Sáng kiến kinh nghiệm Cách chuyển bài toán giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến quy về một biến

 1. PHẦN MỞ ĐẦU
1.1/ Lý do chọn đề tài
 Mục đích của việc giảng dạy môn toán ở trường trung học là dạy học sinh 
về kiến thức toán, cách giải bài tập, rèn luyện kỹ năng giải toán, giúp học sinh khai 
thác được các hoạt động tiềm ẩn trong nội dung môn toán và hình thành tư duy 
logic cho học sinh.
 Trong sách giáo khoa lớp 12 Giải tích đã trình bày cách tìm giá trị lớn nhất, 
giá trị nhỏ nhất của hàm số. Vì vậy, một số dạng bài toán tìm giá lớn nhất, giá trị 
nhỏ nhất của một biểu thức chứa một biến trở nên đơn giản.
 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất là một bài toán bất đẳng thức và đây 
là một trong những bài toán dạng khó ở trương trình trung học phổ thông. Trong 
các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức dành cho học 
sinh khá, giỏi thì biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất thường chứa 
không ít hơn hai biến. Không những thế, các bài toán khó thường có giả thiết rằng 
buộc giữa các biến.Tuy nhiên trong chương trình giảng dạy và học tập bất đẳng 
thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất luôn là chủ đề hấp dẫn đối với người 
dạy lẫn người học.Việc giải các bài toán này đòi hỏi người làm phải vận dụng kiến 
thức hợp lý, nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ. Nó đưa chúng ta xích gần lại với các 
bài toán thường gặp trong thực tế là đi tìm cái “ nhất “ trong những điều kiện nhất 
định ( nhiều nhất, ít nhất, nhanh nhất, chậm nhất,). Chính điều đó làm cho học 
sinh thấy được tính thiết thực của toán học trong cuộc sống. Đồng thời, nó cũng tạo 
nên sự thích thú cho học sinh trong quá trình giải toán.
 Để chứng minh Bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
biểu thức có nhiều phương pháp, và không có phương pháp nào là vạn năng để giải 
được mọi bài toán mà chỉ có những phương pháp giải được một nhóm các bài toán 
mà thôi. Trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi đại học, cao 
đẳng bản thân đã rút ra được một trong những phương pháp khá hiệu quả là sử 
dụng đạo hàm bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Vấn đề đặt ra là những dạng 
bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất nào thì chuyển về được dạng bài toán 
tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa một ẩn, chặn miền của ẩn như 
thế nào cho đúng.
 Với những lý do như trên tôi chọn đề tài:
 ‘‘CÁCH CHUYỂN BÀI TOÁN GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 CỦA BIỂU THỨC NHIỀU BIẾN QUY VỀ MỘT BIẾN”
1.2/ Mục đích nghiên cứu:
 Tìm tòi thêm cách chuyển (giảm biến) của biểu thức chứa nhiều biến.
 Phát huy kĩ năng vận dụng các bất đẳng thức cơ bản vào giải các bài toán khó 
trong kì thi THPT Quốc Gia.
 1 f (x) x(5 x)3/ 2 x (0;5)
 5
 f ’(x) = 5 x(5 x) ; f ’(x) = 0 x 5; x 2 
 2
 Ta có : f (2) = 6 3 , f (0) f (5) 0
 Vậy : Max f(x)= f(2) = 6 3 , Min f(x) = f(0) = 0
 x [0;5] x [0;5]
 Bài 2. 
 Ta có : (a b)(b c)(c a)(ab bc ca) 4 (a b)(b c)(a c)(ab bc ca) 4 
(*). Đặt vế trái của (*) là P
Nếu : ab bc ca 0 thì P 0 suy ra BĐT được chứng minh.
Nếu : ab bc ca 0 , đặt ab bc ca x 0
 2
 a b b c (a c)2 (a c)3
 (a b)(b c) (a b)(b c)(a c) (1)
 2 4 4
 Ta có : 4(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) = 2(a - c)2 + 2(a - b)2 + 2(b - c)2 
 2(a - c)2 + [(a - b) + (b - c)]2 = 2(a - c)2 + (a - c)2 = 3(a - c)2
 4
Suy ra 4(5 - x) 3(a - c)2 ,từ đây ta có x 5 và a c (5 x) (2) . 
 3
 3
 1 4 2 3 3
Từ (1) , (2) suy ra P x. (5 x) = x (5 x) (3) 
 4 3 9
Theo câu a ta có: f(x) = x (5 x)3 6 3 với x thuộc đoạn [0; 5] 
 2 3
nên suy ra P .6 3 P 4. Vậy (*) được chứng minh.
 9
 Như vậy đưa bài toán nhiều biến về bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất một biến 
quen thuộc đã phát huy có hiệu quả. 
 Trong quá trình giảng dạy ở các lớp khối 12 và ôn thi đội tuyển tỉnh, ôn thi vào 
các trường Đại học, cao đẳng tôi đã vận dụng ‘‘Cách chuyển bài toán tìm giá trị 
lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của biểu thức nhiều biến quy về một biến’’ vào học 
sinh trường THPT Trần Phú - Nga Sơn, các em tiếp thu phát triển rất cao về óc 
quan sát, linh cảm tinh tế, kết quả thu được rất khả quan. Từ đó tôi mạnh dạn đưa 
ra chuyên đề này gồm hai bài toán :
 Bài toán 1 : Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
 nhất của biểu thức chứa hai biến. 
 Bài toán 2:Kỹ thuật giảm biến trong bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 
 nhất của biểu thức chứa ba biến. 
 3 13
 Ta có : f ( 2) 7; f (1) ; f (2) 1
 2
 Vậy 
 min P(t) P( 2) 7 khi x y 1 
  2;2
 1 3 1 3
 x ; y 
 13 2 2
 max P(t) P(1) 
  2;2 2 1 3 1 3
 x ; y 
 2 2
Ví dụ 2. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 2(a2 b2 ) ab (a b)(ab 2) Tìm 
 giá trị lớn nhất của biểu thức 
 a3 b3 a2 b2 
 P 4 3 3 9 2 2 
 b a b a 
 Hướng dẫn học sinh cách chuyển
 - Biến đổi giả thiết:
 2(a2 b2 ) ab (a b)(ab 2)
 2(a2 b2 ) ab a2b ab2 2(a b)
 a b 
 2 1 (a b) 2 a b 
 b a 
 a b 1 1 
 2 1 (a b) 2 
 b a a b 
 - Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta được:
 1 1 1 1 a b 
 (a b) 2 2 2(a b) 2 2 2 
 a b a b b a 
 a b a b a b 5
 Suy ra: 2 1 2 2 2 .
 b a b a b a 2
 a b 5
 Đặt t , t . Ta được : P 4(t3 3t) 9(t 2 2) 4t3 9t 2 12t 18.
 b a 2
 Xét hàm số: f (t) 4t3 9t 2 12t 18
 5
 f '(t) 6(2t 2 3t 2) 0,t 
 2
 5 23
 Suy ra min f (t) f .
 5 
 ; 2 4
 2 
 23 a b 5 1 1 
 Vậy min P đạt đươc khi và chỉ khi và a b 2 
 4 b a 2 a b 
 5 (x y)2
 - Tìm điều kiện của biến t ta sử dụng bất đẳng thức x2 y2 .
 2
Lời giải.
 Ta luôn có kết quả : (x y)2 4xy , từ đó ta có :
 (x y)3 4xy 2 (x y)3 (x y)2 (x y)3 4xy 2 
 (x y)3 (x y)2 2
 2
 (x y) 1 (x y) (x y) 2 0
 (x y) 1 0
 2
 2 1 7
 Do (x y) (x y) 2 (x y) 0,x, y
 2 4
 Bài toán được đưa về tìm max, min của :
 A 3(x4 y4 x2 y2 ) 2(x2 y2 ) 1
 Với x, y thỏa mãn x y 1.
 Ta biến đổi biểu thức A như sau :
 A 3(x4 y4 x2 y2 ) 2(x2 y2 ) 1
 3 3
 (x2 y2 )2 (x4 y4 ) 2(x2 y2 ) 1
 2 2
 3 3(x2 y2 )2
 (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 1
 2 4
 (x2 y2 )2
 ( do x4 y4 )
 2
 9
 Hay A (x2 y2 )2 2(x2 y2 ) 1.
 4
 (x y)2 1
 Vì x2 y2 ( do x y 1) nên x2 y2 .
 2 2
 9 1
 Đặt t x2 y2 . Ta có hàm số f (t) t 2 2t 1 với t .
 4 2
 (Đây là bài toán quen thuộc với học sinh 12) 
Ví dụ 5: Cho a,b,c là ba số thực không đồng thời bằng 0 thỏa mãn: 
 (a b c)2 2(a2 b2 c2 ) . 
 a3 b3 c3
 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của : P 
 (a b c)(ab bc ca)
Hướng dẫn học sinh cách chuyển
 7 Tiếp tục gặp một bài toán đối xứng ba biến sau đây ta sẽ nhìn cách chuyển 
biểu thức P : 
Từ giả thiết suy ra : 
 a b c 0 P a6 b6 c6 P 3(abc)2
 (a2 b2 c2 )(a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 )
. (a2 b2 c2 )3 3(a2 b2 c2 )(a2b2 b2c2 c2a2 ) 216 18.9 54 .
 Suy ra P 3(abc)2 54. Đặt t abc thì việc chặn t như thế nào, rất hay như sau :
Ta có: a , b , c là ba nghiệm thực của phương trình: 
 (x a)(x b)(x c) 0 x3 3x abc 0 x3 3x 1 abc 1 (3)
Từ đồ thị hàm số y x3 3x 1, suy ra pt (3) có ba nghiệm thực a,b,c khi và chỉ 
khi 1 abc 1 3 2 abc 2.
 abc 2 , khi trong ba số a;b;c có hai số bằng 1 và một số bằng -2.
 abc 2, khi trong ba số a;b;c có hai số bằng -1 và một số bằng 2.
Như vậy bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất: P 3t 2 54 trên đoạn  2;2
 x y z 4
Ví dụ 7. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 
 xyz 3
 Chứng minh rằng: 183 165 5 x4 y4 x4 18
Hướng dẫn học sinh cách chuyển
 - Biểu thức P x4 y4 z4 đối xứng với ba ẩn x, y, z . Biến đổi P theo
 x y z; xyz; xy yz zx như thế nào?
 - Ta có 
 P x4 y4 z4 (x2 y2 z2 )2 2(x2 y2 y2 z2 z2 x2 )
 (42 2(xy yz zx))2 2(xy yz zx)2 2xyz(x y z)
 - Với mối quan hệ như trên thì chuyển P về biến mới như thế nào?
 x y z 4 2
 Đặt t xy yz zx và từ giả thiết ta có P 2(t 32t 144)
 xyz 3
 - Tìm điều kiện cho ẩn mới như thế nào?
 2 2
 Từ các điều kiện đối với x, y, z ta được y z 4 x; yz do đó t x(4 x) 
 x x
 - Tìm điều kiện đối với ẩn x và chuyển điều kiện đó theo ẩn t.
 áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương y, z ta có:
 8
 (y z)2 4yz (4 x)2 x3 8x2 16x 8 0 (x 2)(x2 6x 4) 0
 x
 3 5 x 2 .
 2
 Xét hàm số t(x) x(4 x) trên đoạn 3 5;2 , ta có: 
 x 
 9