Sáng kiến kinh nghiệm Cách tiếp cận bài toán tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 
ĐỀ TÀI: 
 CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN 
 BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ 
 Cơ sở lý luận của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH 
PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” là từ những kiến thức cơ bản 
nhất của vấn đề nhằm giúp học sinh dần dần tiếp cận với các vấn đề cao hơn trong 
một mạch kiến thức. 
 Cụ thể hóa của vấn đề về mặt lý luận là giúp hoc sinh độc lập trong khi giải 
quyết vấn đề mà cụ thể vấn đề đây là bài toán tích phân trong các kỳ thi mà đặc biệt 
là các dạng mà đề tài này đã nghiên cứu và đưa ra trong sáng kiến kinh nghiệm dạy 
học tại trường phổ thông. 
 2.2. Thực trạng của đề tài 
 2.2.1 . Tình hình thực tế của học sinh trường: 
 - Phần lớn học sinh của trường ở đại bàn các xã lân cận, đi lại khó 
khăn. Điểm tuyển sinh vào lớp 10 không cao, năng lực học tập chủ yếu là loại trung 
bình, thậm chí một số học sinh khả năng tính toán rất hạn chế 
 - Học sinh thường ít chịu tìm tòi, khám phá và không thuộc bài (lười 
học) 
 2.2.2. Thực trạng của đề tài “CÁCH TIẾP CẬN BÀI TOÁN TÍNH 
TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ” 
 - Đây là đề tài đầu tiên nghiên cứu về phương pháp đổi biến số trong 
bài tóan tích phân tại trường THPT Nguyễn Khuyến 
 - Đề tài này hoàn thành sẽ có ứng dụng rất khả thi cho học sinh, giáo 
viên trong tổ toán của trường nhất là trong các kỳ thi. 
 - Do đây là chương đòi hỏi học sinh phải có kiến thức cơ bản nhiều, 
thuôc bài và vận dụng được lý thuyết nên học sinh thường không làm bài được, cụ 
thể kết quả kiểm tra chương tích phân trong năm học 2010 – 2011 của lớp 12A4 như 
sau: 
 Điểm 0 đến 3 3.5 đến 4.5 5 đến 6.5 7 đến 8 Trên 8 
 Số lượng 15 8 5 7 3 Định lý 1: NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th× víi mçi 
 h»ng sè C, hµm sè G(x) = F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn K . 
 Định lý 2 : NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña hµm sè f(x) trªn K th× mäi 
 nguyªn hµm cña f(x) trªn K ®Òu cã d¹ng F(x) + C, víi C lµ mét h»ng sè. 
 f x dx F x C,C  
 Là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K 
* Tính chất của nguyên hàm 
 Tính chất 1: 
 f( x )d x ' f ( x ) và f'( x )d x f ( x ) C . 
Ví dụ : cosx d x ' (sin x C )' cos x 
 hay (cosx )' d x ( sin x )d x cos x C . 
 Tính chất2: 
 kf( x )d x k f ( x )d x k: hằng số khác 0 
 Tính chất 3: 
  fx() gx ()d x fxx ()d gxx ()d. 
 b b b
 fx gxdx fxdx gxdx
 4) 
 a a a
 b c b
 fxdx fxdx fxdx c a;b
 5) 
 a a c
 b
 6) fx 0,x   a;b fxdx 0 
 a
 b b
 7) fx gx,x   a;b fxdx gxdx 
 a a
 b
 8) m fx M,x   a;b mba fxdxMba 
 a
 t
 9) t bieán thieân treân ñoaïn  a; b G t f x dx laø 1 nguyeân haøm cuûa f t vaø G a 0
 a
 Phương pháp đổi biến số 
Định lí 1: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Giả sử hàm số x = (t) có đạo hàm 
liên tục trên đoạn [ ; ] sao cho ( ) = a, () = b và a (t) b với t [ ; ]. 
 b 
Khi đó: f()()() x dx f t t dt 
 a 
Định lí 2: Cho hàm số f(x) liên tục trên [a; b]. Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm liên 
tục trên [a; b] và u(x)  với mọi x [a; b] sao cho f(x) = g[u(x)]u (x), g(u) 
liên tục trên [ ; ] thì: 
 b u() b
 f()() x dx g u du 
 a u() a
 2.3.2. Tiếp cận nhứng bài toán cơ bản 
 x
 2 n
 a) TÍCH PHÂN DẠNG ax b dx 
 x1
 * Nhận xét 
 *Nhận xét: 
 Như vậy cách giải này tránh được việc phải nhớ hằng đẳng thức. Chỉ cần 
thực hiện những thao tác cơ bản như: tính vi phân hàm bậc nhất (việc này rất dễ 
dàng). Công việc đổi cận cũng không có gì khó khăn, đây chỉ là việc tính giá trị của 
hàm số bậc nhất mà thôi. 
 * Các ví dụ minh họa: 
 Tính các tích phân sau: 
 1 2 4
 4
 1) 2x 1 dx 2) 3x 2 3 dx 
 0 1
 Giải: 
 1
 4
 1) 2x 1 dx 
 0
 dt
 . Đặt t 2 x 1 dt 2 dx dx 
 2
 . Đổi cận: x = 0 t = 1; x = 1 t = 3 
 3
 1 3 5
 4 dt t 242 121
 . Do đó ta có: 2x 1 dx t 4 
 2 10 10 5
 0 1 1
 2 4
 2) 3x 2 3 dx 
 1
 dt
 . Đặt t 3 x 2 dt dx dx 
 3
 . Đổi cận: x = 1 t = 1; x = 12 t = 4 
 4
 7
 24 4 4 dt t 3 23 2 1
 . Do đó ta có: 3x 2 3 dx t 3 
 1 1 3 7 7
 1 1
 1 dx 1
 2) ln3 x 1 
 x
 0 3 1 3 0
 ln 2
 ln 2 1
 3) e2x dx e 2 x 
 0 2 0
 1
 1 32x
 4) 32x dx 
 2ln 3
 0 0
 4 1 4
 5) cos 2 x dx s in 2 x 
 2 2 2
 0 0
 4 1 4
 6) s in 2 x dx cos 2 x 
 2 2 2
 0 0
 b b
 n n
 b) TÍCH PHÂN DẠNG xk 1 ax k b dx hoặc mx2k 1 ax k b dx 
 a a
 * Nhận xét 
 Đối với dạng bài tập này, lại nảy sinh vấn đề nếu k và n là số nhỏ mà cụ thể 
là k = 2, n = 2 thì ta làm bằng cách tính tích phân trực tiếp Cụ thể ta xét ví dụ sau: 
 1
 2
 Tính tích phân: x 2 x2 b dx ta giải như sau: 
 0
 1
 1 1
 2 2x6 x 2 
 xxbdx22 4 x 5 4 xxdx 3 x 4 
 3 2 
 0 0 0
 Tuy nhiên nếu k và n lớn hơn thì ta cũng khó thực hiện được cách giải như 
trên , do đó ta có phương pháp tổng quát cho bài toán dạng này như sau: 
* Phương pháp giải 
 dt
 + Bước 1: Đặt t axk b dt kax k 1 dx x k 1 dx 
 ka
 k k
 + Bước 2: Đổi cận: x x1 t ax 1 b; x x 2 t ax 2 b 
 + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t Qua ví dụ cho thấy, khi gặp bài toán dạng này (dạng hàm số dưới dấu tích 
phân có hai phần mà phần trong dấu ngoặc số mũ của x lớn hơn số mũ của x bên 
ngoài 1 đơn vị) Thì ta nên dùng phương pháp đổi biến số. 
* Bài tập áp dụng: 
 1 1
 3 3
 1) x2 x 3 2 dx 2) x5 x 3 2 dx 
 0 0
 1 2x 2 1 2x 5
 3) dx 4) dx 
 3 4
 3 3
 0 x 2 0 2x 1 
 Hướng dẫn giải: 
 1
 3 dt
 1) x2 x 3 2 dx Đặt t x3 2 dt 3 x 2 dx x 2 dx 
 0 3
 1
 3 dt
 2) x5 x 3 2 dx Đặt tx 3 2 dt 3 xdx 2 xdx;x 2 3 t 2 
 0 3
 1 2x 2
 3) dx ( gặp bài dạng này không có gì phải băn khoăn mà nên chú ý 
 3
 3
 0 x 2 
rằng ở đây n = - 3 thôi. 
 dt
 HD: Đặt t x3 2 dt 3 x 2 dx x 2 dx , 
 3
 3 2dt
 Tích phân trở thành: 
 3
 2 3t
 1 2x 5
 4) dx Tương tự câu 3) 
 4
 3
 0 2x 1 
 dt
 Đặt t 2 x3 1 dt 6 xdx 2 xdx;x 2 3 t 2 
 6
***** Mở rộng dạng này, nếu lũy thừa của hàm số dưới dấu tích phân thay bằng 
căn thì ta cũng giải tương tự cụ thể ta xét các ví dụ sau: 1 1
 1) x31 x 2 dx 2) x x2 3 dx 
 0 0
 1 1
 3) x1 x2 dx 4) x3 x 2 1 dx 
 0 0
 1 2 1
 5) x 3 2 
 dx 6) x1 x dx 
 3 
 0 x 1 0
 2 1 1 x2
 7) dx 8) dx 
 3 3
 1 x x 1 0 x 1
 1 x 1
 9) dx 10) x x 1 dx 
 0 2x 1 0
 3 3
 5 2
 11) x x2 1 dx 12) x1 x dx 
 0 0
 Hướng dẫn giải: Đặt t .... 
 b ku' x 
 c) TÍCH PHÂN DẠNG dx 
 a u x 
 * Nhận xét 
 Đây là dạng đổi biến mà hàm số trên tử là đạo hàm của hàm số dưới mẫu 
hoặc hàm số trên tử là hệ số nhân với đạo hàm của hàm số dưới mẫu. 
 * Phương pháp giải 
 + Bước 1: Đặt t u x dt u' x dx 
 + Bước 2: Đổi cận: xa tua;xb tub 
 + Bước 3: Chuyển tích phân theo x sang tích phân theo t 
 + Bước 4: Tính tích phân theo t 
 * Ví dụ minh họa 
 1 2x 2 1 4x 8
 1) dx 2) dx 
 2 2
 0 x 2 x 3 0 x 4 x 5