Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất - giá trị nhỏ nhất của hàm số

 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
 TRƯỜNG THPT ĐỒNG XOÀI
 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
 MÔN TOÁN
ĐỀ TÀI: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ 
TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
 CỦA HÀM SỐ 
 GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
 GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
 NĂM HỌC 2006 - 2007 B/ PHẦN NỘI DUNG
I/ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Bài toán tìm GTLN_GTNN có rất nhiều phương pháp giải , từ những cách giải đơn 
giản , dễ hiểu , quen thuộc với các em học sinh phổ thông mà một học sinh học lực 
trung bình yếu vẫn có thể nắm bắt được , cho đến những phương pháp giải phức tạp 
hơn , đòi hỏi phải có sự suy luận , logic chặt chẽ dành cho các em học sinh giỏi 
.Trong phương pháp đồ thị và phương pháp vectơ đôi khi đòi hỏi học sinh phải nắm 
bắt được dấu hiệu hình học hay vectơ ẩn tìm trong từng con số , từng chữ của bài 
toán .Muốn phát hiện ra chúng thì người giải toán phải hiểu một cách khá sâu sắc 
khái niệm và tính chất của hình học và vectơ cùng các phép toán của nó , phải được 
rèn luyện nhiều bài tập mới có thể làm quen được .
Đề tài này tôi đã thực hiện từ năm 1996 cho đến nay , trong chương trình lớp 12, 
trong lớp luyện thi Đại Học và trong lớp bồi dưỡng HSG Toán của trường THPT 
Đồng Xoài 
II/ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU VÀ KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU:
Nội dung1/Ôn lại các định nghĩa về GTLN-GTNN và bổ sung các tính chất về 
GTLN-GTNN để học sinh khá, giỏi tham khảo.
Nội dung 2/ Hệ thống lại các phương pháp tìm GTLN-GTNN ở các cấp học .
Nội dung 3/ Nêu một số đề toán tìm GTLN-GTNN trong các kỳ thi để học sinh 
tham khảo.
Nội dung 4/ Kết quả nghiên cứu.
III/ PHẦN KẾT LUẬN
IV/ TÀI LIỆU THAM KHẢO */ max[ f (x) g(x)] max f (x) max g(x)
 x D x D x D
**/ min[ f (x) g(x)] min f (x) min g(x)
 x D x D x D
e/ Tính chất 5: max f (x) min( f (x))
 x D x D
f/ Tính chất 6: Nếu đặt M = max f (x) và m = min f (x) thì:
 x D x D
 max f (x) max M , m
 x D 
NỘI DUNG 2: HỆ THỐNG LẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN-GTNN
PHƯƠNG PHÁP 1: ĐƯA VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A2 0, dấu bằng xãy ra khi A = 0
1/ KIẾN THỨC Ở CẤP 2:
Ở cấp 2 nhìn chung các bài toán thường giải bằng cách đưa về dạng bình 
phương , chẳng hạn ta nhắc lại một số dạng sau đây :
 Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức : y = x2 – 2x + 5 có giá trị nhỏ 
 nhất (SGK lớp 8)
Giải :
 Hàm số y = x2 – 2x + 5 xác định x R
Ta có : y = x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 4 4 x R
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 x 1
Vậy min y = 4 khi x = 1
 x R
 Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức : y = 18 – 6x – x2 có giá trị lớn 
 nhất(SGK lớp 8)
Giải: 
Hàm số y = 18 – 6x – x2 xác định x R 
Ta có y = 27 – (x +3)2 27 x R 
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x+3 = 0 x 3
Vậy max y = 27 khi x = -3
 x R
2/ KIẾN THỨC Ở CẤP 3: Sang cấp 3 cũng bằng phương pháp bình phương ta 
cũng có thể giải các bài toán sau:
 Ví dụ 3: Gọi là một góc cố định cho trước .Tìm giá trị nhỏ nhất của
 hàm số : y = tan2(x+ ) + tan2(x - )
Giải: x y x y x y
= -2 [cos2 - cos cos ] +1
 2 2 2
 x y 1 x y x y 1 x y 1 x y
 = -2[cos2 - 2. cos cos + cos2 ] + cos2 + 1
 2 2 2 2 4 2 2 2
 x y 1 x y 1 x y
 = -2(cos - cos )2 + cos2 + 1
 2 2 2 2 2
 1 3
Suy ra f(x,y) 1 x, y R
 2 2
 x y
 cos2 1
 2
Dấu “=” xãy ra khi 
 x y 1 x y
 cos cos
 2 2 2
 x y x y 
 sin 0 sin 0 x 
 2 2 3 
   x y 
 x y 1 x y 1  3
 cos cos y 
 2 2 2 2 3
Mặt khác x;y  ; thì cosx 1; cosy 1; - cos(x+y) 1
 f (x, y) 3
 x  x 
Dấu “=” xãy ra khi  
 y  y 
 
 x 
 3 3 
Vậy max f(x,y)= khi  x y 
 2  3
 y 
 3
 x  x 
 min f(x,y) = -3 khi  
 y  y 
PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Bất đẳng thức Cauchy:
Nếu a1, a2 ,a3 ,, an là các số không âm, ta có : 
 a a a ...... a
 1 2 3 n n a a a .....a
 n 1 2 3 n
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = .. = an
2/ Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Nếu a1, a2 ,a3 ,, an và b1 ,b2 , b3 , .. ,bn là 2n số tùy ý , ta có :
 2 2 2 2 2 2 2 2 2
(a1 +a2 +a3 +.+an )(b1 + b2 + b3 +..+ bn ) (a1b1 + a2b2 +.+anbn)
 a a a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 ...... n
 b1 b2 bn Vậy min f (x) 1
 x R
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm gtnn của P = tgA + tgB + tgC
Giải : 
Ta có A + B + C =  tg(A B) tg( C) tgC tgA tgB tgC tgAtgBtgC
Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA , tgB , tgC, ta có :
P = tgA + tgB + tgC 33 tgAtgBtgC
 P 33 P 27P P3
 P2 27 P 3 3
Dấu “=” xảy ra khi tgA = tgB = tgC A B C
Vậy min P = 3 3 khi tam giác ABC là tam giác đều
 2 1
 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = trên (0;1)
 1 x x
Giải : 
 2 1 2 2x 2x 1 x x 2x 1 x 2x 1 x
y = = = 2 + 1= 3 + 
 1 x x 1 x x 1 x x 1 x x
 Vì x (0;1) 1 x > 0
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
 2x 1 x 2x 1 x
 2 . 2 2
1 x x 1 x x
 y 3 2 2
 2x 1 x
Dấu “=” xảy ra khi (1 x)2 2x2 x2 2x 1 0 x 2 1
 1 x x
Vậy min y 3 2 2 khi x 2 1
 x (0;1)
 Ví dụ 5: Ba đại lượng biến thiên x , y , z luôn thỏa mãn điều kiện :
 xy+yz+zx = 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x4 + y4 + z4.
Giải: 
Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
16 = (xy + yz + zx)2 (x2 + y2 + z2)(y2 + z2 + x2) = (x2 + y2 + z2 )2
Suy ra : x2 + y2 + z2 4
Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
16 (x2 y2 z2 )2 (12+12+12)(x4+y4+z4)=3(x4+y4+z4)
 16
Suy ra :x4+y4+z4 
 3 1/Cho hàm số y = f(x) xác định trên D , có miền giá trị T
y0 T phương trình y0 = f(x) có nghiệm x D
 m y0 M ( dấu “=” xảy ra được)
Khi đó min f (x) m và max f (x) M
 x D x D
2/ Phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2
Như vậy để tìm GTLN –GTNN của hàm số theo phương pháp này ta quy về 
việc tìm điều kiện để một phương trình ( có thêm điều kiện phụ ) có nghiệm.
 2x 1
 Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :y = 
 x2 x 4
Giải:
+ Tập xác định D = R.Gọi T là tập giá trị của hàm số 
 2x 1
Gọi y0 T phương trình y0 = có nghiệm x R
 x2 x 4
 2
 phương trình :y0x + (y0 – 2)x + 4y0 + 1= 0 (1) có nghiệm x R
Ta xét hai trường hợp :
 1
 • Nếu y0 = 0 thì (1) - 2x + 1 = 0 x 
 2
 / 2
 • Nếu y0 0 thì (1) có nghiệm 15y0 8y0 4 0
 4 2 19 4 2 19
 y (y 0)
 15 0 15 0
 4 2 19 4 2 19
Kết hợp hai trường hợp ta có pt (1) có nghiệm y 
 15 0 15
 4 2 19 4 2 19
Vậy max y và min y 
 x R 15 x R 15
 ax b
 Ví dụ 2: Xác định các tham số a và b sao cho hàm số : y = đạt giá trị 
 x2 1
 lớn nhất bằng 4 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 
Giải:+ Tập xác định D = R 2
 2y0 10y0 3 0
 5 19 5 19
 y 
 2 0 2
 5 19 5 19
Vậy : max y ,min y 
 x R 2 x R 2
PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Để tìm GTLN-GTNN của hàm số bậc hai : ax2+bx +c = 0 ( a 0) trên [ ,  ] ta 
 b
có nhận xét sau: đồ thị của hàm số là Parabol có hoành độ đỉnh là x0 = -
 2a
Ta xét hai trường hợp :
1/ a>0: * Nếu x0 [ ,  ] thì min y f (x0 ) , max y max f ( ), f ( )
 x [ , ] x [ , ]
 * Nếu x0 [ ,  ] thì min y min f ( ), f ( ) và max y max f ( ), f ( )
 x [ , ] x [ , ]
2/ a < 0: * Nếu x0 [ ,  ] thì max y f (x0 ) , min y min f ( ), f ( )
 x [ , ] x [ , ]
 * Nếu x0 [ ,  ] thì max y max f ( ), f ( ) và min y min f ( ), f ( )
 x [ , ] x [ , ]
 x y 2a 1
 Ví dụ 1: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình : 2 2 2
 x y a 2a 3
 Xác định a để tích xy là nhỏ nhất ?
Giải : 
Đặt S = x + y và P = xy
Ta có : S = 2a – 1 , x2 + y2 = S2 – 2P = a2 + 2a – 3 
 1
Suy ra P = (3a2 6a 4)
 2
Điều kiện để hệ có nghiệm là : S2 – 4P 0 
 2 2
 2a2 8a 7 0 2 a 2 
 2 2
 1 2 2
Bây giờ ta tìm a để P = (3a2 6a 4) đạt giá trị nhỏ nhất trên [2- ,2 ]
 2 2 2 max f (x) max f (x0 ), f (x1),...., f (a), f (b)
 x D /
 với x0 , x1 , (a;b) lànghiệm của pt y = 0 
 min f (x) min f (x0 ), f (x1),...., f (a), f (b)
 x D
Ở đây ta xét thêm một số bài toán tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp đạo 
hàm.
 2 1
 Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = trên (0;1)
 1 x x
Nhận xét:Ví dụ 1 ta đã giải bằng pp sử dụng bất đẳng thức , nhưng đối với 
học sinh yếu thì các em không sử dụng bất đẳng thức thành thạo .
Mặt khác ở chương trình lớp 12 các em đã học đạo hàm và biết cách lập bảng 
biến thiên ,do đó khi giải ví dụ 1 thì phương pháp đạo hàm chiếm ưu thế hơn 
vì mọi học sinh đều có thể giải được 
Giải : Ta xét hàm số trên khoảng (0;1)
 2 
 / x 2x 1 / 2 x 1 2 y 3 2 2
y = 2 2 , y = 0 x 2x 1 0 
 ( x x) x 1 2 y 3 2 2
BBT:
 x - -1- 2 0 -1+ 2 1 + 
 y/ + 0 - - 0 + +
 + + 
 y 
 3+2 2 
Vậy : min y 3 2 2 khi x 1 2
 (0;1)
 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 f(x) = x 1 5 x xét trên miền D = [1;5]
Nhận xét: Ví dụ 2 ta cũng đã giải bằng phương pháp bất đẳng thức , bây giờ 
ta giải ví dụ này theo phương pháp đạo hàm để thấy tính ưu việt của phương 
pháp đạo hàm.