể chỉ cần nắm vững cách giải và kết quả 
bài toán 2 thì có thể làm được cả hai bài toán.
Ví dụ 5: Cho số phức z thỏa mãn z 3 2i 4. Biết tập hợp điểm biểu diễn số 
phức w 2 i z 5 2i là một đường tròn. Tìm tâm và bán kính đường tròn 
đó.
A. I 1;5 ;R 3 B. I 1;5 ;R 4 5 C. I 1; 5 ;R 5 D. I 1; 5 ;R 2 3
Giải:
Ta có: z 3 2i 4 z 3 2i 4 và w 2 i z 5 2i
    
 z1 z2 z3
Áp dụng kết quả 5 ta có :
- Tâm đường tròn cần tìm là điểm biểu diễn số phức 
 2 i 3 2i 5 2i 1 5i , tức I 1;5 , bán kính R 2 i 4 4 5 .
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh cần xác định chính xác các yếu tố z1;R; z2 để áp dụng kết 
quả 5 .
 9 z 1
Ví dụ 8: Cho số phức thỏa mãn 1 1. Biết tập hợp điểm biểu diễn số 
 z i
 1 i
phức w 2 là một đường tròn. Tâm đường tròn cần tìm là:
 z i
A. I 1;2 B. I 0; 2 C. I 1;2 D. I 2;0 
Giải:
 z 1 it 1
 Đặt t z 
 z i 1 t
 Ta có: t 1 1và w 1 t 2 t 1
 Tâm đường tròn là điểm biểu diễn cho số phức 1 1 1 2
 Tâm đường tròn cần tìm I 2;0 . Chọn đáp án D
2.3.2. Phương pháp giải nhanh một số bài toán liên đến giá trị lớn nhất, giá 
trị nhỏ nhất của z
 Xuất phát vẫn từ bài toán cơ bản: Cho số phức z thỏa mãn 
 z z1 R 0. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z trên mặt phẳng tọa độ. Ta 
phát triển bài toán trên theo một hướng khác, đó là tìm giá trị lớn nhất, giá trị 
nhỏ nhất của modun số phức z và hơn thế nữa không chỉ dừng ở bài toán liên 
quan đến đường tròn, ta có thể mở rộng bài toán liên quan đến các hình khác.
Bài toán 1: Cho số phức z thỏa mãn z z1 R 0. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ 
nhất của z .
Giải: 
 Theo kết quả bài toán cơ bản:
 Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đưởng tròn tâm I ( I là điểm 
biểu diễn cho số phức z1 ) bán kính R 5
 M M1
Khi đó 4
 z OM OI IM OI IM OI R
 1 3
 R
 I
 z OM OI IM OI R 2
 1
 Max z OM1 OI R z1 R
 c
 M2 1
nên (2.1) O
 -2 2 4 6 8
 Min z OM 2 OI R z1 R
Nhận xét: Một số bạn nhìn vào hình vẽ ( của một trường hợp) dẫn đến kết luận 
nhầm Min z OI R . 
 Từ kết quả bài toán toán 1, ta áp dụng để tìm nhanh kết quả các các ví dụ 
sau:
 11